1、绝密启用前2016 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第卷和第卷两部分，共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1.答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。2.第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。3. 第卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上
2、新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件 A,B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B).如果事件 A，B 独立，那么 P(AB)=P(A)P(B)第卷（共 50 分）一、 选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）若复数 z 满足 其中 i 为虚数单位，则 z=（ ）23i,z（A）1+2i （B）1 2i （C ） （D）12i12i（2）设集合 则 =（ ）2|,|0,xyxRAB（A） （B） （C
3、 ） （D）(1,)(0,1)(1,)(0,)（3）某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时） ，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是 ，样本数据分组为 .根据直方图，7.5,37.5,20),.5)2.,)5,27.).,30这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是（ ）（A）56 （B）60（C）120 （D）140（4）若变量 x，y 满足 则 的最大值是（ ）2,390,xy+-2xy+（A）4 （B ）9 （C）10 （D ）12（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）（A） （B ） （C
4、） （D）123 123 1236 216（6）已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 ， 内.则“ 直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的（ ）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（7）函数 f（x ）=（ sinx+cosx） （ cosx sinx）的最小正周期是（ ）33（A） （B） （C） （D）22 2（8）已知非零向量 m，n 满足 4m=3n，cos= .若 n（tm+n） ，则实数 t 的值为（ ）13（A）4 （B）4 （C） （D）94（9）已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x0 时， ；当 时， ；当3(
5、)1fx1x()(fxf时， .则 f(6)= （ ）12x1)2ff（A）2（B） 1（C）0（D ）2（10）若函数 y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 y=f(x)具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是（ ）（A）y=sinx（B）y=ln x（C）y=e x（D ）y=x 3第卷（共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。（11）执行右边的程序框图，若输入的 a,b 的值分别为 0 和 9，则输出的 i 的值为_.(12)若（ax 2+ ） 5 的展开式中 x5 的系数是80，则实数 a=_.1（13）已
6、知双曲线 E1： （a0，b0） ，若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为21yE 的两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是_.（14）在 上随机地取一个数 k，则事件“直线 y=kx 与圆 相交”发生的概率为 .1,- 2(5)9xy-+=（15）已知函数 其中 ，若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f（x）=b 有三2|,()4,xxmf 0个不同的根，则 m 的取值范围是 _.三、解答题：本答题共 6 小题，共 75 分。（16） （本小题满分 12 分）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，已知 tant2(tant).co
7、sABB（）证明：a+b=2 c;（）求 cosC 的最小值.17（本小题满分 12 分）.在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆 O 的直径，EF 是上底面圆 O 的直径，FB 是圆台的一条母线.（I）已知 G,H 分别为 EC，FB 的中点，求证：GH平面 ABC；（II）已知 EF=FB= AC= AB=BC.求二面角 的余弦值.123FBCA（18） （本小题满分 12 分）已知数列 的前 n 项和 Sn=3n2+8n， 是等差数列，且nanb1.nnab（）求数列 的通项公式；nb（）令 求数列 的前 n 项和 Tn.1().2nncnc（19） （本小题满分 12 分）甲、乙两人组成
8、“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得0 分。已知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮猜对的概率是 ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响。各轮423结果亦互不影响。假设“星队”参加两轮活动，求：（I） “星队”至少猜对 3 个成语的概率；（II） “星队”两轮得分之和 X 的分布列和数学期望 EX(20)(本小题满分 13 分)已知 .21()ln,xfxaaR（I）讨论 的单调性；（II）当 时，证明 对于任意的 成立13()2fx 1,2x（21）本小题满分 1
9、4 分）平面直角坐标系 中，椭圆 C： 的离心率是 ，抛物线 E： 的焦点 FxOy210xyab 322xy是 C 的一个顶点。（I）求椭圆 C 的方程；（II）设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限， E 在点 P 处的切线 与 C 交与不同的两点 A，B ，线段 AB 的l中点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M.（i）求证：点 M 在定直线上 ;（ii）直线 与 y 轴交于点 G，记 的面积为 ， 的面积为 ，求 的最大值及取得最大值l FA1SPDMA2S1时点 P 的坐标.2016 年普听高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学试题参考答案一、选择题（
