1、第 1 课时 归纳推理课后训练案巩固提升1.观察下列各式:1=1 2,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,可以得出的一般性结论是( )A.n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=n2B.n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2C.n+(n+1)+(n+2)+(3n-1)=n2D.n+(n+1)+(n+2)+(3n-1)=(2n-1)2解析: 观察各等式的构成规律可以发现 ,各等式的左边是 2n-1(nN *)项的和,其首项为 n,右边是项数的平方,故第 n 个等式首项为 n,共有 2n-1 项,右边是(2n-1) 2,即 n+(n+
2、1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2.答案: B2.已知不等式 1+ ,1+ ,1+ ,均成立,照此规律,第五个不等式应为 1+ ( )A. B. C. D.解析: 观察不等式的左边发现 ,第 n 个不等式的左边= 1+ + ,右边= ,所以第五个不等式为 1+ .答案: C3.设 n 是自然数,则 (n2-1)1-(-1)n的值( )A.一定是零B.不一定是偶数C.一定是偶数D.是整数但不一定是偶数解析: 当 n 为偶数时, (n2-1)1-(-1)n=0 为偶数;当 n 为奇数时(n=2k+1,kN), (n2-1)1-(-1)n= (4k2+4k)2=k(k+1)为偶数.所以
3、(n2-1)1-(-1)n的值一定为偶数.答案: C4.已知数列a n中,a 1=1,an+1= (nN *),则可归纳猜想 an的通项公式为( )A.an= B.an=C.an= D.an=解析: 由已知得 a1=1,a2= ,a3= ,a4= ,由此可猜想 an=.答案: B5.设 f(x)= ,记 f1(x)=f(x),若 fn+1(x)=f(fn(x),则 f2 016(2 016)等于( )A.2 016 B.-C.- D.解析: 由已知可得 f1(x)= ,f2(x)=- ,f3(x)= ,f4(x)=x,f5(x)= ,f6(x)=- ,f7(x)= ,f8(x)=x,可得 fn
4、(x)是以 4 为周期的函数,因此 f2 016(x)=f5044(x)=f4(x)=x,故 f2 016(2 016)=2 016.答案: A6.一个蜂巢里有 1 只蜜蜂,第一天,它飞出去带回了 5 只蜜蜂;第二天,6 只蜜蜂飞出去各自又带回了 5 只蜜蜂,如果这个过程继续下去,那么第 6 天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂( )A. 只 B.66 只C.63 只 D.62 只解析: 根据题意,可知第一天共有蜜蜂 1+5=6(只),第二天共有蜜蜂 6+65=62(只), 第三天共有蜜蜂 62+625=63(只),故第 6 天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂 65+655=66(只), 故选 B.
5、答案: B7.给出若干个数: ,由此可猜测第 n 个数为 . 解析: 给出的每个数都是根式 ,被开方数都是两个数相加,第一个数恰好比序号多 1,第二个数是分式,分子也是比序号多 1,分母则是分子的平方减去 1,由此可得第 n 个数为 .答案:8.下图是用同样规格的灰、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律,第(n) 个图案中需用灰色瓷砖 块(用含 n 的代数式表示) . 解析: 第(1),(2),(3), 个图案中灰色瓷砖数依次为 15-3=12,24-8=16,35-15=20,由此可猜测第(n)个图案中灰色瓷砖数为(n+2)( n+4)-n(n+2)=4(n+2)=4n+8.答案: 4
6、n+89.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数. sin213+cos217-sin 13cos 17; sin215+cos215-sin 15cos 15; sin218+cos212-sin 18cos 12; sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos 48; sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.解: (1)选择 式计算如下:sin 215+cos215-sin 15cos 15=1- sin 3
7、0= .(2)三角恒等式为 sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)= .证法一:sin 2+cos2(30-)-sin cos(30-)=sin2+(cos 30cos +sin 30sin )2-sin (cos 30cos +sin 30sin )=sin2+ cos2+ sin cos + sin2- sin cos - sin2= sin2+ cos2= .故上式成立.证法二:sin 2+cos2(30-)-sin cos(30-)= -sin =1+ sin 2- (1-cos 2)=1- cos 2- cos 2=1- .故上式成立.10. 导学号 40294007 已知下列等式成立:,试根据以上等式,归纳出一个一般性结论,用等式表示,并用数列中的方法加以证明.解: 从给出的各个等式可以看出 :第 1 个等式左边有 1 项,右边为 ;第 2 个等式左边有 2 项,右边为 ;第 3 个等式左边有 3 项,右边为 ;第 4 个等式左边有 4 项,右边为 ,由此可以归纳得出一般性的结论为 + (nN *).以下用数列的方法证明该等式成立:+= += + = .