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【全国Ⅲ卷】2017年普通高校招生全国统一考试数学(理科)试卷(含答案解析)

1、绝密启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学()考试时间:120 分钟 满分:150 分题型 单选题 填空题 简答题 总分得分一、单选题 (本大题共 12 小题,每小题_分,共_ 分。) 1已知集合 A= ,B= ,则 A B 中元素的个数为( )A. 3 B. 2 C. 1 D. 02设复数 z 满足(1+i)z=2i,则z=( )A. B. C. D. 23某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了 2014 年 1 月至2016 年 12 月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图根据该折线图,下列结论错误的是( )A. 月接待游客量逐月

2、增加B. 年接待游客量逐年增加C. 各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月D. 各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月,波动性更小,变化比较平稳4 的展开式中 的系数为( )A. B. C. 40 D. 805已知双曲线 C: (a0,b0)的一条渐近线方程为 ,且与椭圆有公共焦点,则 C 的方程为( )【来源:21世纪教育网】A. B. C. D. 6设函数 ,则下列结论错误的是( )A. 的一个周期为B. 的图像关于直线 对称C. 的一个零点为D. 在( , )单调递减7执行下面的程序框图,为使输出 S 的值小于 91,则输入的正整数 N 的最小值为( )A.

3、5 B. 4 C. 3 D. 28已知圆柱的高为 1,它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )A. B. C. D. 9等差数列 的首项为 1,公差不为 0若 a2,a 3,a 6成等比数列,则 前 6 项的和为( )A. B. C. 3 D. 810已知椭圆 C: 的左、右顶点分别为 A1,A 2,且以线段 A1A2为直径的圆与直线 相切,则 C 的离心率为( )21 世纪教育网版权所有A. B. C. D. 11已知函数 有唯一零点,则 a=( )A. B. C. D. 112在矩形 ABCD 中,AB =1,AD=2,动点 P 在以点 C 为圆心且与 B

4、D 相切的圆上.若,则 的最大值为( )21 教育网A. 3 B. 2 C. D. 2二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题_分,共_ 分。) 13若 , 满足约束条件 ,则 的最小值为_.14设等比数列 满足 a1 + a2 = 1, a1 a3 = 3,则 a4 = _.15设函数 ,则满足 的 x 的取值范围是_.16a,b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与a,b 都垂直,斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转,有下列结论:21cnjy当直线 AB 与 a 成 60角时,AB 与 b 成 30角;当直线 AB 与 a 成 60角时,AB 与

5、 b 成 60角;直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45;直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60.其中正确的是_.(填写所有正确结论的编号)三、简答题(综合题) (本大题共 7 小题,每小题_分,共_分。) 17(12 分)的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 ,a=2 ,b=2.(1)求 c;(2)设 D 为 BC 边上一点,且 AD AC,求ABD 的面积.18(12 分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶 4 元,售价每瓶 6 元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关

6、.如果最高气温不低于 25,需求量为 500 瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为 300 瓶;如果最高气温低于 20,需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量 X(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量 n(单位:瓶)为多少时,Y 的数学期望达到最大值?www.21-cn-19(12 分)如图,四面体 ABCD 中,ABC 是正三角形,ACD 是直角三角形,ABD=

7、CBD,AB =BD(1)证明:平面 ACD平面 ABC;(2)过 AC 的平面交 BD 于点 E,若平面 AEC 把四面体 ABCD分成体积相等的两部分,求二面角 DAEC 的余弦值.20(12 分)已知抛物线 C:y 2=2x,过点(2,0)的直线 l 交 C 于 A,B 两点,圆 M 是以线段 AB 为直径的圆.(1)证明:坐标原点 O 在圆 M 上;(2)设圆 M 过点 ,求直线 l 与圆 M 的方程.21(12 分)已知函数 .(1)若 ,求 a 的值;(2)设 m 为整数,且对于任意正整数 n, ,求 m 的最小值.22选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答

8、。如果多做,则按所做的第一题计分。选修 4 4:坐标系与参数方程(10 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l1的参数方程为 (t 为参数),直线 l2的参数方程为.设 l1与 l2的交点为 P,当 k 变化时, P 的轨迹为曲线 C.(1)写出 C 的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设,M 为 l3与 C 的交点,求 M 的极径.23选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。选修 4 5:不等式选讲 (10 分)已知函数 f(x) =x+1x2.(1)求不等式 f(x )1 的解集;(2)若不等式 的解集

9、非空,求 m 的取值范围.参考答案一、单选题 1. B 2. C 3. A 4. C 5. B 6. D 7. D 8. B 9. A 10. A 11. C 12. A 二、填空题 13. 14. 15. 16. .三、简答题 17. (1) (2) 18. (1)分布列略;(2) n=300 时, Y 的数学期望达到最大值,最大值为 520 元.19. (1)证明略;(2) .20. (1)证明略;(2) 见解析21. (1)a=1; (2) 322. (1) ;(2)23. (1) ;(2)解析详情一、单选题 1. 由题意可得:圆 与直线 相交于两点 , ,则中有 2 个元素.故选 B.

