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【上海卷】2016年普通高校招生全国统一考试数学(文科)试卷(含答案)

1、2016 年高考上海数学试卷(文史类)考生注意:1本试卷共 4 页,23 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟.2本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.1设 ,则不等式 的解集为_.xR31x2设 ,其中 为虚数单位,则 的虚部等于_.3izi

2、z3已知平行直线 , ,则 与 的距离是_.120lxy: 210lxy: 1l24某次体检,5 位同学的身高(单位:米)分别为 1.72,1.78,1.80,1.69,1.76,则这组数据的中位数是_(米).5若函数 的最大值为 5,则常数 _.()4sincosfxaxa6已知点(3,9)在函数 的图像上,则 的反函数 =_.()1f ()fx1()fx7若 满足 则 的最大值为_.,xy0,x2y8方程 在区间 上的解为_.3sin1cos0,9在 的二项展开式中,所有项的二项式系数之和为 256,则常数项等于_.2()x10已知ABC 的三边长分别为 3,5,7,则该三角形的外接圆半径

3、等于 _.11某食堂规定,每份午餐可以在四种水果中任选两种,则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为_.12.如图,已知点 O(0,0),A(1.0),B(0,1),P 是曲线 上一个动点,则 的取值21yx=-OPBAur范围是 .13.设 a0,b0. 若关于 x,y 的方程组 无解,则 的取值范围是 .1,axyb+= ab+14.无穷数列a n由 k 个不同的数组成, Sn为a n的前 n 项和.若对任意的 ,*nN则 k 的最大值为 .23nS,二、选择题(本大题共 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5

4、分,否则一律得零分.15.设 ,则“a1”是“a 21”的( )R(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件16.如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E、F 分别为 BC、BB 1 的中点,则下列直线中与直线 EF 相交的是( )(A)直线 AA1 (B)直线 A1B1 (C)直线 A1D1 (D)直线 B1C117.设 , .若对任意实数 x 都有 ,则满足条件的有序实aR0,2b sin(3)=si()xaxb-+数对(a,b) 的对数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)418.设 f(x)、g(x)、h(x )是定义域为 的三个

5、函数.对于命题:若 f(x)+g(x)、f(x)+ h(x)、g(x)R+ h(x)均是增函数,则 f(x)、 g(x)、h(x) 均是增函数;若 f(x)+g(x)、f(x)+ h(x)、g( x)+ h(x)均是以 T 为周期的函数,则 f(x)、g( x)、h(x) 均是以 T 为周期的函数,下列判断正确的是( )(A)和均为真命题 (B) 和均为假命题(C)为真命题,为假命题 (D)为假命题,为真命题三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第

6、2 小题满分 6 分.将边长为 1 的正方形 AA1O1O(及其内部)绕 OO1 旋转一周形成圆柱,如图, 长为 AC5, 长为 ,其中 B1 与 C 在平面 AA1O1O 的同侧.A1B3(1)求圆柱的体积与侧面积;(2)求异面直线 O1B1 与 OC 所成的角的大小.20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.有一块正方形菜地 EFGH,EH 所在直线是一条小河,收获的蔬菜可送到 F 点或河边运走.于是,菜地分为两个区域 S1 和 S2,其中 S1 中的蔬菜运到河边较近,S 2 中的蔬菜运到 F 点较近,而菜地内 S1 和 S2 的

7、分界线 C 上的点到河边与到 F 点的距离相等.现建立平面直角坐标系,其中原点 O 为 EF 的中点,点 F 的坐标为(1,0) ,如图(1)求菜地内的分界线 C 的方程;(2)菜农从蔬菜运量估计出 S1 面积是 S2 面积的两倍,由此得到 S1 面积的“经验值”为 .83设 M 是 C 上纵坐标为 1 的点,请计算以 EH 为一边、另有一边过点 M 的矩形的面积,及五边形 EOMGH 的面积,并判别哪一个更接近于 S1 面积的“经验值”.21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.双曲线 的左、右焦点分别为 F1、F2,直线 l 过

8、F2 且与双曲线交于 A、B21(0)yxb两点.(1)若 l 的倾斜角为 , 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;21FAB(2)设 若 l 的斜率存在,且|AB|=4,求 l 的斜率.3,b22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3小题满分 6 分.对于无穷数列 与 ,记 A= | = , ,B= | = , ,若nabxa*Nnxnb*N同时满足条件: , 均单调递增; 且 ,则称 与*Ana是无穷互补数列.nb(1)若 = , = ,判断 与 是否为无穷互补数列,并说明理na21nb42nab由;(2)若 = 且 与 是

9、无穷互补数列,求数列 的前 16 项的和;nn n(3)若 与 是无穷互补数列, 为等差数列且 =36,求 与 得abna16anb通项公式.23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3小题满分 8 分已知 R,函数 = .a()fx2log()a(1)当 时,解不等式 1;f(2)若关于 的方程 + =0 的解集中恰有一个元素,求 的值;x()2log()xa(3)设 0,若对任意 ,函数 在区间 上的最大值与最小值的at1,f,1t差不超过 1,求 的取值范围.参考答案1. )4,2(2. 33. 54. 76.15. 36

10、. )(log2x7. 8. 65,9. 1210. 3711. 612. 1,213.14. 415.A16.D17.B18.D19.解:(1 )由题意可知,圆柱的母线长 ,底面半径 1l1r圆柱的体积 ,22V1rl圆柱的侧面积 S(2 )设过点 的母线与下底面交于点 ,则 ,11/所以 或其补角为 与 所成的角C1C由 长为 ,可知 ,A1313A由 长为 ,可知 , ,C565C6C2A所以异面直线 与 所成的角的大小为 1 220.解:(1 )因为 上的点到直线 与到点 的距离相等,所以 是以 为焦点、以CFCF为准线的抛物线在正方形 内的部分,其方程为 ( ) G24yx02y(2

11、 )依题意,点 的坐标为 1,4所求的矩形面积为 ,而所求的五边形面积为 5214矩形面积与“经验值”之差的绝对值为 ,而五边形面积与“经验值”之差58236的绝对值为 ,所以五边形面积更接近于 面积的 “经验值” 184321S21.解:(1 )设 ,xyA由题意, , , ,2F,0c21b241cbA因为 是等边三角形,所以 ,13y即 ,解得 2443b2故双曲线的渐近线方程为 yx(2 )由已知, 2F,0设 , ,直线 1,xyAy:l2ykx由 ,得 213yxk223430kxk因为 与双曲线交于两点,所以 ,且 l 2261k由 , ,得 ,2143kx1243kx2123x

12、故 ,22211126143kyA解得 ,故 的斜率为 235kl522.解:(1 )因为 , ,所以 ,44A从而 与 不是无穷互补数列nab(2 )因为 ,所以 461620数列 的前 项的和为n234510280(3 )设 的公差为 , ,则 nad16536ad由 ,得 或 16512若 ,则 , ,与“ 与 是无穷互补数列”矛盾;d20nnb若 ,则 , , 16a4n,52n综上, , 24n,52nb23.解:(1 )由 ,得 ,21logx12x解得 0,x(2 ) 有且仅有一解,221loglog0ax等价于 有且仅有一解,等价于 有且仅有一解21ax 210ax当 时, ,符合题意;0当 时, , 4014a综上, 或 a1(3 )当 时, , ,120x12ax2211loglogaaxx所以 在 上单调递减f,函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 , xt ft1ft即 ,对任意2211loglogft aatt20tat成立1,2t因为 ,所以函数 在区间 上单调递增, 时,0a21yatt1,212ty有最小值 ,由 ,得 31403故 的取值范围为 a2,