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【北京卷】2016年普通高校招生全国统一考试数学(文科)试卷(含答案)

1、绝密启用前2016 年普通高等学校招生全国考试数学(文) (北京卷)本试卷共 5 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本市卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题共 40 分)一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。(1)已知集合 ,则 |24,|35AxBx或 AB(A) (B) (C) (D)|2或(2)复数 i=(A)i(B)1+i (C) (D )i1i(3)执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为(A)8(B)9(C)27(D)36 (4)下列函数中,在区间 上

2、为减函数的是(1,)(A) (B) (C) (D) 1yxcosyxln(1)yx2xy(5)圆(x+1) 2+y2=2 的圆心到直线 y=x+3 的距离为(A)1 (B)2 (C) (D)2(6)从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人,则甲被选中的概率为(A) (B) (C) (D) 8595(7)已知 A(2,5) ,B(4,1).若点 P(x ,y)在线段 AB 上,则 2xy 的最大值为(A)1 ( B)3 (C)7 (D)8 (8)某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为 10 名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.学生序号 1 2 3 4

3、5 6 7 8 9 10立定跳远(单位:米)1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.6030 秒跳绳(单位:次)63 a 75 60 63 72 70 a1 b 65在这 10 名学生中,进入立定跳远决赛的有 8 人,同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6 人,则(A)2 号学生进入 30 秒跳绳决赛 (B)5 号学生进入 30 秒跳绳决赛 (C)8 号学生进入 30 秒跳绳决赛 (D)9 号学生进入 30 秒跳绳决赛第二部分(非选择题共 110 分)二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)(9)已知向量 ,则 a

4、 与 b 夹角的大小为_.=(1,3)(,1)ab(10)函数 的最大值为_.2xf(11)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为_.(12) 已知双曲线 (a0,b0)的一条渐近线为 2x+y=0,一个焦点为( ,0) ,则21xya 5a=_;b=_.(13)在 ABC 中, ,a= c,则 =_.3A(14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出 19 种商品,第二天售出 13 种商品,第三天售出 18 种商品;前两天都售出的商品有 3 种,后两天都售出的商品有 4 种,则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有_种;这三天售出的商品最少有_种.三、解答题(共 6 题,共

5、 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)(15) (本小题 13 分)已知a n是等差数列,b n是等差数列,且 b2=3,b 3=9,a 1=b1,a 14=b4.()求a n的通项公式;()设 cn= an+ bn,求数列 cn的前 n 项和.(16) (本小题 13 分)已知函数 f(x) =2sin x cos x+ cos 2x(0)的最小正周期为 .()求 的值;()求 f(x)的单调递增区间.(17) (本小题 13 分)某市民用水拟实行阶梯水价,每人用水量中不超过 w 立方米的部分按 4 元/立方米收费,超出 w 立方米的部分按 10 元/立方米收费,从该市随机调查

6、了 10000 位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图:(I)如果 w 为整数,那么根据此次调查,为使 80%以上居民在该月的用水价格为 4 元/立方米,w 至少定为多少?(II)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当 w=3 时,估计该市居民该月的人均水费.(18) (本小题 14 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PC平面 ABCD, ,ABDCA(I)求证: ;DCPA平 面(II)求证: ;BC平 面 平 面(III)设点 E 为 AB 的中点,在棱 PB 上是否存在点 F,使得 ?说明理由.PACEF平 面(19) (本小题 14 分)已知椭圆

7、C: 过点 A(2,0) ,B(0,1)两点.21xyab(I)求椭圆 C 的方程及离心率;(II)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N,求证:四边形 ABNM 的面积为定值.(20) (本小题 13 分)设函数 32.fxabxc(I)求曲线 在点 处的切线方程;.yf0,f(II)设 ,若函数 有三个不同零点,求 c 的取值范围;4x(III)求证: 是 有三个不同零点的必要而不充分条件.23ab f2016 年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)(北京卷)参考答案一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40

8、分)(1)C (2)A (3)B (4)D (5)C (6)B (7)C (8)B二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)(9) (10)2 (11) (12)1 2 2(13)1 (14)16 29三、解答题(共 6 小题,共 80 分)(15) (共 13 分)解:(I)等比数列 的公比 ,nb329bq所以 , 21bq437设等差数列 的公差为 nad因为 , ,1b1427b所以 ,即 3d所以 ( , , , ) 2na3(II)由(I)知, , 1n1nb因此 nncb从而数列 的前 项和113213nnSn231n(16) (共 13 分)解:(I)因为 2si

9、ncos2fxxsin2cosx,4所以 的最小正周期 fx2依题意, ,解得 1(II)由(I)知 2sin4fxx函数 的单调递增区间为 ( ) siny,2kk由 ,224kx得 388k所以 的单调递增区间为 ( ) fx3,8kk(17) (共 14 分)解:(I)由用水量的频率分布直方图知,该市居民该月用水量在区间 , , , , 内的频0.5,1,.1.5,2,.2.5,3率依次为 , , , , 0.12所以该月用水量不超过 立方米的居民占 %,用水量不超过 立方米的居民占 %384依题意, 至少定为 w(II)由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费用的数据分组与频率

10、分布表:组号 1 2 3 4 5 6 7 8分组 ,4,6,8,10,21,2,7频率 050.005.根据题意,该市居民该月的人均水费估计为: 4.16582125757(元) (18) (共 13 分)解:(I)因为 平面 ,CDA所以 D又因为 ,所以 平面 (II)因为 , ,/所以 A因为 平面 ,C所以 CA所以 平面 所以平面 平面 C(III)棱 上存在点 ,使得 平面 证明如下:F/AF取 中点 ,连结 , , 又因为 为 的中点,所以 F/A又因为 平面 ,所以 平面 C(19) (共 14 分)解:(I)由题意得, , 2a1b所以椭圆 的方程为 C4xy又 ,23cab

11、所以离心率 ce(II)设 ( , ) ,则 0,xy00y204xy又 , ,所以,2A1直线 的方程为 02yx令 ,得 ,从而 0x0 021yx直线 的方程为 01yx令 ,得 ,从而 0y0xy 021xyA所以四边形 的面积A12SA002xyy2000448xy002y从而四边形 的面积为定值A(20) (共 13 分)解:(I)由 ,得 32fxabxc23fxaxb因为 , ,0c所以曲线 在点 处的切线方程为 yfx0,fyxc(II)当 时, ,4ab324xc所以 238fx令 ,得 ,解得 或 00x2x3与 在区间 上的情况如下:fxf,222,3232,3fx00

12、AcA27cA所以,当 且 时,存在 , ,0c32714,2x2,3x,使得 32,x1230fxff由 的单调性知,当且仅当 时,函数 有三个不同零点f ,7c324fxxc(III)当 时, , ,2410ab230fxaxb,此时函数 在区间 上单调递增,所以 不可能有三个不同零点fx,f当 时, 只有一个零点,记作 22fxx 0x当 时, , 在区间 上单调递增;0,x00,当 时, , 在区间 上单调递增fxfx所以 不可能有三个不同零点fx综上所述,若函数 有三个不同零点,则必有 fx2410ab故 是 有三个不同零点的必要条件230ab当 , 时, , 只有两个不同4c230ab232fxx点, 所以 不是 有三个不同零点的充分条件2f因此 是 有三个不同零点的必要而不充分条件30abfx