1、2.2.1 综合法和分析法课后训练案巩固提升一、A 组1.下列函数 f(x)中,满足“对任意 x1,x2(0, +),当 x1f(x2)”的是( )A.f(x)= B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=ex D.f(x)=ln(x+1)解析: 本题就是判断哪一个函数在 (0,+)内是减函数,A 项中,f(x) = =- bc,且 a+b+c=0,求证: a,则证明的依据应是( )A.a-b0 B.a-c0C.(a-b)(a-c)0 D.(a-b)(a-c)0(a-c)(a-b)0.答案: C3.命题“如果数列 an的前 n 项和 Sn=2n2-3n,那么数列a n一定是等差数列”是否成立(
2、)A.不成立 B.成立C.不能断定 D.与 n 取值有关解析: 当 n2 时,a n=Sn-Sn-1=4n-5,又 a1=S1=212-31=-1 适合上式,所以 an=4n-5(nN *),则 an-an-1=4(常数 ),故数列 an是等差数列 .答案: B4.已知函数 f(x)=cos(3x+4)是奇函数,则 等于( )A. (kZ) B.k+ (kZ)C.k(k Z) D. (kZ)解析: 因为 f(x)是奇函数,所以 f(-x)=-f(x)对 xR 恒成立,即 cos(-3x+4)=-cos(3x+4),亦即cos(3x-4)+cos(3x+4)=0,所以 2cos 3xcos 4=
3、0,因此 cos 4=0,4=k+ (kZ),解得= (kZ).答案: A5.要证 a2+b2-1-a2b20,只需证明 ( )A.2ab-1-a2b2 0 B.a2+b2-1- 0C. -1-a2b20 D.(a2-1)(b2-1)0解析: a2+b2-1-a2b20(a 2-1)(b2-1)0, 由分析法知选 D.答案: D6.已知 a,b,c 为正实数,且 a+b+c=1,求证: 8.证明过程如下:因为 a,b,c 为正实数,且 a+b+c=1,所以 -1= 0, -1= 0, -1= 0,所以=8.当且仅当 a=b=c 时取等号,所以不等式成立.这种证法是 . 解析: 本题从已知条件出
4、发,不断地展开思考 ,去探索结论,这种方法是综合法.答案: 综合法7.平面内有四边形 ABCD 和点 O,且满足 ,则四边形 ABCD 为 .解析: 因为 ,所以 ,即 ,故四边形 ABCD 为平行四边形.答案: 平行四边形8.在锐角三角形 ABC 中,求证:tan Atan B1.证明: 要证 tan Atan B1,只需证 1,因为 A,B 均为锐角,所以 cos A0,cos B0.因此只需证明 sin Asin Bcos Acos B,即 cos Acos B-sin Asin B1.9.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA 底面 ABCD,ABAD ,ACCD,ABC=60,PA=
5、AB=BC ,点E 是 PC 的中点.(1)证明 CDAE.(2)证明 PD平面 ABE.证明: (1)在四棱锥 P-ABCD 中 ,因为 PA底面 ABCD,CD平面 ABCD,所以 PACD.因为 ACCD,PAAC=A,所以 CD平面 PAC.又因为 AE平面 PAC,所以 CDAE.(2)由 PA=AB=BC,ABC=60,可得 AC=PA.因为点 E 是 PC 的中点,所以 AEPC.由(1)知,AECD,又 PCCD=C,所以 AE平面 PCD.又因为 PD平面 PCD,所以 AEPD.因为 PA底面 ABCD,AB平面 ABCD,所以平面 PAAB.又 ABAD ,PAAD=A,
6、所以 AB平面 PAD.因为 PD平面 PAD,所以 ABPD.又因为 ABAE=A,所以 PD平面 ABE.10.已知ABC 的三边 a,b,c 的倒数成等差数列 .试分别用分析法和综合法证明 B 为锐角.思路分析: 在ABC 中,要证 B 为锐角,只需证 cos B0,结合余弦定理可解决问题 .证明: 分析法:要证明 B 为锐角,只需证 cos B0. cos B= , 只需证明 a2+c2-b20,即 a2+c2b2.又 a2+c22ac, 只需证明 2acb2.由已知 ,得 2ac=b(a+c), 只需证明 b(a+c)b2,即只需证明 a+cb.而 a+cb 显然成立,故 B 为锐角
7、.综合法:由题意,得 ,则 b= , b(a+c)=2ac. a+cb, b(a+c)=2acb2. cos B= 0.又 0Q B.P=QC.P0”是“ ABC 为锐角三角形” 的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析: 若ABC 为锐角三角形 ,则 A 必为锐角,因此一定有 0,但当 0 时,只能得到A 为锐角,这时ABC 不一定为锐角三角形.答案: B3.在ABC 中,C= ,a,b,c 分别为 A,B,C 的对边,则 = . 解析: 因为 C= ,所以 a2+b2=c2+ab,所以( a2+ac)+(b2+bc)=c2+ab+ac+bc=
8、(a+c)(b+c),所以=1.答案: 14.如图,在直四棱柱 A1B1C1D1-ABCD(侧棱与底面垂直)中,当底面四边形 ABCD 满足条件 时,有 A1CB 1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形). 解析: 要证明 A1CB 1D1,只需证明 B1D1平面 A1C1C.因为 CC1B 1D1,只要再有条件 B1D1A 1C1,就可证明 B1D1平面 A1C1C,从而得答案为 B1D1A 1C1.答案: B1D1A 1C1(答案不唯一)5.设 a,b,c,d 均为正数,求证: .证明: 要证明 成立,只需证 (a+b) 2+(b+c)2,即证 ac+bd,就是证
9、(a 2+b2)(c2+d2)(ac+bd) 2,就是证 b2c2+a2d22abcd,也就是证(bc-ad) 20,此式显然成立,故所证不等式成立.6.在锐角三角形 ABC 中,已知 3b=2 asin B,且 cos B=cos C,求证:ABC 是等边三角形.证明: ABC 为锐角三角形 , A,B,C ,由正弦定理及条件,可得3sin B=2 sin Asin B. B , sin B0, 3=2 sin A, sin A= . A , A= .又 cos B=cos C,且 B,C , B=C.又 B+C= , A=B=C= .从而ABC 是等边三角形.7. 导学号 40294013
10、 是否存在常数 C,使不等式 C 对任意正数 x,y 恒成立? 若存在,请给出证明 ;若不存在,请说明理由.解: 存在常数 C= 使不等式成立.证明如下: x0,y0, 要证 ,只需证 3x(x+2y)+3y(2x+y)2(2x+y)(x+2y),即证 x2+y22xy,此式显然成立 . .再证 ,只需证 3x(2x+y)+3y(x+2y)2(x+2y)(2x+y),即证 x2+y22xy,此式显然成立 . .综上所述,存在常数 C= ,使得不等式 C 对任意正数 x,y 恒成立.8.求证:当 x0,1时, xsin xx.证明: 记 F(x)=sin x- x,则 F(x)=cos x- .当 x 时,F(x)0,F(x) 在 上是增函数;当 x 时,F(x)0,所以当 x0,1时,F( x)0,即 sin x x.记 H(x)=sin x-x,则当 x(0,1)时,H(x)=cos x- 10,所以 H(x)在0,1 上是减函数,则 H(x)H(0)=0,即 sin xx.综上, xsin xx,x 0,1.