1、2016 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题） ，第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 4 页，共 4 页，满分150 分，考试时间 120 分钟，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿上答题无效，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。第 I 卷（选择题 共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1.设集合 ，Z 为整数集，则 中元素的个数是（ ）|2AxAZ（A）3（B）4（C）5（D）62.设 i 为虚数单
2、位，则 的展开式中含 x4 的项为（ ）6(i)（A）15x 4（B ）15x 4（C）20i x4（D）20i x 43.为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上所有的点（ ）sin(2)3ysin2yx（A）向左平行移动 个单位长度（ B）向右平行移动 个单位长度3（C）向左平行移动 个单位长度（ D）向右平行移动 个单位长度664.用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ）（A）24（B）48（C）60（D）725.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增
3、长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是（ ）（参考数据：lg 1.120.05， lg 1.30.11，lg20.30）（ A）2018 年（B）2019 年（C）2020 年（D）2021 年6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为 3，2，则输出 v 的值为（ ）（A）9 （B）18 （C）20 （D）357.设 p：实数 x，y 满足(x 1)2+(y1)22，q：实数 x，y
4、满足 则 p 是 q 的（ ）1,x（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件8.设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 上任意一点，M 是线段 PF 上的点，且2(p0)yx=2 ,则直线 OM 的斜率的最大值为（ ）M（A） （B） （C） （D）1329.设直线 l1，l 2 分别是函数 f(x)= 图象上点 P1，P 2 处的切线，l 1 与 l2 垂直相交于点 P，且ln,0,xl1，l 2 分别与 y 轴相交于点 A，B，则PAB 的面积的取值范围是（ ）（A）(0,1) （ B）(0,2) （ C）(0,+) （D）(1,+)10.
5、在平面内，定点 A，B，C ，D 满足 = = , = = =-2，动点 P，MBCABDCA满足 =1， = ，则 的最大值是（ ）PM2（A） （B） （C） （D）4393764374第 II 卷（非选择题 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。11.cos2 sin2 = .812.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在 2 次试验中成功次数 X 的均值是 .13.已知三棱锥的四个面都是腰长为 2 的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 。 吨33114.已知函数 f（x ）是定义在 R 上
6、的周期为 2 的奇函数，当 0x1 时，f （x ）= ，则 f（ ）+ f（1）= 4x52。15在平面直角坐标系中，当 P(x，y)不是原点时，定义 P 的“伴随点”为 ；2(,)yxP当 P 是原点时，定义 P 的“伴随点“为它自身，平面曲线 C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线 定义C为曲线 C 的“伴随曲线”.现有下列命题：若点 A 的“伴随点 ”是点 ，则点 的“伴随点”是点 AA单位圆的“伴随曲线”是它自身；若曲线 C 关于 x 轴对称，则其“伴随曲线” 关于 y 轴对称；C一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是_（写出所有真命题的序列）.三、解答题：本大题共 6 小题
7、，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分 12 分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 （吨） 、一位居民的月用水量不超过 的部分按平价收费，超出 的部x xx分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨） ，将数据按照0,0.5) ，0.5,1) ， ，4,4.5) 分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图.a0.520.40.16.20.8.44.543.532.521.510.50 吨吨吨吨（I）求直方图中 a 的值
8、；（II）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，并说明理由；（III）若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准 （吨） ，估计 的值，并说明理由.xx17.（本小题满分 12 分）在ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 .oscsinABCb（I）证明： ；sinsi（II）若 ，求 .2265bcabctanB18.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，ADBC， ADC= PAB=90，BC=CD= AD.E 为棱 AD 的中点，12异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90. EDCBPA（I）在平面
9、PAB 内找一点 M，使得直线 CM平面 PBE，并说明理由；(II)若二面角 P-CD-A 的大小为 45，求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值.19.（本小题满分 12 分）已知数列 的首项为 1， 为数列 的前 n 项和， ，其中 q0， .nanSa1nSq*nN（I）若 成等差数列，求 的通项公式；23,(ii)设双曲线 的离心率为 ，且 ，证明：.21nyxane25312143nee20.（本小题满分 13 分）已知椭圆 E： 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的 3 个顶点，直线 l:y=-22+22=1(0)x+3 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T.（I）求椭圆