10、1） 【答案】B（2） 【答案】C（3） 【答案】D（4） 【答案】C（5） 【答案】C（6） 【答案】A（7） 【答案】B（8） 【答案】B（9） 【答案】D（10） 【答案】A第卷（共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.（11） 【答案】3（12） 【答案】-2（13） 【答案】2（14） 【答案】 34（15） 【答案】 (,)三、解答题（16）解析： 由题意知 ，sinisinsin2cococoABAB化简得 ，siii即 .2nsnAB因为 ,C所以 .sisisiC从而 .n=2nAB由正弦定理得 .abc由 知 ,()所以 ，222cos
11、ababcC31842ab当且仅当 时，等号成立.故 的最小值为 .cs12考点：两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理、余弦定理及基本不等式.（17）（I）证明：设 的中点为 ,连接 ,FCIGHI在 ,因为 是 的中点，所以E F/E又 所以/OB,I/在 中，因为 是 的中点，所以 ，CF HF/HIBC又 ,所以平面 平面 ，HIGI/HIABC因为 平面 ， 所以 平面 .G（II）解法一：连接 ,则 平面 ，O又 且 是圆 的直径，所以ABC.BOAC以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，xyz由题意得 ， ，过点 作 于点 ，(0,23)(23,0)FMB垂 直所以 ,F
12、MB可得 (,)故 .(23,0),(,3)BCBF设 是平面 的一个法向量. )mxyzC由 ,0BF可得 23,xyz可得平面 的一个法向量BCF3(1,),m因为平面 的一个法向量A0,n所以 .7cos,|mn所以二面角 的余弦值为 .FBCA7解法二：连接 ，过点 作 于点 ，OFMOB则有 ,/又 平面 ，AC所以 FM平面 ABC,可得 23,FB过点 作 于点 ，连接 ，MN垂 直 FN可得 ,C从而 为二面角 的平面角.FBA又 , 是圆 的直径，ABO所以 6sin45,2MN从而 ，可得2F7co.FNM所以二面角 的余弦值为 .BCA考点：空间平行判定与性质；异面直线所
13、成角的计算；空间想象能力，推理论证能力（18）（）由题意知当 时， ，2n561nSan当 时， ，1n1Sa所以 .56设数列 的公差为 ，nbd由 ，即 ，可解得 ，321adb32713,41db所以 .nb（）由（）知 ，11(6)3()2nnnc又 ，nnT321得 ，412()2n，35n两式作差，得 234122()nnnT22(1)(3nn所以 nnT考点：数列前 n 项和与第 n 项的关系；等差数列定义与通项公式；错位相减法（19）()记事件 A:“甲第一轮猜对 ”，记事件 B：“乙第一轮猜对” ，记事件 C：“甲第二轮猜对” ，记事件 D：“乙第二轮猜对” ，记事件 E：“
14、星队至少猜对 3 个成语”.由题意， .ABCACA由事件的独立性与互斥性，PEABCDPABCDPABCDP,32123132=444.所以“星队”至少猜对 3 个成语的概率为 .23()由题意，随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得,110434PX,210523472,13125434431,123PX,2605=44142.316可得随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3 4 6P 45741521所以数学期望 .31246E考点：独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；分布列和数学期望(20) （） 的定义域为 ；)(xf),0(.32
15、32/ )1()( xaxaxf 当 ， 时， ， 单调递增；0)1,(0)(/f)(f， 单调递减./,xx时当 时， .0a/3()2)(afa（1） ， ，21当 或 时， ， 单调递增；),0(x),(a0)(/xf)(f当 时， ， 单调递减；)2,1()(/xf)(f（2） 时， ，在 内， ， 单调递增；ax),0(0)(/xf)(f（3） 时， ，120a当 或 时， ， 单调递增；),(xx),(0)(/xf)(f当 时， ， 单调递减.)1,2(a0/ff综上所述，当 时，函数 在 内单调递增，在 内单调递减；0)(xf, ),1(当 时， 在 内单调递增，在 内单调递减，
16、在 内单调递增；2af1,02,a),2(a当 时， 在 内单调递增；)(xf),当 ， 在 内单调递增，在 内单调递减，在 内单调递增.2af2,0a)1,2(a),1(（）由（）知， 时，1/ 2231()ln()xfx x， ，23lx,1令 ， .1)(,ln)( 32hxg 2,x则 ，/ xgf由 可得 ， 当且仅当 时取得等号.01)(/xg1)(g1x又 ，2436()h设 ，则 在 单调递减，2xx)(x2,1因为 ，10)(,)1所以在 上使得 时， 时， ，0x2),(0x)2,(,0)(0x0)(x所以函数 在 上单调递增；在 上单调递减，()h),02,由于 ，因此，
17、当且仅当 取得等号，21,11)(hx2x所以 ，23)()(/gxf即 对于任意的 成立。23)(/ff ,1x考点：利用导函数判断函数的单调性；分类讨论思想.（21）（）由题意知 ，可得： .232abba2因为抛物线 的焦点为 ，所以 ，E)1,0(F1,所以椭圆 C 的方程为 .142yx（） （i）设 ，由 可得 ，)0(,mPyx2x/所以直线 的斜率为 ，l因此直线 的方程为 ，即 .)(2xy2mxy设 ，联立方程),(),(),(021DxBA241xy得 ，14)4(432mm由 ，得02505或且 ，14231x因此 ,2310m将其代入 得 ，xy)14(20y因为 ，所以直线 方程为 .410ODxmy联立方程 ，得点 的纵坐标为 ，mxyMM14即点 在定直线 上.M41y（ii）由（i）知直线 方程为 ，l2mx令 得 ，所以 ，0x2my),0(G又 ，21(,)(0,mPFD)14(2,(3m所以 ，)(4|21GS，)1(82| 202 mxPM所以 ，2221)1(4S令 ，则 ，mt 21)(22 ttS当 ，即 时， 取得最大值 ，此时 ，满足 ，21tt2149m0所以点 的坐标为 ，因此 的最大值为 ，此时点 的坐标为 .P)4,(12SP)41,2(考点：椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力.