1、3.2.2 复数代数形式的乘除运算课后训练案巩固提升一、A 组1.复数(3i- 1)i 的虚部是( )A.-1 B.-3 C.3 D.1解析: 因为(3i- 1)i=3i2-i=-3-i,所以虚部为- 1.答案: A2.设复数 z=a+bi(a,bR),若 =2-i 成立,则点 P(a,b)在( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析: 因为 =2-i,所以 z=(2-i)(1+i)=3+i,故 a=3,b=1,因此点 P(a,b)在第一象限.答案: A3.设 z 的共轭复数为 ,z=1+i,z1=z ,则 等于 ( )A. +i B. -i C. D.解析: 由题意得 =
2、1-i,所以 z1=z =(1+i)(1-i)=2,所以 .答案: C4.已知复数 z1=3+4i,z2=a+i,且 z1 是实数,则实数 a 等于( )A. B. C.- D.-解析: z1 =(3+4i)(a-i)=3a+4+(4a-3)i,因为 z1 是实数,所以 4a-3=0,得 a= .答案: A5.如图,向量 对应的复数为 z,则 z+ 对应的复数是( )A.1+3i B.-3-iC.3-i D.3+i解析: 由题图得 Z(1,-1),即 z=1-i,z+ =3+i.答案: D6.已知 i 是虚数单位,则 i-2 016-i-2 017= . 解析: i-2 016-i-2 017
3、= =1+i.答案: 1+i7.若复数 z 满足(1+2i) =4+3i,则 z= . 解析: 因为(1+2i) =4+3i,所以 =2-i,故 z=2+i.答案: 2+i8.已知复数 z1= +i,|z2|=2,且 z1 是虚部为正数的纯虚数,则复数 z2= . 解析: 设 z2=a+bi(a,bR),则 z1 =( +i)(a+bi)2=( +i)(a2-b2+2abi)= (a2-b2)-2ab+(a2-b2+2ab)i,因为 z1 是虚部为正数的纯虚数 ,所以又|z 2|=2,则 a2+b2=4,联立解得 则 z2= +i 或- -i.答案: +i 或- -i9.计算:(1) (2-i
4、)(3+i);(2) .解: (1) (2-i)(3+i)= (7-i)= i.(2)=-2-2i.10.已知 z 为复数,z+ 2i 和 均为实数,其中 i 是虚数单位.(1)求复数 z 和|z| ;(2)若复数 z1= i 在复平面内对应的点位于第四象限,求实数 m 的取值范围.解: (1)设 z=a+bi(a,bR),则 z+2i=a+(b+2)i 为实数,所以 b+2=0,即 b=-2.又 i 为实数,所以 =0,所以 a=-2b.又 b=-2,所以 a=4,所以 z=4-2i.所以|z|= =2 .(2)z1= i=4+ i= i.因为 z1 在复平面内对应的点位于第四象限,所以 解
5、得-2m 或 1m ,所以实数 m 的取值范围为 .二、B 组1.若 z1,z2 是复数,且 0,则下列结论正确的是 ( )A. -B.z1,z2 中至少有一个是虚数C.z1,z2 中至少有一个是实数D.z1,z2 都不是实数解析: 取 z1=- i,z2=- i,可知 =- i, =- i,满足 0,但 与- 无法比较大小,排除 A;取 z1=1,z2=2i 满足 0,排除 D;取 z1=i,z2=2i,满足 0,排除 C,故选 B.答案: B2.若复数 i 是实数, 则实数 a 等于( )A.2 B. C.-2 D.-解析: 由于 i= i= i= i,依题意有 =0,解得a=-2.答案:
6、 C3.复数 的模为 ,则实数 a 的值是 . 解析: ,解得 a= .答案: 4.对任意复数 z=x+yi(x,yR),i 为虚数单位,则下列结论正确的是 .(填序号) |z- |=2y; z2=x2+y2; |z- |2x; |z|x|+|y|.解析: 对于 , =x-yi(x,yR),|z- |=|x+yi-x+yi|=|2yi|=|2y|,故不正确;对于 ,z2=x2-y2+2xyi,故不正确;对于 ,|z- |=|2y|2x 不一定成立 ,故不正确; 对于 ,|z|= |x|+|y| ,故正确.答案: 5.设复数 z 满足|z-i|=1,且 z0,z2i.若 为实数,则复数 w 在复
7、平面上所对应的点 Z 的集合是什么图形?并说明理由.解: 设 z=a+bi,w=x+yi(a,b,x,yR ).由 z0,z2i 且|z-i|=1,得 a0,b0 且 a2+b2-2b=0.记 u= . u 为实数, =0, a0, x2+y2-2y=0,即 x2+(y-1)2=1.又 w-2i0, x0 且 y2, 复数 w 在复平面内所对应的点 Z 的集合是以(0,1)为圆心,1 为半径的圆(除去(0,2) 点).6. 导学号 40294027 满足 z+ 是实数,且 z+3 的实部与虚部是相反数的虚数 z 是否存在?若存在,求出虚数 z;若不存在,请说明理由.解: 存在.理由如下:设虚数 z=x+yi(x,yR,且 y0),则 z+3=x+3+yi,z+ =x+yi+ =x+ + y- i.由已知得 y0,解得 存在虚数 z=-1-2i 或 z=-2-i 满足以上条件.