1、规律题型一、单选题1按一定规律排列的单项式：a，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，第 n 个单项式是（ ）Aa n Ba n C （1） n+1an D （1） nan【答案】C2我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数” （如 1，3，6，10）和“正方形数” （如1，4，9，16） ，在小于 200 的数中，设最大的“三角形数”为 m，最大的“正方形数”为 n，则 m+n 的值为（ ）A33 B 301 C386 D571【答案】C3在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点 O 出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动 1m其行走路线如
2、图所示，第 1 次移动到 A1，第 2 次移动到 A2，第 n 次移动到 An则OA 2A2018 的面积是（ ）A504m 2 B m2 C m2 D1009m 2【答案】A4如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第 9 行从左至右第 5 个数是（ ）A2 B C 5 D【答案】B5定义一种对正整数 n 的“F”运算：当 n 为奇数时，F（n）=3n+1；当 n 为偶数时，F （n）= （其中 k 是使F（n）为奇数的正整数），两种运算交替重复进行，例如，取 n=24，则：若 n=13，则第 2018 次“F”运算的结果是（ ）A1 B4 C2018 D4 2018【答案
3、】A6将全体正奇数排成一个三角形数阵13 57 9 1113 15 17 1921 23 25 27 29 根据以上排列规律，数阵中第 25 行的第 20 个数是（ ）A639B637C635D633【答案】A7按一定规律排列的一列数依次为：2，3，10，15，26，35，按此规律排列下去，则这 列数中的第 100 个数是（ ）A9999 B10000 C10001 D10002【答案】A8下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第个图中有 3 张黑色正方形纸片，第个图中有 5 张黑色正方形纸片，第个图中有 7 张黑色正方形纸片，按此规律排列下去第个图中黑色正方形纸片的张数为（ ）A1
4、1 B13 C15 D17【答案】B9如图，在平面直角坐标系中，将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45后得到正方形 OA1B1C1，依此方式，绕点O 连续旋转 2018 次得到正方形 OA2018B2018C2018，如果点 A 的坐标为（1，0） ，那么点 B2018 的坐标为（ ）A （1，1） B （0， ） C （ ） D （1，1）【答案】D10如图，已知直线 l：y =2x，分别过 x 轴上的点 A1（1，0） 、A 2（2，0） 、A n（n，0） ，作垂直于 x 轴的直线交 l 于点 B1、B 2、B n，将OA 1B1，四边形 A1A2B2B1、四边形 An1AnBn
5、Bn1 的面积依次记为S1、S 2、S n，则 Sn=（）An 2 B2n+1C2n D2n1【答案】D11计算 + + + + + 的值为（ ）A B C D【答案】B12如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（ ）A B C D【答案】C13如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第 n 个图形中有 120 朵玫瑰花，则 n 的值为（ ）A28 B29 C30 D31【答案】C141261 年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察
6、图中的数字排列规律，则 a，b，c 的值分别为（ ）Aa=1，b=6， c=15 Ba=6，b=15，c=20Ca=15，b=20，c=15 Da=20，b=15，c=6【答案】B15观察下列算式: , , , , , , ,则 的未位数字是( )A8 B6 C4 D0【答案】B16如图，正方形 ABCD 的边长为 1，以对角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF，再以对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH，依此下去，第 n 个正方形的面积为（ ）A （ ） n1 B2 n1 C （ ） n D2 n【答案】B二、填空题17观察下列一组由排列的“星阵” ，按图中规律，第 n 个“星阵”中的
