1、2016 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理） （北京卷）本试卷共 5 页，150 分考试时长 120 分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（1）已知集合 A= B= ，则| （ A） - （ B）1 10sin-sin0（ C） (- 0 （ D） lnx+lny(12) 12)0(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ A） 16（ B）13（ C）12（ D） 1(7)将函数 图像上的点 P（ ，
2、 t ）向左平移 s（s0） 个单位长度得到点 P.y=sin（ 2 3） 4若 P位于函数 的图像上，则y=sin（ 2）（A）t= ，s 的最小值为 （B）t = ，s 的最小值为 12 6 32 6（C）t= ，s 的最小值为 （D ）t= ，s 的最小值为 12 3 32 3（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 （C）乙盒中红球不多于丙盒中
3、红球 （D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分（9）设 a R，若复数（1+i） （a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则 a=_。（10）在 的展开式中， 的系数为_.（用数字作答）(12)6 2（11）在极坐标系中，直线 与圆 交于 A，B 两点，cos 3sin1=0 =2cos则 =_.|（12）已知 为等差数列， 为其前 n 项和，若 ， ，则 . 1=6 3+5=0 6=_（13）双曲线 的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B2222=1 (0,0)为该双曲线的焦点。若正方
4、形 OABC 的边长为 2，则 a=_.（14）设函数 ()=33， ，2， 。 若 a=0，则 f(x)的最大值为 _；若 f(x)无最大值，则实数 a 的取值范围是_。三、解答题（共 6 小题，共 80 分解答 应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15） （本小题 13 分）在 ABC 中，332acbac（I）求 的大小B（II）求 的最大值2osAC（16） （本小题 13 分）A、B、C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时） ；A 班 6 6.5 7 7.5 8B 班 6 7 8 9 10 11 1
5、2C 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5（I） 试估计 C 班的学生人数；（II） 从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（III）再从 A、B、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是 7，9，8.25（单位：小时） ，这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ，表格中数据的平均数记为 ，试判断 1 0和 的大小， （结论不要求证明）0 1（17） （本小题 14 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAD
6、 平面 ABCD，PA PD ,PA=PD,AB AD,AB=1,AD=2,AC=CD= ,5（I）求证：PD 平面 PAB; （II）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值；（II I）在棱 PA 上是否存在点 M，使得 BMll 平面 PCD?若存在，求 的值；若不存在，说明理由。AMP（18） （本小题 13 分）设函数 f(x)=xe +bx，曲线 y=f(x)d hko (2,f(2)处的切线方程为 y=(e-1)x+4，axe（I）求 a,b 的值；(I I) 求 f(x)的单调区间。（19） （本小题 14 分）已知椭圆 C： （ab0）的离心率为 ，A（a,0）,B(0,
7、b) ，O（0，0） ，OAB 的面积为 1.21Xyab32（I）求椭圆 C 的方程；(I I)设 P 的椭圆 C 上一点，直线 PA 与 Y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N。求证：lANl lBMl 为定值。A（20） （本小题 13 分）设数列 A： ， , (N2)。如果对小于 n(2nN)的每个正整数 k 都有 ，则称 n 是1a2N kan数列 A 的一个“G 时刻” 。记“G（A）是数列 A 的所有“G 时刻”组成的集合。（I）对数列 A：-2，2，-1 ，1，3，写出 G（A）的所有元素；(I I)证明：若数列 A 中存在 使得 ，则 G（A） ；na1(I I
8、 I）证明：若数列 A 满足 - 1（n=2,3, ,N ） ,则 G（A）的元素个数不小于 - 。 Na12016 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理） （北京卷）参考答案一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1）C （2）C （3）B （4）D（5）C （6）A （7）A （8）B二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9） （10）0（11) （12）（13） （14） 22)1,(三、解答题（共 6 小题，共 80 分）（15） （共 13 分）解：（）由余弦定理及题设得 .22cosacbcaB又因为 ，所以 .B04（）由（）知 .3CA)
9、cos(2cos2A,)4cos(in2in A因为 ，所以当 时， 取得最大值 .430A4Ccos1（16） （共 13 分）解：（）由题意知，抽出的 名学生中，来自 班的学生有 名.根据分层抽样方法， 班的学生人数208C估计为 .2081（）设事件 为“甲是现有样本中 班的第 个人” ， ，iAAi5,21i事件 为“乙是现有样本中 班的第 个人” ， ，jCCj8,j由题意可知， ， ； ， .51)(iP5,2i)(jP, , .408)(jijiA1i,2设事件 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知，E 323132121 CACAC 45534214因此 )()()
10、()()()()()() 3231332212211 CAPPPPAEP （）84015455553444 CACAC.01（17） （共 14 分）解：（）因为平面 平面 ， ，PDBD所以 平面 .ABPD所以 .又因为 ，所以 平面 .（）取 的中点 ，连结 .OC,因为 ，所以 .PDAA又因为 平面 ，平面 平面 ，PDB所以 平面 .B因为 平面 ，所以 .C因为 ，所以 .如图建立空间直角坐标系 .由题意得，xyzO.)1,0(,(),02(),1,0( PDBA设平面 的法向量为 ，则PC),zyxn即,0nD,02zy令 ，则 .z1x所以 .),(又 ，所以 .1,PB3,
11、cosPBn所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .PCD（）设 是棱 上一点，则存在 使得 .MPA1,0APM因此点 .),(),1,0(B因为 平面 ，所以 平面 当且仅当 ，CD PCD0nB即 ，解得 .0)2,1(,(41所以在棱 上存在点 使得 平面 ，此时 .PAMBPCD41AM（18） （共 13 分）解：（）因为 ，所以 .bxexfa)( bexfa)(依题设， 即,1)2(f,122ea解得 .eba,（）由（）知 .exxf2)(由 即 知， 与 同号.1)(12xef 0)(f1xe令 ，则 .g1)(xeg所以，当 时， ， 在区间 上单调递减；),(x)(),(
12、当 时， ， 在区间 上单调递增.,10x,1故 是 在区间 上的最小值，)(g)(x),(从而 .,0综上可知， ， ，故 的单调递增区间为 .)(xf ),()(xf ),(（19） （共 14 分）解：（）由题意得 解得 .,12,32cbac1,ba所以椭圆 的方程为 .C142yx（）由（）知， ，),0(,BA设 ，则 .),(0yxP20y当 时，直线 的方程为 .0xPA)2(0xy令 ，得 .从而 .20xyM10xyBM直线 的方程为 .PB10令 ，得 .从而 .0y0yxN 120yxAN所以 21200 xyBMA 284844 000020 yxyxyx.当 时，
13、，0x10,2,ANB所以 .4MAN综上， 为定值.（20） （共 13 分）解：（） 的元素为 和 .)(AG25（）因为存在 使得 ，所以 .na11,2aNiii记 ，,mi aNii则 ，且对任意正整数 .2mk1因此 ，从而 .)(AG)(（）当 时，结论成立.1aN以下设 .由（）知 .)(AG设 ，记 .ppnn2121, 10则 .pnnnaa210对 ，记 .i,inkii aNkG,如果 ，取 ，则对任何 .i iimiimnki,1从而 且 .)(Ai 1iin又因为 是 中的最大元素，所以 .pnGpG从而对任意 ， ，特别地， .kpnkapnNa对 .iini1,10因此 .1)(1111 iiiii nna所以 .paiip npinN 111因此 的元素个数 不小于 .)(AGN