1、3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义课后训练案巩固提升一、A 组1.若复数 z 满足 z+(3-4i)=1,则 z 的虚部是( )A.-2 B.4 C.3 D.-4解析: z=1-(3-4i)=-2+4i,所以 z 的虚部是 4.答案: B2.若复数 z1=-2+i,z2=1+2i,则复数 z1-z2 在复平面内对应点所在的象限是( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析: z1-z2=(-2+i)-(1+2i)=(-2-1)+(i-2i)=-3-i,故 z1-z2 对应点的坐标为(-3,- 1),在第三象限.答案: C3.在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC
2、 与 BD 相交于点 O,若向量 对应的复数分别是 3+i,-1+3i,则 对应的复数是( )A.2+4i B.-2+4iC.-4+2i D.4-2i解析: 依题意有 ,而(3+ i)-(-1+3i)=4-2i,即 对应的复数为 4-2i,故选 D.答案: D4.已知复数 z 满足|z|-z=3-i,则 z=( )A.- +i B.- -iC.- -i D.-3+4i解析: 设 z=a+bi(a,bR),所以|z|= .因为|z|-z=3- i,所以 -a-bi=3-i,所以所以 z=- +i,选 A.答案: A5.在复平面内,若复数 z 满足|z+1|=|z- i|,则 z 所对应的点 Z
3、的集合构成的图象是( )A.圆 B.直线C.椭圆 D.双曲线解析: 设 z=x+yi(x,yR), |z+1|=|x+yi+1|= ,|z-i|=|x+yi-i|= , . x+y=0. z 的对应点 Z 的集合构成的图象是第二、四象限角平分线.答案: B6.在复平面内,O 是原点, 对应的复数分别为- 2+i,3+2i,1+5i,则 对应的复数为 .解析: -( ),对应的复数为 3+2i-(-2+i+1+5i)=(3+2-1)+(2-1-5)i=4-4i.答案: 4-4i7.已知 f(z+i)=3z-2i,则 f(i)= . 解析: 设 z=a+bi(a,bR),则 fa+(b+1)i=3
4、(a+bi)-2i=3a+(3b-2)i,令 a=0,b=0,则 f(i)=-2i.答案: -2i8.已知 z 是复数,|z|=3,且 z+3i 是纯虚数,则 z= . 解析: 设 z=a+bi(a,bR),则 a+bi+3i=a+(b+3)i 是纯虚数, a=0,b+30,又 |z|=3, b=3, z=3i.答案: 3i9.已知 z1= a+(a+1)i,z2=-3 b+(b+2)i(a,bR ),且 z1-z2=4 ,求复数 z=a+bi.解: z1-z2= +(a-b-1)i,所以 =4 ,a-b-1=0,解得 a=2,b=1,故 z=2+i.10.如图,已知复数 z1=1+2i,z2
5、=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面上的对应点是一个正方形 ABCD 的三个顶点 A,B,C,求这个正方形的第四个顶点对应的复数.解: 设正方形的第四个点 D 对应的复数为 x+yi(x,yR ),法一: 对应的复数为 (x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i,对应的复数为(- 1-2i)-(-2+i)=1-3i.因为 ,所以(x-1)+ (y-2)i=1-3i,即 x-1=1,y-2=-3,解得 x=2,y=-1,故点 D 对应的复数为 2-i.法二:因为点 A 与点 C 关于原点对称,所以原点 O 为正方形的中心 ,于是(-2+i)+(x+yi) =0,故 x=2,y=-
6、1,故点 D 对应的复数为 2-i.二、B 组1.如图,在复平面内,复数 z1,z2 对应的向量分别是 ,则复数 z1-z2=( )A.-1+2i B.-2-2iC.1+2i D.1-2i解析: 由题意,知 z1=-2-i,z2=i,所以 z1-z2=-2-2i,故选 B.答案: B2.若复数 z=x+yi(x,yR)满足条件|z-4i |=|z+2|,则 2x+4y 的最小值为 ( )A.2 B.4 C.4 D.16解析: 由|z-4i|=|z+2|得|x+(y-4)i |=|x+2+yi|,所以 x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,即 x+2y=3,于是2x+4y=2x+22y2 =2
7、 =4 ,当且仅当 x=2y= 时,2 x+4y 取得最小值 4 .答案: C3.若复数 z 满足 z-1=cos +isin ,则|z| 的最大值为 . 解析: 因为 z-1=cos +isin ,所以 z=(1+cos )+isin ,故|z|= =2,即|z|的最大值为 2.答案: 24.已知实数 x,y 满足条件 z=x+yi(i 为虚数单位),则|z-1+2i| 的最大值与最小值之和为 . 解析: 作出不等式组 对应的可行域,如图中阴影部分所示.|z-1+2i|表示可行域中的点到点(1, -2)的距离.根据图象,得最小值为点(1,-2)到直线 x+y=0 的距离,最大值为点(1,-
8、2)到点(3,8)的距离,即|z-1+2i| min= ,|z-1+2i|max= =2 ,故|z-1+2i| min+|z-1+2i|max= +2 .答案: +25.在复平面内,A,B,C 三点分别对应复数 1,2+i,-1+2i.(1)求 对应的复数;(2)判断ABC 的形状.解: (1)因为 A,B,C 三点对应的复数分别为 1,2+i,-1+2i,所以 对应的复数分别为 1,2+i,-1+2i(O 为坐标原点),所以 =(1,0), =(2,1), =(-1,2).于是 =(1,1), =(-2,2),=(-3,1).即 对应的复数为 1+i, 对应的复数为-2+2i, 对应的复数为
9、- 3+i.(2)因为| |= ,| |= ,| |=,所以| |2+| |2=10=| |2,又因为| | |,故ABC 是以角 A 为直角的直角三角形.6. 导学号 40294025 已知|z 1|=1,|z2|=1,|z1+z2|= ,求|z 1-z2|.解: 法一:在复平面内以原点 O 为起点作出 z1,z2 对应的向量 ,如图,则 z1+z2 对应向量 ,z1-z2 对应向量 .由题意| |=1,| |=1,| |= ,可得 OZ 1Z=120, Z 2OZ1=60, 在Z 2OZ1 中,| |=1,即|z 1-z2|=1.法二:设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR ).则由题意,知 a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=3. 2(ac+bd)=1. |z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+b2+c2+d2-2(ac+bd)=1+1-1=1, |z1-z2|=1.