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【全国Ⅰ卷】2018年普通高校招生全国统一考试数学(文科)试卷(含答案解析)

1、绝密启用前 试卷类型:A2018 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共 4 页,23 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” 。2作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写

2、上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知集合 , ,则 ( )0,2A=,10,2B-ABA B C D, 02,10,2设 ,则 ( )iz|zA B C D012123某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中不正确的是( )A新农村建设后,种植收入减少B

3、新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C新农村建设后,养殖收入增加了一倍D新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4已 知 椭 圆 的 一 个 焦 点 为 ,则 的离心率为( )214xyCa: (2,0)CA B C D13 235已知圆柱的上、下底面的中心分别为 , ,过直线 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 的正1O212O8方形,则该圆柱的表面积为( )A B C D1212806设函数 . 若 为奇函数,则曲线 在点 处的切线方程为( )3()()fxax()fx()yfx(,)A B C D yy2yx7在 中,AD 为 BC 边上的中线,E 为 AD 的中点,

4、则 ( )C EBA B314 134AC DB C8已知函数 ,则( )22()cosinfxxA 的最小正周期为 ,最大值为3B 的最小正周期为 ,最大值为()f 4C 的最小正周期为 ,最大值为x2D 的最小正周期为 ,最大值为()f 9某圆柱的高为 2,底面周长为 16,其三视图如右图.圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A,圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B,则在此圆柱侧面上,从 M 到 N 的路径中,最短路径的长度为( )A B217 25C D310在长方体 中, , 与平面 所成的角为 ,1BDACC1A1BC30则该长方体的体积为( )A B C D86282

5、811已知角 的顶点为坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边上有两点 , ,且 (1,)Aa(2,)Bb,则 ( )2cos3|abA B C D1552512设函数 则满足 的 的取值范围是( )2,0,()xf (1)(fxfxA B C D,1(,),0)(,0)二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。13已知函数 . 若 ,则 .2()log()fxa(3)1fa14若 , 满 足 约 束 条 件 则 的 最 大 值 为 . y0,xy 2zxy15直线 与圆 交于 , 两点,则 .1x23yAB|A16 的内角 , , 的对边分别为 , , . 已知 ,AB

6、C BCabcsini4sinbCcBaC,则 的面积为 .228bcaA三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共 60 分。17 (12 分)已知数列 满足 , . 设 .na112()nnaanb(1)求 , , ;1b23(2)判断数列 是否为等比数列,并说明理由;n(3)求 的通项公式.a18 (12 分)如图,在平行四边形 中,ABCM 3ABC, . 以 为折痕将 折起,使点90ACM 到M达点 D 的位置,且 . D(1)证明:平面 平面 ;(

7、2) 为线段 上一点, 为线段 上一点,且 ,求三棱锥 的体积.QPBC23BPDQAQABP19 (12 分)某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据(单位: )和使用了节水龙头 50 天的3m日用水量数据,得到频数分布表如下:未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表日用水量 0, 0.1) 0.1,0.2) 0.2,0.3) 0.3,0.4) 0.4,0.5) 0.5,0.6) 0.6,0.7)频数 1 3 2 4 9 26 5使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表日用水量 0,0.1) 0.1,0.2) 0.2,0.3) 0.3,0.4) 0.4,0.5) 0.5,0

8、.6)频数 1 5 13 10 16 5(1)在答题卡上作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图;(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于 0.35 的概率;3m(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按 365 天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)20 (12 分)设抛物线 ,点 , ,过点 的直线 与 交于 , 两点.2Cyx: (2,0)A(,)BAlCMN(1)当 与 轴垂直时,求直线 的方程;lxM(2)证明: .ABN21 (12 分)已知函数 .()eln1xfa(1)设 是 的极值点,求 ,并求 的单调区间;x()fx

9、(2)证明:当 时, .1e ()0fx(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22选修 44:坐标系与参数方程 (10 分)在直角坐标系 中,曲线 的方程为 . 以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐xOy1C|2ykxx标系,曲线 的极坐标方程为 .2C2cos30(1)求 的直角坐标方程;(2)若 与 有且仅有三个公共点,求 的方程.12 123选修 45:不等式选讲 (10 分)已知 .()|1|fxax(1)当 时,求不等式 的解集;()f(2)若 时不等式 成立,求 的取值范围.(0,)xxa2018 年普通高等学校

10、招生全国统一考试文科数学答案解析一、选择题。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A C A C B D A B B C B D二、填空题。13 14 15 1676223一 、 选 择 题 。1、 A 解 析 : .0,B2、C 解析: 21(1)12iiizii201z3、A 解析:设建设前经济收入为 ,则建设后经济收入为 .aa对于 A 项:种植收入原来为 ,后来为 ,增加,故 A 错误;0.637%=0.4A对于 B 项:其他收入原来为 ,后来为 ,增加的倍数为 ,故 B 正4251.41.50a确;对于 C 项:养殖收入原来为 ,后来为 ,增加的倍数为 ,故 C 正确;

11、0.3a30.6aA.63对于 D 项:新农村建设后,养殖收入为 ,第三产业收入为 ,而经济收入的2=28%=.5aA一半为 ,则 ,故 D 正确 .12a.6+51.4、 C 解 析 : 由 已 知 , 得 ,c24b, 则 离 心 率 为 .2248abca2cea5、B 解析:截面面积为 ,则高 2h,底面半径 r表面积为 2()1S.6、D 解析: 为奇函数 fx3232()()()fxaxax恒成立 ,则210a103 2()31ffx在点 处的切线斜率为 ,则所求切线方程为 ,()fx0,)(0)1kf0yx即 .y7、 A 解析:如右图,.1 31()()2224EBDACBAC