7、的个数是_【答案】18观察下列运算过程：S=1+3+3 2+33+32017+32018 ，3 得 3S=3+32+33+32018+32019 ，得 2S=320191，S= 运用上面计算方法计算：1+5+5 2+53+52018=_【答案】19如图，下列图案是由火柴棒按某种规律搭成的，第 个图案中有 2 个正方形，第 个图案中有 5 个正方形，第 个图案中有 8 个正方形 ，则第 个图案中有_个正方形，第 n 个图案中有_个正方形【答案】14；20在平面直角坐标系中，点 A( ，1) 在射线 OM 上，点 B( ，3)在射线 ON 上，以 AB 为直角边作 RtABA1，以 BA1 为直角
8、边作第二个 RtBA 1B1，以 A1B1 为直角边作第三个 RtA 1B1A2， ，依此规律，得到 RtB2017A2018B2018，则点 B2018 的纵坐标为 _【答案】3 201921观察下列运算过程：请运用上面的运算方法计算：=_【答案】22如图，等边三角形 ABC 的边长为 1，顶点 B 与原点 O 重合，点 C 在 x 轴的正半轴上，过点 B 作 BA1AC 于点 A1,过点 A1 作 A1B1OA,交 OC 于点 B1；过点 B1 作 B1A2AC 于点 A2，过点 A2 作 A2B2OA, 交 OC 于点B2；，按此规律进行下去，点 A2020 的坐标是_.【答案】 23如
9、图,点 的坐标为 ,过点 作不轴的垂线交直 于点 以原点 为圆心, 的长为半径断弧交 轴正半轴于点 ；再过点 作 轴的垂线交直线 于点 ,以原点 为圆心,以 的长为半径画弧交 轴正半轴于点 ；按此作法进行下去,则 的长是_A20198B【答案】24如图：图象均是以 P0 为圆心，1 个单位长度为半径的扇形，将图形分别沿东北，正南，西北方向同时平移，每次移动一个单位长度，第一次移动后图形的圆心依次为 P1P2P3，第二次移动后图形的圆心依次为 P4P5P6，依此规律， P0P2018=_个单位长度【答案】67325如图是各大小型号的纸张长宽关系裁剪对比图，可以看出纸张大小的变化规律：A0 纸长度
10、方向对折一半后变为 A1 纸；A 1 纸长度方向对折一半后变为 A2 纸；A 2 纸长度方向对折一半后变为 A3 纸；A 3 纸长度方向对折一半后变为 A4 纸A 4 规格的纸是我们日常生活中最常见的，那么有一张 A4 的纸可以裁_张 A8 的纸.【答案】1626如图，在平面直角坐标系中，点 A1 的坐标为（1，2） ，以点 O 为圆心，以 OA1 长为半径画弧，交直线 y= x于点 B1过 B1 点作 B1A2y 轴，交直线 y=2x 于点 A2，以 O 为圆心，以 OA2 长为半径画弧，交直线 y= x 于点B2；过点 B2 作 B2A3y 轴，交直线 y=2x 于点 A3，以点 O 为圆
11、心，以 OA3 长为半径画弧，交直线 y= x 于点 B3；过 B3 点作 B3A4y 轴，交直线 y=2x 于点 A4，以点 O 为圆心，以 OA4 长为半径画弧，交直线 y= x 于点 B4，按照如此规律进行下去，点 B2018 的坐标为_【答案】 （2 2018，2 2017） 27如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第 个格子的数为_.【答案】28如图，在平面直角坐标系中，点 A1，A 2，A 3，和 B1，B 2，B 3，分别在直线 y= x+b 和 x 轴上OA1B1，B 1A2B2，B 2A3B3，都是等腰直角三角形如果点
12、 A1（1，1） ，那么点 A2018 的纵坐标是_【答案】29每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第 2018 层的三角形个数为_【答案】403530如图，在平面直角坐标系中，直线 l 为正比例函数 y=x 的图象，点 A1 的坐标为（1，0） ，过点 A1 作 x 轴的垂线交直线 l 于点 D1，以 A1D1 为边作正方形 A1B1C1D1；过点 C1 作直线 l 的垂线，垂足为 A2，交 x 轴于点 B2，以A2B2 为边作正方形 A2B2C2D2；过点 C2 作 x 轴的垂线，垂足为 A3，交直线 l 于点 D3，以 A3D3 为边作正方形A3B3C3D3， ，按此规律操作下所得
