1、绝密启用前2016 年普通高等学校招生全国考试数学（文） （北京卷）本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合 ，则 |24,|35AxBx或 AB（A） （B） （C） （D）|2或（2）复数 i=（A）i（B）1+i （C） （D ）i1i（3）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（A）8（B）9（C）27（D）36 （4）下列函数中，在区间 上
2、为减函数的是(1,)（A） （B） （C） （D） 1yxcosyxln(1)yx2xy（5）圆（x+1） 2+y2=2 的圆心到直线 y=x+3 的距离为（A）1 （B）2 （C） （D）2（6）从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为（A） （B） （C） （D） 8595（7）已知 A（2，5） ，B（4，1）.若点 P（x ，y）在线段 AB 上，则 2xy 的最大值为（A）1 （ B）3 （C）7 （D）8 （8）某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为 10 名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号 1 2 3 4
3、5 6 7 8 9 10立定跳远（单位：米）1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.6030 秒跳绳（单位：次）63 a 75 60 63 72 70 a1 b 65在这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8 人，同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6 人，则（A）2 号学生进入 30 秒跳绳决赛 （B）5 号学生进入 30 秒跳绳决赛 （C）8 号学生进入 30 秒跳绳决赛 （D）9 号学生进入 30 秒跳绳决赛第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9）已知向量 ，则 a
4、 与 b 夹角的大小为_.=(1,3)(,1)ab（10）函数 的最大值为_.2xf（11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为_.(12) 已知双曲线 （a0，b0）的一条渐近线为 2x+y=0，一个焦点为（ ,0） ，则21xya 5a=_；b=_.(13)在 ABC 中， ，a= c，则 =_.3A(14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出 19 种商品，第二天售出 13 种商品，第三天售出 18 种商品；前两天都售出的商品有 3 种，后两天都售出的商品有 4 种，则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有_种；这三天售出的商品最少有_种.三、解答题（共 6 题，共
5、 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15） （本小题 13 分）已知a n是等差数列，b n是等差数列，且 b2=3，b 3=9，a 1=b1，a 14=b4.（）求a n的通项公式；（）设 cn= an+ bn，求数列 cn的前 n 项和.（16） （本小题 13 分）已知函数 f（x） =2sin x cos x+ cos 2x（0）的最小正周期为 .（）求 的值；（）求 f（x）的单调递增区间.（17） （本小题 13 分）某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过 w 立方米的部分按 4 元/立方米收费，超出 w 立方米的部分按 10 元/立方米收费，从该市随机调查
6、了 10000 位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（I）如果 w 为整数，那么根据此次调查，为使 80%以上居民在该月的用水价格为 4 元/立方米，w 至少定为多少？（II）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当 w=3 时，估计该市居民该月的人均水费.（18） （本小题 14 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PC平面 ABCD， ,ABDCA（I）求证： ；DCPA平 面（II）求证： ；BC平 面 平 面(III)设点 E 为 AB 的中点，在棱 PB 上是否存在点 F，使得 ?说明理由.PACEF平 面（19） （本小题 14 分）已知椭圆
7、C： 过点 A（2,0） ，B（0,1）两点.21xyab（I）求椭圆 C 的方程及离心率；（II）设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，求证：四边形 ABNM 的面积为定值.（20） （本小题 13 分）设函数 32.fxabxc（I）求曲线 在点 处的切线方程；.yf0,f（II）设 ，若函数 有三个不同零点，求 c 的取值范围；4x（III）求证： 是 有三个不同零点的必要而不充分条件.23ab f2016 年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)(北京卷)参考答案一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40
8、分）（1）C （2）A （3）B （4）D （5）C （6）B （7）C （8）B二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9） （10）2 （11） （12）1 2 2（13）1 （14）16 29三、解答题（共 6 小题，共 80 分）（15） （共 13 分）解：（I）等比数列 的公比 ，nb329bq所以 ， 21bq437设等差数列 的公差为 nad因为 ， ，1b1427b所以 ，即 3d所以 （ ， ， ， ） 2na3（II）由（I）知， ， 1n1nb因此 nncb从而数列 的前 项和113213nnSn231n（16） （共 13 分）解：（I）因为 2si
9、ncos2fxxsin2cosx，4所以 的最小正周期 fx2依题意， ，解得 1（II）由（I）知 2sin4fxx函数 的单调递增区间为 （ ） siny,2kk由 ，224kx得 388k所以 的单调递增区间为 （ ） fx3,8kk（17） （共 14 分）解：（I）由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间 ， ， ， ， 内的频0.5,1,.1.5,2,.2.5,3率依次为 ， ， ， ， 0.12所以该月用水量不超过 立方米的居民占 %，用水量不超过 立方米的居民占 %384依题意， 至少定为 w（II）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率
10、分布表：组号 1 2 3 4 5 6 7 8分组 ,4,6,8,10,21,2,7频率 050.005.根据题意，该市居民该月的人均水费估计为： 4.16582125757（元） （18） （共 13 分）解：（I）因为 平面 ，CDA所以 D又因为 ，所以 平面 （II）因为 ， ，/所以 A因为 平面 ，C所以 CA所以 平面 所以平面 平面 C（III）棱 上存在点 ，使得 平面 证明如下：F/AF取 中点 ，连结 ， ， 又因为 为 的中点，所以 F/A又因为 平面 ，所以 平面 C（19） （共 14 分）解：（I）由题意得， ， 2a1b所以椭圆 的方程为 C4xy又 ，23cab
11、所以离心率 ce（II）设 （ ， ） ，则 0,xy00y204xy又 ， ，所以，2A1直线 的方程为 02yx令 ，得 ，从而 0x0 021yx直线 的方程为 01yx令 ，得 ，从而 0y0xy 021xyA所以四边形 的面积A12SA002xyy2000448xy002y从而四边形 的面积为定值A（20） （共 13 分）解：（I）由 ，得 32fxabxc23fxaxb因为 ， ，0c所以曲线 在点 处的切线方程为 yfx0,fyxc（II）当 时， ，4ab324xc所以 238fx令 ，得 ，解得 或 00x2x3与 在区间 上的情况如下：fxf,222,3232,3fx00
12、AcA27cA所以，当 且 时，存在 ， ，0c32714,2x2,3x，使得 32,x1230fxff由 的单调性知，当且仅当 时，函数 有三个不同零点f ,7c324fxxc（III）当 时， ， ，2410ab230fxaxb,此时函数 在区间 上单调递增，所以 不可能有三个不同零点fx,f当 时， 只有一个零点，记作 22fxx 0x当 时， ， 在区间 上单调递增；0,x00,当 时， ， 在区间 上单调递增fxfx所以 不可能有三个不同零点fx综上所述，若函数 有三个不同零点，则必有 fx2410ab故 是 有三个不同零点的必要条件230ab当 ， 时， ， 只有两个不同4c230ab232fxx点， 所以 不是 有三个不同零点的充分条件2f因此 是 有三个不同零点的必要而不充分条件30abfx