1、第 2 课时 类比推理课后训练案巩固提升1.给出下列三个类比结论: 类比 axay=ax+y,则有 axay=ax-y; 类比 loga(xy)=logax+logay,则有sin(+)=sin +sin ; 类比( a+b)2=a2+2ab+b2,则有( a+b)2=a2+2ab+b2.其中正确结论的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3解析: 根据指数幂的运算性质知 正确; 根据正弦函数的运算性质知 错误;根据向量的运算性质知 正确,因此正确结论有 2 个.答案: C2.在等差数列a n中,有结论 ,类比该结论 ,在等比数列b n中,可有结论( )A.B.C.D.解析: 由于 b1b8
2、=b2b7=b3b6=b4b5,所以 ,故选 D.答案: D3.设ABC 的三边长分别为 a,b,c,ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则 r= ;类比这个结论可知:四面体 P-ABC 的四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,内切球的半径为 r,四面体 P-ABC 的体积为 V,则 r=( )A. B.C. D.解析: 将ABC 的三条边长 a,b,c 类比到四面体 P-ABC 的四个面面积 S1,S2,S3,S4,将三角形面积公式中系数 ,类比到三棱锥体积公式中系数 ,从而可知选 C.证明如下: 以四面体各面为底,内切球心 O 为顶点的各三棱锥体积的和为 V,所以 V= S1r+
3、 S2r+ S3r+ S4r,故 r= .答案: C4.在平面直角坐标系内,方程 =1 表示在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a 和 b 的直线,拓展到空间,在 x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为 a,b,c(abc0)的平面方程为 ( )A. =1 B. =1C. =1 D.ax+by+cz=1解析: 从方程 =1 的结构形式来看,空间直角坐标系中,平面方程的形式应该是 =1.答案: A5.若 a00,则函数 f(x)=a0x+a1 有一个零点 x1,且 x1=- ;函数 f(x)=a0x2+a1x+a2 有两个零点 x1,x2,且 x1+x2=- ;由此类推,函数 f(x)=a0x3+a
4、1x2+a2x+a3 有三个零点 x1,x2,x3,则 x1+x2+x3=( )A.- B.- C.- D.-解析: 由一次函数和二次函数的结论类比可得 .答案: A6.椭圆的标准方程为 =1(ab0),圆的标准方程为 x2+y2=r2(r0),即 =1,类比圆的面积 S=r2,推理可得椭圆的面积 S= . 解析: 根据类比原理:圆的标准方程 =1 对应椭圆的标准方程为 =1,所以圆的面积S=r2=rr 类比椭圆的面积 S=ab=ab.答案: ab7.圆的面积 S=r2,周长 C=2r,两者满足 C=S(r),类比此关系写出球的公式的一个结论是 . 解析: 圆的面积、周长分别与球的体积和表面积
5、类比可得 ,球的体积 V= R3,表面积 S=4R2,满足 S=V(R).答案: 球的体积 V= R3,表面积 S=4R2,满足 S=V(R)8.解决问题“求方程 3x+4x=5x 的解”有如下思路: 方程 3x+4x=5x 可变为 =1,由函数 f(x)= 可知,f(2) =1,且函数 f(x)在 R 上单调递减,所以原方程有唯一解 x=2.类比上述解法,可得到不等式 x6-(2x+3)(2x+3)3-x2 的解集是 . 解析: 将不等式化为 x6+x2(2x+3)3+(2x+3),构造函数 f(x)=x3+x,显然函数 f(x)在 R 上单调递增,而 f(x2)f(2x+3),所以 x22
6、x+3,解得 x3 或 x-1.答案: (-,-1)(3,+)9. 导学号 40294009 若数列a n满足 a1=1,an+an+1= ,设Sn=a1+4a2+42a3+4n-1an(n N*),类比课本中推导等比数列前 n 项和公式的方法,试求 5Sn-4nan.解: 由题意,S n=a1+a24+a342+an , 两边同乘以 4,得4Sn=a14+a242+an-1 +an4n, 由 + ,得 5Sn=a1+(a1+a2)4+(a2+a3)42+(an-1+an) +an4n.又 a1=1,an+an+1= ,所以 a1+a2= ,a2+a3= ,所以 5Sn= +an4n.故 5Sn-4nan=n.