13、到的正方形 AnBnCnDn 的面积是_【答案】 （ ） n131将从 1 开始的连续自然数按以下规律排列：第 1 行 1第 2 行 2 3 4第 3 行 9 8 7 6 5第 4 行 10 11 12 13 14 15 16第 5 行 25 24 23 22 21 20 19 18 17则 2018 在第_行【答案】4532如图，直线 与两坐标轴分别交于 、 两点，将线段 分成 等份，分点分别为 ， ，P3,， ，过每个分点作 轴的垂线分别交直线 于点 ， ， ， ，用 ， ， ， 分别表示 ， ， 的面积，则 _.【答案】 33如图，在平面直角坐标系中，函数 和 的图象分别为直线 ， ，过
14、点 作 轴的垂线交 于点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ， 依次进行下去，则点 的横坐标为_【答案】34在 RtABC 中，AB=1 ，A=60，ABC=90，如图所示将 RtABC 沿直线 l 无滑动地滚动至 RtDEF，则点 B 所经过的路径与直线 l 所围成的封闭图形的面积为_ （结果不取近似值）【答案】 + 35如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 OAA1 的直角边 OA 在 x 轴上，点 A1 在第一象限，且 OA=1，以点 A1 为直角顶点，OA 1 为一直角边作等腰直角三角形 OA1A2，再以点 A2 为直角顶点，
15、OA 2 为直角边作等腰直角三角形 OA2A3依此规律，则点 A2018 的坐标是_【答案】 （0，2 1009）36如图，点 A1 的坐标为（ 2，0） ，过点 A1 作 x 轴的垂线交直线 l：y= x 于点 B1，以原点 O 为圆心，OB 1 的长为半径画弧交 x 轴正半轴于点 A2；再过点 A2 作 x 轴的垂线交直线 l 于点 B2，以原点 O 为圆心，以 OB2 的长为半径画弧交 x 轴正半轴于点 A3；按此作法进行下去，则 的长是_A20198【答案】37如图，射线 OM 在第一象限，且与 x 轴正半轴的夹角为 60，过点 D（6,0)作 DAOM 于点 A，作线段 OD的垂直平
16、分线 BE 交 x 轴于点 E,交 AD 于点 B,作射线 OB.以 AB 为边在AOB 的外侧作正方形 ABCA1,延长 A1C 交射线 OB 于点 B1,以 A1B1 为边在 A1OB1 的外侧作正方形 A1B1C1A2,延长 A2C1 交射线 OB 于点 B2,以 A2B2 为边在A2OB2 的外侧作正方形 A2B2C2A3按此规律进行下去，则正方形 A2017B2017C2017A2018 的周长为_.【答案】38如图，已知等边 ，顶点 在双曲线 上，点 的坐标为 过 作 交双曲线于点 ，过 作 交 轴于点 ，得到第二个等边 ；过 作 交双曲线于点 ，过作 交 轴于点 ，得到第三个等边
17、 ；以此类推， ，则点 的坐标为_【答案】 （2 ，0） 39如图所示，已知：点 A(0，0) ，B （ ，0） ，C（0，1）在ABC 内依次作等边三角形，使一边在 x 轴上，另一个顶点在 BC 边上，作出的等边三角形分别是第 1 个 AA1B1，第 2 个B 1A2B2，第 3 个B 2A3B3，则第个等边三角形的边长等于_【答案】40如图，MON=30，点 B1 在边 OM 上，且 OB1=2，过点 B1 作 B1A1OM 交 ON 于点 A1，以 A1B1 为边在A1B1 右侧作等边三角形 A1B1C1；过点 C1 作 OM 的垂线分别交 OM、ON 于点 B2、A 2，以 A2B2
18、为边在 A2B2 的右侧作等边三角形 A2B2C2；过点 C2 作 OM 的垂线分别交 OM、ON 于点 B3、A 3，以 A3B3 为边在 A3B3 的右侧作等边三角形 A3B3C3，；按此规律进行下去，则 AnBn+1Cn 的面积为_ （用含正整数 n 的代数式表示）【答案】 （ ） 2n241如图，已知等边ABC 的边长是 2，以 BC 边上的高 AB1 为边作等边三角形，得到第一个等边AB 1C1；再以等边AB 1C1 的 B1C1 边上的高 AB2 为边作等边三角形，得到第二个等边AB 2C2；再以等边AB 2C2 的 B2C2 边上的高 AB3 为边作等边三角形，得到第三个等边AB
