1、习题课复数运算的综合问题课后训练案巩固提升1.若复数 z 满足|z-1+i|=3,则复数 z 对应的点的轨迹围成图形的面积等于( )A.3 B.9 C.6 D.9解析: 由题意得,复数 z 对应的点的轨迹是以 (1,-1)为圆心,以 3 为半径的圆,其面积等于 32=9.答案: D2.已知 a,bR,且 2+ai,b+3i 是一个实系数一元二次方程的两个根,则 a,b 的值分别是( )A.a=-3,b=2 B.a=3,b=-2C.a=-3,b=-2 D.a=3,b=2解析: 由题意得,这两个复数一定是互为共轭复数 ,故 a=-3,b=2.答案: A3.满足条件|z+i|=|z+3i|的复数 z
2、 对应点的轨迹是 ( )A.直线 B.圆C.椭圆 D.线段解析: 由已知得,复数 z 对应的点到两点 (0,-1),(0,-3)的距离相等,因此其轨迹是这两个点连线的垂直平分线,是一条直线.答案: A4.已知复数 z1,z2满足|z 1|=3,|z2|=5,|z1-z2|= ,则|z 1+z2|的值等于( )A. B.6 C. D.58解析: 由|z 1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2)及已知条件可得|z 1+z2|= .答案: C5.关于 x 的方程 3x2- x-1=(10-x-2x2)i 有实根,则实数 a 的值等于 . 解析: 设方程的实数根为 x=m,则原方程
3、可变为 3m2- m-1=(10-m-2m2)i,所以解得 a=11 或 a=- .答案: 11 或-6.关于复数 z 的方程|z|+2z= 13+6i 的解是 . 解析: 设 z=x+yi(x,yR),则有 +2x+2yi=13+6i,于是解得因为 13-2x= 0,所以 x ,故 x= 舍去,故 z=4+3i.答案: z=4+3i7.已知 zC,且|z+1|=|z-i|,则|z+i |的最小值等于 . 解析: 由于|z+1|=|z-i|表示以(-1,0),(0,1)为端点的线段的垂直平分线,而|z+ i|=|z-(-i)|表示直线上的点到(0,- 1)的距离,数形结合知其最小值为 .答案:
4、8.已知复数 z= ,z1=2+mi.(1)若|z+z 1|=5,求实数 m 的值;(2)若复数 az+2i 在复平面上对应的点在第二象限,求实数 a 的取值范围.解: (1)z= =1+i.因为|z+z 1|=|1+i+2+mi|=|3+(m+1)i|= =5,所以 9+(m+1)2=25.解得 m=-5 或 m=3.(2)az+2i=a(1+i)+2i=a+(a+2)i,在复平面上对应的点在第二象限,所以 解得-2a0.9. 导学号 40294029 已知关于 x 的方程 x2-(6+i)x+9+ai=0(aR) 有实数根 b.(1)求实数 a,b 的值.(2)若复数 z 满足 | -a-
5、bi|-2|z|=0,当 z 为何值时,|z|有最小值? 并求出|z| 的最小值.解: (1)因为 b 是方程 x2-(6+i)x+9+ai=0(aR )的实根,所以 (b2-6b+9)+(a-b)i=0,故 解得 a=b=3.(2)设 z=m+ni(m,nR),由| -3-3i|=2|z|,得( m-3)2+(n+3)2=4(m2+n2),即(m+1) 2+(n-1)2=8,所以 Z 点的轨迹是以 O1(-1,1)为圆心,以 2 为半径的圆.如图,当 Z 点在直线 OO1上时,|z| 有最大值或最小值.因为|OO 1|= ,半径 r=2 ,所以当 z=1-i 时,|z|有最小值,且|z| min= .