1、1.1 回归分析的基本思想及其初步应用课后训练案巩固提升一、A 组1.一项研究要确定是否能够根据施肥量预测作物的产量,这里的解释变量应该是( )A.作物的产量B.施肥量C.试验者D.降雨量或其他因素解析: 作物的产量为预报变量 ,施肥量为解释变量.答案: B2.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表:广告费用 x/万元 4 2 3 5销售额 y/万元 49 26 39 54根据上表可得回归方程 x+ 中的 =9.4,据此模型预报当广告费用为 6 万元时,销售额为( )A.63.6 万元B.65.5 万元C.67.7 万元D.72.0 万元解析: 样本点的中心是(3.5,42),则
2、 =42-9.43.5=9.1,所以回归直线方程是 =9.4x+9.1,把 x=6 代入得 =65.5.答案: B3.在回归分析中,相关指数 R2 的值越大,说明残差平方和 ( )A.越小B.越大C.可能大也可能小D.以上都不对解析: 由于相关指数 R2=1- ,所以相关指数 R2 越大,残差平方和越小.答案: A4.如图所示的是四张残差图,其中回归模型的拟合效果最好的是( )解析: 四张残差图中,只有选项 A,B 中的残差图是水平带状区域分布,且选项 B 中的残差点散点分布集中在更狭窄的范围内,所以选项 B 中回归模型的拟合效果最好.答案: B5.下列说法错误的是( )A.如果变量 x 与
3、y 之间存在线性相关关系,那么根据试验数据得到的点( xi,yi)(i=1,2,n)将散布在某一条直线的附近B.如果变量 x 与 y 之间不存在线性关系,那么根据它们的一组数据(x i,yi)(i=1,2,n)不能写出一个线性方程C.设 x,y 是具有相关关系的两个变量,且 x 关于 y 的线性回归方程为 x+ ,则 称为回归系数D.为使求出的线性回归方程有意义 ,可用统计检验的方法来判断变量 y 与 x 之间是否存在线性相关关系解析: 任何一组(x i,yi)(i=1,2,n)都能写出一个线性方程,只是没有意义.答案: B6.对于一组数据,现有 A 和 B 两个回归模型,计算得到它们的残差平
4、方和分别是 168 和 197,则拟合效果较好的是模型 . 解析: 残差平方和越小,相关指数越大 ,拟合效果越好.答案: A7.已知方程 =0.85x-82.71 是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程,其中 x 的单位是 cm, 的单位是 kg,那么针对某个体(160,53)的残差是 . 解析: 把 x=160 代入 =0.85x-82.71,得 =0.85160-82.71=53.29,所以残差 =y- =53-53.29=-0.29.答案: -0.298.甲、乙、丙、丁 4 位同学各自对 A,B 两变量做回归分析,分别得到散点图与残差平方和 (yi-)2 如下表:甲 乙 丙 丁散点图
5、残差平方和 115 106 124 103同学的试验结果体现拟合 A,B 两变量关系的模型拟合精度高. 解析: 由图表知,丁同学拟合的残差平方和为 103 最小,所以丁的拟合效果好,精度高.答案: 丁9.在研究身高和体重的关系时,求得相关指数 R2= ,则可以叙述为“身高解释了 64%的体重变化,而随机误差贡献了剩余的 36%”,所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多 .解析: 由相关指数的意义可得 R2=0.64.答案: 0.6410.已知某种商品的价格 x(单位:元)与需求量 y(单位:件)之间的关系有如下一组数据:x 14 16 18 20 22y 12 10 7 5 3求 y 关于
6、 x 的线性回归方程,并说明回归模型拟合效果的好坏.解: 因为 (14+16+18+20+22)=18, (12+10+7+5+3)=7.4,=142+162+182+202+222=1 660, xiyi=1412+1610+187+205+223=620.所以 =-1.15, =7.4+1.1518=28.1,故所求线性回归方程为 =-1.15x+28.1.列出残差表:yi- 0 0.3 -0.4 -0.1 0.2yi- 4.6 2.6 -0.4 -2.4 -4.4所以 (yi- )2=0.3, (yi- )2=53.2,故相关指数 R2=1-0.994.所以回归模型的拟合效果很好.二、B
7、 组1.给出下列命题: 在残差图中 ,残差点比较均匀地落在水平带状区域内,说明选用的模型比较合适; 用相关指数 R2 来刻画回归的效果,R 2 的值越大,说明拟合效果越好; 比较两个模型的拟合效果,可以比较残差平方和的大小,残差平方和越小,拟合效果越好.其中正确命题的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3解析: 根据残差、残差平方和、相关指数的定义以及它们之间的关系,结合回归分析的基本思想可知三个命题都是正确的.答案: D2.某考察团对全国 10 个城市进行职工人均工资水平 x(单位 :千元)与居民人均消费水平 y(单位:千元)统计调查,y 与 x 具有相关关系,回归方程为 =0.66x+
8、1.562.若某城市居民人均消费水平为7.675 千元,估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )A.83% B.72% C.67% D.66%解析: 将 y=7.675 代入回归方程,可计算得 x9.26,所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为 7.6759.260.83,即约为 83%.答案: A3.若发现散点图中所有的样本点都在一条直线上,则残差平方和等于 ,解释变量和预报变量之间的相关指数等于 . 答案: 0 14.一家工厂对职工进行技能检查,收集数据如下:零件数 x/个 10 20304050607080加工时间 y/分钟 12 25354855616470则两个变
9、量之间的线性回归方程为 ,该函数模型的残差平方和等于 ,相关指数等于 . 解析: 可求得 =0.817, =9.5,所以回归方程为 =0.817x+9.5,残差平方和为 (yi- )2=126.33,相关指数为 1- =0.957.答案: =0.817x+9.5 126.33 0.9575. 导学号 40294001 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:单价 x/元 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量 y/件 90 84 83 80 75 68(1)求回归直线方程 x+ ,其中 =-20, ;(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然
10、服从(1)中的关系,且该产品的成本是 4 元/ 件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)解: (1)因为 (8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5,(90+84+83+80+75+68)=80,所以 =80+208.5=250,从而回归直线方程为 =-20x+250.(2)设工厂获得的利润为 L 元 ,依题意得L=x(-20x+250)-4(-20x+250)=-20x2+330x-1 000=-20 +361.25.当且仅当 x=8.25 时,L 取得最大值.故当单价定为 8.25 元时,工厂可获得最大利润.6.为了研究某种细菌随天数 x 的变化
11、繁殖的个数,收集数据如下:天数 x/天 1 2 3 4 5 6繁殖个数 y/个 6 12 25 49 95 190(1)用天数作解释变量,繁殖个数作预报变量,试求解释变量与预报变量之间的回归方程 ;(2)计算残差平方和.解: (1)画出 x 与 y 的散点图如图所示 .由散点图看出样本点分布在一条指数型函数 y=C1 的周围,于是令 z=ln y,则x 1 2 3 4 5 6z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25由计数器算得 =0.69x+1.112,则有 =e0.69x+1.112.(2)列表如下:6.06 12.09 24.09 48.04 95.77 190.9y 6 12 25 49 95 190则残差平方和 (yi- )2=3.164 3.