1、4.5 三角形的中位线,C,B,B、C两点被池塘隔开如何测量B、C两点距离？,想一想,A,B,C,D,E,为了测量一个池塘的宽BC,在池塘一侧的平地上选一点A,再分别找出线段AB，AC的中点D、E，若测出DE的长，就能求出池塘BC的长，你知道为什么吗？,想一想,A,B,C,D,E,合作学习,剪一刀，将一张三角形纸片剪成 一张三角形纸片和一张梯形纸片.,（1）要保证剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片，剪痕的位置有什么要求？,（2）若要使ADE与梯形DBCE能拼成平行四边形，剪痕的位置有什么要求？,（3）要把所剪得的两个图形拼成一个平行四边形，可将其中的三角形作怎样的图形变换？,连结三角形两边中点的
2、线段叫三角形的中位线,三角形有三条中位线,D、 E分别为AB、AC的中点 DE为ABC的中位线,三角形的中位线和三角形的中线不同,同理DF、EF也为 ABC的中位线,E,D,F,定义,三角形的中位线与第三边有什么关系?,三角形的中位线平行且等于第三边的一半,已知：如图，DE是ABC的中位线.求证：,证明：如图，以点E为旋转中心，把ADE绕点E，按顺时针方向旋转180，得到CFE,A,B,C,D,E,F,得到CFE，ADECFE.,ADE=F，AD=CF，DE=EF,ABCF,又BD=AD=CF,四边形BCFD是平行四边形,证明命题：三角形的中位线平行且等于第三边的一半,证明二：如图，延长DE到
3、F，使EF=DE，连接CF,ADE=F，AD=CF，,ABCF,又BD=AD=CF,四边形BCFD是平行四边形,A,B,C,D,E,F,DE=EF,AE=EC, AED= CEF,ADECFE,已知：如图，DE是ABC的中位线.求证：,A,B,C,E,D,F,证法三：延长DE到点F，使EF=DE， 连结AF、CF、CD AE=ECDE=EF 四边形ADCF是平行四边形 AD=FC 又D为AB中点，DB=FC 所以，四边形BCFD是平行四边形,已知：如图，DE是ABC的中位线.求证：,证法四：如图，过E作AB的平行线交BC于F，自A作BC的平行线交FE于G AGBC EAG=ECF AEGCEF
4、 AG=FC，GE=EF 又ABGF，AGBF 四边形ABFG是平行四边形 BF=AG=FC，AB=GF 又D为AB中点，E为GF中点， DB=EF 四边形DBFE是平行四边形 DEBF，即DEBC，DE=BF=FC 即DE=1/2BC,A,B,C,E,D,F,G,三角形中位线定理,三角形的中位线平行且等于第三边的一半.,几何语言表述：,DE是ABC的中位线（或AD=BD,AE=CE), 证明平行问题 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半,适用范围,1.如图1：在ABC中，DE是中位线（1）若ADE=60，则B= 度，为什么？（2）若BC=8cm，则DE= cm，为什么？,2.如图2：在ABC
5、中，D、E、F分别是各边中点AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，则DEF的周长= cm,60,4,12,练一练,三角形三条中位线围成的三角形的周长与原三角形的周长的关系？,面积呢？,A,B,C,D,E,3、为了测量一个池塘的宽BC,在池塘一侧的平地上选一点A,再分别找出线段AB，AC的中点D、E，若测出DE=15m，就能求出池塘BC的长吗？,练一练,例1、已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.,求证：四边形EFGH是平行四边形.,证明：如图，连接AC,EF是ABC的中位线,同理得：,四边形EFGH是平行四边形,有中点连线而无三角形,要作辅助线
6、产生三角形,有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线,温馨提示：,顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形,平行四边形,菱形,矩形,想一想,正方形,平行四边形,菱形,想一想,菱形,矩形,正方形,想一想,不相等且不互相垂直的四边形各边中点 组成_,对角线,平行四边形,互相垂直的四边形各边中点组成_,矩形,相等的四边形各边中点组成_,菱形,相等且互相垂直的四边形各边中点 组成_,正方形,共同归纳,1.已知: 如图,DE,EF是ABC的两条中位线.求证:四边形BFED是平行四边形.,2.如图,DE是ABC的中位线,AF是BC边上的中线,DE和AF交于点O.求证:DE与AF互相平分.,练一练,练一练,3、已知：如图，ABC是锐角三角形。分别以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形CAN，D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，FE，求证：DE=FE,本节课你学到什么？,方法点拨： 在处理问题时,要求同时出现三角形及中位线 有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形 有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线,三角形中位线定理应用：,定理为证明平行关系提供了新的工具 定理为证明一条线段是另一条线段的2倍或 一半提供了一个新的途径,由因导果顺藤摸瓜,执果索因逆推破案,得心应手,