10、 E 的方程及点 T 的坐标；（II）设 O 是坐标原点，直线 l平行于 OT,与椭圆 E 交于不同的两点 A、B，且与直线 l 交于点 P.证明：存在常数 ，使得PT 2=PAPB ，并求 的值.21.（本小题满分 14 分）设函数 f(x)=ax2-a-lnx，其中 a R.（I）讨论 f(x)的单调性；（II）确定 a 的所有可能取值，使得 在区间（1，+ ）内恒成立(e=2.718 为自然对数的底()xfe数)。2016 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）试题参考答案一、选择题1C 2A 3D 4D 5B6B 7A 8C 9A 10B二、填空题11 12 13 14
11、2 1523三、解答题16 （本小题满分 12 分）（）由频率分布直方图知，月均用水量在0,0.5) 中的频率为 0.080.5=0.04，同理，在0.5,1)，1.5,2) ，2,2.5)，3,3.5)，3.5,4)，4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02由 0.04+0.08+0.5a+0.20+0.26+0.5a+0.06+0.04+0.02=1，解得 a=0.30（）由（ ） ，100 位居民每人月均用水量不低于 3 吨的频率为 0.06+0.04+0.02=0.12由以上样本的频率分布，可以估计全市 30 万居民中月均用水量不低于 3 吨
12、的人数为300 0000.12=36 000（ ）因为前 6 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.880.85，而前 5 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.730)sinaAbBsincC则 a=ksin A，b=k sin B，c =ksin C代入 + = 中，有cosi+ = ，变形可得inkisniksin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)在ABC 中，由 A+B+C=，有 sin(A+B)=sin(C)=sin C，所以 sin Asin B=sin C（）由已知
13、，b 2+c2a2= bc，根据余弦定理，有65cos A= = 23所以 sin A= = 21cos45由（） ，sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B，所以 sin B= cos B+ sin B，453故 tan B= =4sinco18. （本小题满分 12 分）（）在梯形 ABCD 中，AB 与 CD 不平行.延长 AB，DC，相交于点 M（ M平面 PAB） ，点 M 即为所求的一个点.理由如下：由已知，BCED，且 BC=ED.所以四边形 BCDE 是平行四边形. 从而 CMEB.又 EB 平面 PBE，CM 平面 PBE，所以 CM平面 PBE.（说
14、明：延长 AP 至点 N，使得 AP=PN，则所找的点可以是直线 MN 上任意一点）（）方法一：由已知，CDPA ，CDAD ，PA AD=A，所以 CD平面 PAD.从而 CDPD.所以 PDA 是二面角 P-CD-A 的平面角.所以 PDA=45.设 BC=1，则在 RtPAD 中，PA=AD=2.过点 A 作 AHCE，交 CE 的延长线于点 H，连接 PH.易知 PA平面 ABCD，从而 PACE.于是 CE平面 PAH.所以平面 PCE平面 PAH.过 A 作 AQPH 于 Q，则 AQ平面 PCE.所以 APH 是 PA 与平面 PCE 所成的角.在 Rt AEH 中， AEH=4
15、5，AE=1，所以 AH= .2在 Rt PAH 中， PH= = ，2PAH32所以 sin APH= = .1方法二： zy xME DCBPA由已知，CDPA ，CDAD ，PA AD=A，所以 CD平面 PAD.于是 CDPD.从而 PDA 是二面角 P-CD-A 的平面角. 所以 PDA=45.由 PAAB ，可得 PA平面 ABCD.设 BC=1，则在 RtPAD 中，PA=AD=2.作 AyAD，以 A 为原点，以 , 的方向分别为 x 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标DAP系 A-xyz，则 A（0,0,0） ，P （0,0,2） ，C(2,1,0)，E(1,0,
16、0)，所以 =（1,0,-2） ， =（1,1,0） ， =（0,0,2）PEC设平面 PCE 的法向量为 n=(x,y,z)，由 得 设 x=2，解得 n=(2,-2,1).0,n20,xzy设直线 PA 与平面 PCE 所成角为 ，则 sin= = .|AP2213()所以直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值为 .1319.（本小题满分 12 分）（）由已知， 两式相减得到 .121,nnnSqSq+= 21,nnaq+=又由 得到 ，故 对所有 都成立.21q21aa=1所以，数列 是首项为 1，公比为 q 的等比数列.n从而 .1=naq-由 成等差数列，可得 ，即 ，则 ，23
17、2+， ， 32=a+2=3,q+(21)0q-=由已知, ，故 .0q所以 .1*2()na-=N（）由（）可知， .1naq-=所以双曲线 的离心率 .2nyx- 22(1)nnneaq-+=由 解得 .22513eq=+4=因为 ，所以 .()(1)kk2(1)*+kkqN（ ）于是 ，112nnee-+=故 .12143nee-+20.（本小题满分 13 分）（I）由已知， ，则椭圆 E 的方程为 .ab21xyb有方程组 得 .21,3xy22(18)0x方程的判别式为 ，由 ，得 ，2=4()b=23b此时方程的解为 ，x所以椭圆 E 的方程为 .2163y点 T 坐标为（2,1）
18、.（II）由已知可设直线 的方程为 ，l (0)2yxm有方程组 可得123yxm， 31.y，所以 P 点坐标为（ ） ， .2,289PTm设点 A，B 的坐标分别为 .12()(,)AxyB，由方程组 可得 .263xym， 224(1)0方程的判别式为 ，由 ，解得 .2=16(9)032m由得 .21214,33xx所以 ，221115()()3mPAyx同理 ，2523mPBx所以 12()()43Ax 21215()()43mx24()()3m.2109m故存在常数 ，使得 .452PTAB21.（本小题满分 14 分）（I） 21()20).axfx(0， 单调递增.x+)（
19、， ()f()f（II）令 = ， = .(g1exs1ex则 = .)sx1而当 时， 0，()sx所以 在区间 内单调递增.()1+（ ，又由 =0，有 0，s()sx从而当 时， 0.f当 ， 时， = .0a1x()fx21)ln0ax故当 在区间 内恒成立时，必有 .()fg+（ ， a当 时， 1.02aa由（I）有 ,从而 ，1()(0ff1()02ga所以此时 在区间 内不恒成立.fxg+（ ，当 时，令 ，12a()()1hfxg=-当 时， ，x32222111e 0x xxa- -+-+-=因此， 在区间 单调递增.()h(1,)+又因为 ，所以当 时， ，即 恒成立.=0x()()0hxfgx=-()fxg综上， ,)2a