1、2016 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1.已知集合 P=，Q=，则 P=A.2,3 B.(-2,3 C.1,2) D.2.已知互相垂直的平面交于直线 l，若直线 m,n 满足，则A.B. C. D.3.在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影，由区域中的点在直线 x+y-2=0 上的投影构成的线段记为 AB，则|AB|=A. B.4 C. D.64.命题“使得”的否定形式是A.使得 B.使得C.使得 D.使得5.设函数
2、，则的最小正周期A.与 b 有关，且与 c 有关 B.与 b 有关，但与 c 无关C.与 b 无关，且与 c 无关 D.与 b 无关，但与 c 有关6.如图，点列分别在某锐角的两边上，且， ，.（表示点 P 与 Q 不重合）学.科.网若，为的面积，则A.是等差数列 B.是等差数列C.是等差数列 D.是等差数列7.已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则A.且 B.且C.且 D.且8.已知实数.A.若则B.若则C.若则D.若则二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。9.若抛物线上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是.10.
3、已知，则 A=，b=.11.某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的表面积是 cm2，体积是cm3.12.已知，若，则 a=，b=.13.设数列的前 n 项和为，若，则=，=.14.如图，在中，AB=BC=2，.若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上的点 D，满足 PD=DA，PB=BA，则四面体 PBCD 的体积的最大值是.15.已知向量 a，b，|a|=1，|b|=2，学.科.网若对任意单位向量 e，均有|ae|+|be|，则 ab 的最大值是.三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.（本题满分 14 分）在 中，内角
4、 所对的边分别为 ，已知ABC, ,abc2cosaB（）证明： 2（）若 的面积 ，求角 A 的大小. 学科.网24aS17.（本题满分 15 分）如图，在三棱台 中，已知平面 BCFE 平面 ABC， ，ABCDEF 90ACB， ， ，1BEFC2B3（）求证： ACFDB平 面（）求二面角 的余弦值.-18. （本题满分 15 分）设 ，函数 ,3a2()min|1|,42Fxxax其中（）求使得等式 成立的 x 的取值范围2()42Fx（） （i）求 的最小值 ()a（ii）求 在 上的最大值 学.科网()x0,6()M19.（本题满分 15 分）如图，设椭圆 C:21()xya（）
5、求直线 被椭圆截得到的弦长（用 a,k 表示）1ykx（）若任意以点 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围.(0,1)A20、 （本题满分 15 分）设数列满足 ，1|2na（）求证： 1|2(|)(*)naN（）若 ， ，证明： ， .学科&网3|)n|na*浙江数学（理科）试题参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 40 分.1.B 2.C 3.C 4.D 5.B 6.A 7.A 8.D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，满分 16 分.9.9 10. 11.72,32 12.4,2 13.1,
6、121 14. 15. 2,1 12三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。16.本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分 14 分。（I）由正弦定理得 ，sinCsincoA故 ，2sincoiscosinAA于是 i又 ， ，故 ，所以0,或 ，A因此 （舍去）或 ，2所以， 2（II）由 得 ，学.科.网故有4aS1sinC4ab，sini2ico因 ，得 0s又 ， ，所以 C,当 时， ；2A当 时， 4综上， 或 17.本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分 15 分。（I）延长
7、 ， ， 相交于一点 ，如图所示DACF因为平面 平面 ，且 ，所以，CA平面 ，因此，CF又因为 ， ， ，所以/ 12为等边三角形，且 为 的中点，则CFCF所以 平面 DA（II）方法一：过点 作 ，连结 FQA因为 平面 ，学科& 网所以 ，则 平面 ，所以 CFAQFA所以， 是二面角 的平面角D在 中， ， ，得 RtA3231FQ在 中， ， ，得 tQF13cos4所以，二面角 的平面角的余弦值为 DA方法二：如图，延长 ， ， 相交于一点 ，则 为等边三角形CFC取 的中点 ，则 ，又平面 平面 ，所以， 平面 CFACA以点 为原点，学.科.网分别以射线 ， 的方向为 ，
8、的正方向，xz建立空间直角坐标系 xyz由题意得， ， ，1,01,0,3， ， ,3A,21F,02因此， ， C0,3,3A设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 1,mxyz2,nxyz由 ，得 ，取 ；C0mA1130yxz3,01m由 ，得 ，取 0n2230y,2n于是， cos,4mn所以，二面角 的平面角的余弦值为 DFA3418.本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识。同时考查推理论证能力，分析问题和解决问题的能力。满分 15 分。（I）由于 ，故3a当 时， ，1x2 242110xaxax当 时， 所以，使得等式 成立的 的取值范围为2Fxx2,a
9、（II） （i）设函数 ， ，则21fx242gxa， ，min10fxmin所以，由 的定义知 ，即F,af2,34,2a（ii）当 时，0x，Fma0,F2ff当 时，26x2,6ax,348maxF2,6xgg所以，348,42a19本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分 15 分。（I）设直线 被椭圆截得的线段为 ，由 得1ykxA21ykxa，2210a故， 10x221ak因此22 211kkxaA（II）假设圆与椭圆的公共点有 个，由对称性可设 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 ， ，满足4yQQ记直线 ， 的斜
10、率分别为 ， ，且 ， ， A1k2120k12k由（I）知， ，221ak22ak故，222121kkaa所以 22221110k由于 ， ， 得2k20k，11a因此， 2221 ak因为式关于 ， 的方程有解的充要条件是1k2，21a所以因此，任意以点 为圆心的圆与椭圆至多有 个公共点的充要条件为0,1A3，12a由 得，所求离心率的取值范围为 ce 20e20.本题主要考查数列的递推关系与单调性、学.科.网不等式性质等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力。满分 15 分。（I）由 得 ，故12na12na， ，1nn所以 1122312 2n naaaa11n，因此12na（II）任取 ，由（I）知，对于任意 ，mn1121222nmnnmaaa11nm，2故 12mnnaa1322mnn4n从而对于任意 ，均有m32nna由 的任意性得 2na否则，存在 ，有 ，取正整数 且 ，则00n00342lognam0mn，00340 02log324namn与式矛盾综上，对于任意 ，均有 2na