19、 3C3；，记B 1CB2 的面积为 S1，B 2C1B3 的面积为 S2，B3C2B4 的面积为 S3，如此下去，则 Sn=_【答案】42如图，正方形 AOBO2 的顶点 A 的坐标为 A（0，2） ，O 1 为正方形 AOBO2 的中心；以正方形 AOBO2 的对角线AB 为边，在 AB 的右侧作正方形 ABO3A1，O 2 为正方形 ABO3A1 的中心；再以正方形 ABO3A1 的对角线 A1B 为边，在 A1B 的右侧作正方形 A1BB1O4，O 3 为正方形 A1BB1O4 的中心；再以正方形 A1BB1O4 的对角线 A1B1 为边在 A1B1的右侧作正方形 A1B1O5A2，O
20、 4 为正方形 A1B1O5A2 的中心：；按照此规律继续下去，则点 O2018 的坐标为_【答案】 （2 10102，2 1009）三、解答题43问题提出：用若干相同的一个单位长度的细直木棒，按照如图 1 方式搭建一个长方体框架，探究所用木棒条数的规律问题探究：我们先从简单的问题开始探究，从中找出解决问题的方法探究一用若干木棒来搭建横长是 m，纵长是 n 的矩形框架（m、n 是正整数） ，需要木棒的条数如图，当 m=1，n=1 时，横放木棒为 1（1+1）条，纵放木棒为（1+1）1 条，共需 4 条；如图，当 m=2，n=1 时，横放木棒为 2（1+1）条，纵放木棒为（2+1）1 条，共需
21、7 条；如图，当 m=2，n=2 时，横放木棒为 2（2+1） ）条，纵放木棒为（2+1）2 条，共需 12 条；如图，当m=3，n=1 时，横放木棒为 3（1+1）条，纵放木棒为（3+1）1 条，共需 10 条；如图，当 m=3，n=2 时，横放木棒为 3（2+1）条，纵放木棒为（3+1）2 条，共需 17 条问题（一）：当 m=4，n=2 时，共需木棒多少条问题（二）：当矩形框架横长是 m，纵长是 n 时，横放的木棒为多少条，纵放的木棒为多少条探究二用若干木棒来搭建横长是 m，纵长是 n，高是 s 的长方体框架（m、n、s 是正整数） ，需要木棒的条数如图，当 m=3，n=2，s=1 时，
22、横放与纵放木棒之和为3（2+1）+（3+1）2（1+1）=34 条，竖放木棒为（3+1）（2+1）1=12 条，共需 46 条；如图，当 m=3，n=2，s=2 时，横放与纵放木棒之和为3（2+1）+（3+1）2（2+1）=51 条，竖放木棒为（3+1）（2+1）2=24 条，共需 75 条；如图，当 m=3，n=2，s=3 时，横放与纵放木棒之和为3（2+1）+（3+1）2（3+1）=68 条，竖放木棒为（3+1）（2+1）3=36 条，共需 104 条问题（三）：当长方体框架的横长是 m，纵长是 n，高是 s 时，横放与纵放木棒条数之和为多少条，竖放木棒条数为多少条实际应用：现在按探究二的
23、搭建方式搭建一个纵长是 2、高是 4 的长方体框架，总共使用了 170 条木棒，则这个长方体框架的横长是多少拓展应用：若按照如图 2 方式搭建一个底面边长是 10，高是 5 的正三棱柱框架，需要木棒多少条【答案】问题（一）：共需 22 条；问题（二）：横放的木棒为 m（n+1）条，纵放的木棒为 n（m+1）条；问题（三）：横放与纵放木棒条数之和为m（n+1）+n（m+1）（s+1）条，竖放木棒条数为（m+1） （n+1 ）s 条；实际应用：这个长方体框架的横长是 4；拓展应用：需要木棒 1320 条44空间任意选定一点 O，以点 O 为端点，作三条互相垂直的射线 ox、oy、oz.这三条互相垂
24、直的射线分别称作x 轴、y 轴、z 轴，统称为坐标轴，它们的方向分别为 ox（水平向前） 、oy（水平向右） 、oz（竖直向上）方向，这样的坐标系称为空间直角坐标系.将相邻三个面的面积记为 S1、S 2、S 3，且 S1S 2S 3 的小长方体称为单位长方体，现将若干个单位长方体在空间直角坐标系内进行码放，要求码放时将单位长方体 S1 所在的面与 x 轴垂直，S 2 所在的面与 y 轴垂直，S 3 所在的面与 z 轴垂直，如图 1 所示.若将 x 轴方向表示的量称为几何体码放的排数，y 轴方向表示的量称为几何体码放的列数，z 轴方向表示的量称为几何体码放的层数；如图 2 是由若干个单位长方体在