12、BAAC8、 B 解析: ()cos1cs3cos1fxxx53的最小正周期为 ,最大值为 .()fx2T429、 B 解析:将此圆柱的四分之一侧面展开如右图所示:则最短路径为 .245MN10、 C 解析: 连接 1A、 BC 1A与平面 所成角为 30 ,且 1ABC平 面 130B 123tan211(3)C.8V11、 B 解析:由已知,得: 所在直线的斜率为ABtan21bka而22222cosin1cossint3.22115tan()55bab12、 D 解析:函数 的图象如右图所示:fx则 可化为:(1)(2fx0112xx 100xx综上所述, 的取值范围为 .x(,0)13

13、、 解析: 723)log912fa7a14、 解析:画出可行域如右图所示:6将 变形为 , 最大,即截距 最大.32zxyzxz则当直线 平移经过点 时,截距最大.(2,0)A.max06z15、 解析:法一:由 得22130yx01xy或,则 .(,)2,)AB22(0)(1)AB法二:由 消去 ,得23yxy2x设 ,则12(,)(,)1212,0.24()402ABkxx法三:圆 可化为 ,则圆心为 ,半径为230y2y(,1)2r圆心 到直线 的距离为(0,1)1x2(1)d.222()ABrd16、 解析:由已知及正弦定理,得3sinsin4sinsiCBAC 2又 si0,i1s

14、i2228438cos 2bcaAbcbc.11in2ABCS17解:(1)由已知,得 .12()nnaa将 代入得, ,而 ,所以 .n2424将 代入得, ,所以 .33, , . 1b2b(2) 是首项为 ,公比为 的等比数列.n12理由如下:由已知,得 ,即nna12nb又 是首项为 ,公比为 的等比数列.1bnb(3)由(2)知, . 12a12na18解:(1)证明: 四边形 为平行四边形,ABCM90ACM90BAC又 ,DD、 平 面平面 .又 平面平面 平面 . ACB(2)由已知可得, ,3DCMA.23D23BPQ过点 作 于点 ,则 . EACQE13DC由已知及(1)

15、可得 平面DAB平面 , . B又 ,M90M45ACC. 1132sin13QBPABPVSEVg19解:(1)(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后 50 天日用水量小于 0.35 的频率为3m,0.210.26.10.5.48+=该家庭使用节水龙头后日用水量小于 0.35 的概率的估计值为 . 3m048(3)该家庭未使用节水龙头 50 天日用水量的平均数为1(0.51.30.25.40.59.26.5).x=+=该家庭使用了节水龙头后 50 天日用水量的平均数为2(.1.3.10.).350x+估计使用节水龙头后,一年可节省水 . (0.48.5)647.5(m-=20解:(1)当

16、与 x 轴垂直时, 的方程为 ,可得 的坐标为 或 .ll2xM2,)(,)直线 的方程为 或 . BM12y1y(2)当 与 x 轴垂直时,AB 为 MN 的垂直平分线,所以 .l ABN当 与 x 轴不垂直时,设 的方程为 , , ,则 .l(2)0kx1(,)xy2(,)xy120,x由 得 ,则 .2(),yk240kyk112,4yy. 12BMNx12()()xx将 , 及 的表达式代入式分子,可得12yk2yk121,y.1212212124()()ykyxy80k,可知 BM,BN 的倾斜角互补,所以 .0BMNk ABMN综上所述, .AB21解:(1) 的定义域为 , .(

17、)fx(0,)1(exfa由题设知, ,所以 . 221ea从而 , . 21()elnxf()xf当 时, ;当 时, . 0()0fx()0f在 上单调递减,在 上单调递增.()fx, (2,(2)当 时, . 1ea e()ln1xf设 ,则 . ()lnxgxg当 时, ;当 时, . 01()01()0g是 的最小值点.x故当 时, . ()gx当 时, . 1ea 0f22、解:(1) 2:cos3C将 代入上式,得22,sxyx的直角坐标方程为 ,即 .220y2(1)4xy(2 )由(1 )知, 是圆心为 ,半径为 的圆.C(1,)A1,:20kxy是过点 且关于 轴对称的两条

18、射线. 1(0,)By记 轴右边的射线为 , 轴左边的射线为 . y1l2l由于 在圆 的外面,故 与 有且仅有三个公共点等价于 与 只有一个公共点且 与 有两个公2C2C1l2C2lC共点,或 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点.l 1l当 与 只有一个公共点时, 到 所在直线的距离为 ,所以 ,故 或 . 12A22|1k43k0经检验,当 时, 与 没有公共点;当 时, 与 只有一个公共点, 与 有两个公共点.0k1l2C43k1l2C2lC 当 与 只有一个公共点时, 到 所在直线的距离为 ,所以 ,故 或 . 2l A2l 2|1k0k43经检验,当 时, 与 没有公共点;当 时, 与 没有公共点.0k1l243k2l综上所述, 的方程为 .1C4|3yx23、解:(1)当 时, 可化为:a()1f(+)12xx 无 解 1() xxx 11()2综上所述,不等式 的解集为 .()fx(,)(2 )法一:当 时,0,1)1fxax1axax对任意 恒成立,即0(,)min20()x又 当 时, (,)x2x,即 的取值范围为 .a(,2法二:当 时,(0,1)11faxax 当 时, ,不符合题意;x 当 时,a 20xxa.2102综上所述, 的取值范围为 .(0,