10、2. 由题意可得 ,由复数求模的法则可得 ,则 .故选 C.3. 由折线图,每年 7 月到 8 月折线图呈下降趋势,月接待游客量减少,选项 A 说法错误.故选 A.4. 由 展开式的通项公式可得:当 时, 展开式 的系数为,当 时, 展开式 的系数为 ,则 的系数为 804040,故选 C.5. 双曲线 C: (a0,b0)的渐近线方程为 ,椭圆中: ,椭圆,双曲线的焦点为 ,据此可得双曲线中的方程组: ,解得: ,则双曲线 的方程为 .6. 当 时, ,函数 在该区间内不单调.故选 D.7. 阅读程序框图,程序运行如下:首先初始化数值: ,然后进入循环体:此时应满足 ,执行循环语句: ;此时

11、应满足 ,执行循环语句: ;此时满足 ,可以跳出循环,则输入的正整数 N 的最小值为 2.故选 D.8. 绘制圆柱的轴截面如图所示,由题意可得: ,结合勾股定理,底面半径 ,由圆柱的体积公式,可得圆柱的体积是 ,故选 B.9. 设等差数列 的公差为 ,且 , ,又 ,所以 , ,故选 A.10. 以线段 为直径的圆是 ,直线 与圆相切,所以圆心到直线的距离 ,整理为 ,即 ,即, ,故选 A.www-2-1-cnjy-com11. 函数的零点满足 ,设 ,则 ,当 时, ,当 时, ,函数 单调递减,当 时, ,函数 单调递增,当 时,函数取得最小值 ,设 ,当 时,函数取得最小值 ,若 ,函

12、数 与函数 没有交点,当 , 时,此时函数 与函数 有一个交点,即 ,解得 ,故选 C.12. 如图,建立平面直角坐标系.设 ,易得圆的半径 ,即圆 C 的方程是 ,若满足 ,则 , ,所以 ,设 ,即 ,点 在圆 上,所以圆心到直线 的距离 ,即 ,解得 ,所以 的最大值是 3,即 的最大值是 3,故选 A.二、填空题 13. 作出约束条件表示的可行域,如图中阴影部分所示.目标函数即,易知直线 在 轴上的截距最大时,目标函数 取得最小值,数形结合可得目标函数 在点处取得最小值,为 .21cnjycom14. 由题意可得: ,解得: ,则15. 由题意: ,函数 在区间三段区间内均单调递增,且

13、,可知 x 的取值范围是: .16. 由题意,AB 是以 AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线,由 ,即 AC 垂直底面,在底面内可以过点 B,作 ,交底面圆 C 于 D,如图,连结 DE,则,所以 ,连接 AD,等腰ABD 中,当直线 AB 与 a 成 60 时,ABD60,故 ,又在 RtBDE 中,BE 2 , ,过点 B 作BF/DE,交圆 C 于点 F,连接 AF,由圆的对称性可知 BFDE ,所以ABF 为等边三角形,ABF60,即正确,错误,由最小角定理可知正确,很明显可以满足平面 ABC直线 a,直线 AB 与 a 成的最大角为 90,错误。三、简答题 17. (1)由已知

14、得 ,所以 .在 ABC 中,由余弦定理得 ,即 .解得: (舍去), .(2)有题设可得故ABD 面积与ACD 面积的比值为又ABC 的面积为18. (1)由题意知, 所有可能取值为 200,300,500,由表格数据知, , .因此 的分布列为(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为 500,至少为 200,因此只需考虑.当 时,若最高气温不低于 25,则 ;若最高气温位于区间 ,则 ;若最高气温低于 20,则 ;因此 .当 时,若最高气温不低于 20,则 ;若最高气温低于 20,则 ;因此 .所以 n=300 时,Y 的数学期望达到最大值,最大值为 520 元.19. (1)由题设可得

15、, ,从而.又 是直角三角形,所以 .取 AC 的中点 O,连接 DO,BO,则 DOAC,DO=AO.又由于 是正三角形,故 .所以 为二面角 的平面角.在 中, .又 ,所以 ,故 .所以平面 ACD平面 ABC.(2)由题设及(1)知, 两两垂直,以 为坐标原点, 的方向为 轴正方向, 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 .则由题设知,四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的 ,从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面 ABC 的距离的 ,即 E 为 DB 的中点,得 .21世纪*教育网故 .设 是平面 DAE 的法向量,则 即可取 .设 是平面 AEC 的法向量,

16、则 同理可取 .则 .所以二面角 D-AE-C 的余弦值为 .20. (1)设由 可得又 =4因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为所以 OAOB,故坐标原点 O 在圆 M 上.(2)由(1)可得 .故圆心 的坐标为 ,圆 的半径 .由于圆 过点 ,因此 ,故 ,即 ,由(1)可得 .所以 ,解得 或 .当 时,直线 的方程为 ,圆心 的坐标为 ,圆 的半径为 ,圆 的方程为 .当 时,直线 的方程为 ,圆心 的坐标为 ,圆 的半径为 ,圆 的方程为 .21. (1) 的定义域为 .若 ,因为 ,所以不满足题意;若 ,由 知,当 时, ;当 时,所以 在 单调递减,在 单调递增,故 x=a 是 在的唯一最小值点.2-1-c-n-j-y由于 ,所以当且仅当 a=1 时, .故 a=1.(2)由(1)知当 时, .令 得 .从而.故 .而 ,所以 的最小值为 .22. (1)消去参数 得 的普通方程 ;消去参数 m 得 l2的普通方程.设 ,由题设得 ,消去 k 得 .所以 C 的普通方程为 .(2)C 的极坐标方程为 .联立 得 .故 ,从而 .代入 得 ,所以交点 M 的极径为 .23. (1)当 时, 无解;当 时,由 得, ,解得当 时,由 解得 .所以 的解集为 .(2)由 得 ,而且当 时, .故 m 的取值范围为