25、空间直角坐标内码放的一个几何体，其中这个几何体共码放了 1 排 2 列 6 层，用有序数组记作（1,2,6） ，如图 3 的几何体码放了 2 排 3 列 4 层，用有序数组记作（2,3,4）.这样我们就可用每一个有序数组（x，y，z）表示一种几何体的码放方式.（1）如图是由若干个单位长方体码放的一个几何体的三视图，写出这种码放方式的有序数组，组成这个几何体的单位长方体的个数为多少个；（2）对有序数组性 质的理解，下列说法正确的是哪些；（只写序号）每一个有序数组（x，y，z）表示一种几何体的码放方式.有序数组中 x、y、z 的乘积就表示几何体中单位长方体的个数.有序数组不同，所表示几何体的单位长
26、方体个数不同.不同的有序数组所表示的几何体的体积不同.有序数组中 x、y、z 每两个乘积的 2 倍可分别确定几何体表面上 S1、S 2、S 3 的个数.（3）为了进一步探究有序数组（x，y，z）的几何体的表面积公式 S（x,y,z） ，某同学针对若干个单位长方体进行码放，制作了下列表格：几何体有序数组单位长方体的个数表面上面积为的个数表面上面积为的个数表面上面积为的个数表面积(1，1，1) 1 2 2 2 2S1+2S2+2S3(1，2，1) 2 4 2 4 4S1+2S2+4S3(3，1，1) 3 2 6 6 2S1+6S2+6S3(2，1，2) 4 4 8 4 4S1+8S2+4S3(1，
27、5，1) 5 10 2 10 10S1+2S2+10S3(1，2，3) 6 12 6 4 12S1+6S2+4S3(1，1，7) 7 14 14 2 14S1+14S2+2S3(2，2，2) 8 8 8 8 8S1+8S2+8S3 根据以上规律，请写出有序数组（x，y，z）的几何体表面积计算公式 S（x,y,z） ；（用 x、y、z、S 1、S 2、S 3 表示）（4）当 S1=2，S 2=3，S 3=4 时，对由 12 个单位长方体码放的几何体进行打包，为了节约外包装材料，对 12 个单位长方体码放的几何体表面积最小的规律进行探究，根据探究的结果请写出使几何体表面积最小的有序数组，并用几何体
28、表面积公式求出这个最小面积.（缝隙不计）【答案】 （1）(2，3，2)，12；（2）正确的有；（ 3）S （x,y,z）= ；（4）由 12 个单位长方体码放的几何体表面积最小的有序数组为(2，2，3) ，最小面积为 S(2,2,3)=9245如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第 1 个至第 4 个台阶上依次标着5，2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等尝试 （1）求前 4 个台阶上数的和是多少？（2）求第 5 个台阶上的数 x 是多少？应用 求从下到上前 31 个台阶上数的和发现 试用含 k（k 为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数【答案】 （1）3；（2）第 5
29、个台阶上的数 x 是5；应用：从下到上前 31 个台阶上数的和为 15；发现：数“1”所在的台阶数为 4k146 “分块计数法” ：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法例如：图 1 有 6 个点，图 2 有 12 个点，图 3 有 18 个点，按此规律，求图 10、图 n 有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的 6 块，每块黑点的个数相同（如图） ，这样图 1 中黑点个数是 61=6 个；图 2 中黑点个数是 62=12 个：图 3 中黑点个数是 63=18 个；所以容易求出图 10、图 n 中黑点的个数分别是 、 请你参考以上“分块计数法” ，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上） ，再完成以下问题：（1）第 5 个点阵中有 个圆圈；第 n 个点阵中有 个圆圈（2）小圆圈的个数会等于 271 吗？如果会，请求出是第几个点阵【答案】60 个，6n 个；（1）61；3n 23n+1， （2）小圆圈的个数会等于 271，它是第 10 个点阵47观察以下等式：第 1 个等式： ，第 2 个等式： ，第 3 个等式： ，第 4 个等式： ，第 5 个等式： ，按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第 6 个等式： ；（2）写出你猜想的第 n 个等式： (用含 n 的等式表示) ，并证明.【答案】 （1） ；（2） ，证明见解析.