1、分层训练进阶冲关A 组 基础练(建议用时 20 分钟)1.若|m|=4,|n |=6,m 与 n 的夹角为 135,则 mn= ( C )A.12 B.12 C.-12 D.-122.已知|a|=9,|b|=6 ,ab=-54,则 a 与 b 的夹角 为 ( B )A.45 B.135 C.120 D.1503.已知向量 a=(1,-2),b=(x,4),且 ab ,则 |a-b|= ( B )A.5 B.3 C.2 D.24.已知向量 a,b 的夹角为 120,|a|=1,|b|=5,则|3a-b|等于 ( A )A.7 B.6 C.5 D.45.已知 ab,|a|=2,| b|=3,且 3
2、a+2b 与 a-b 垂直,则 等于 ( A )A. B.- C. D.16.已知 A,B,C 是坐标平面上的三点,其坐标分别为 A(1,2),B(4,1),C(0,-1),则ABC 的形状为 ( C )A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.以上均不正确7.已知|a|=2,|b|=10,=120,则 b 在 a 方向上的投影是 -5 ,a 在 b 方向上的投影是 -1 . 8.已知 a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,i,j 为相互垂直的单位向量 ,那么ab=-63 . 9.已知 =(-2,1), =(0,2),O 为坐标原点,且 , ,则点 C 的坐标是 (-2,6)
3、 . 10.已知 a=(,2),b=(-3,5), 且 a 与 b 的夹角为锐角 ,则 的取值范围是 . 11.已知非零向量 a,b 满足|a|=1,(a-b )(a+b)= ,且 ab= .(1)求向量 a,b 的夹角 .(2)求|a-b|.【解析】(1)设向量 a,b的夹角为 ,因为( a-b)(a+b)= ,所以 a2-b2= ,即|a|2-|b|2= ;又| a|=1,所以|b |= .因为 ab= ,所以|a|b|cos = ,所以 cos = .所以向量 a,b的夹角为 45.(2)因为|a-b| 2=(a-b)2=|a|2-2|a|b|cos +|b|2= ,所以| a-b|=
4、.12.已知向量 a=(1,2),b=(x,1),(1)当 x 为何值时,使(a+2b)(2a-b )?(2)当 x 为何值时,使(a+2b)(2a-b )?【解析】(1)由 a=(1,2),b=(x,1),得a+2b=(2x+1,4),2a-b=(2-x,3).因为(a+2b)(2a- b),所以 3(2x+1)-4(2-x)=0,解得 x= .(2)因为(a+2b )(2a-b),所以(2x+1)(2-x)+12=0,解得 x=-2 或 x= .B 组 提升练(建议用时 20 分钟)13.定义:|ab|=|a| b|sin ,其中 为向量 a 与 b 的夹角,若|a|=2,|b|=5,ab
5、=-6,则|ab|等于 ( B )A.-8 B.8 C.-8 或 8 D.614.设非零向量 a,b,c 满足|a|=|b |=|c|,a+b=c,则等于 ( B )A.150 B.120 C.60 D.3015.如图所示,已知点 A(1,1),单位圆上半部分上的点 B 满足 =0,则向量 的坐标为 . 16.如图所示,在ABC 中,C=90且 AC=BC=4,点 M 满足 =3 ,则 =4 . 17.在ABC 中,O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM=2,求 ( + )的最小值.【解析】设 =t ,0t1,则 + =2 =2t ,= + =t - =(t-1) ,所以 ( + )=2(t
6、-1)t =8(t-1)t=8t2-8t=8 -2.所以当 t= 时, ( + )有最小值-2.18.已知平面上三个向量 a,b,c 的模均为 1,它们相互之间的夹角均为120.(1)求证:(a-b)c.(2)若|ka+b+c|1(kR), 求 k 的取值范围.【解析】(1)因为|a|=|b|=|c|=1,且 a,b,c 之间的夹角均为 120,所以(a- b)c=ac-bc=|a|c|cos 120-|b|c|cos 120=0.所以(a- b)c.(2)因为|ka+ b+c|1,所以(ka+b+c) 21,即 k2a2+b2+c2+2kab+2kac+2bc1,所以 k2+1+1+2kco
7、s 120+2kcos 120+2cos 1201.所以 k2-2k0,解得 k2.所以实数 k 的取值范围为 k2.C 组 培优练(建议用时 15 分钟)19.在四边形 ABCD 中,已知 AB=9,BC=6, =2 .(1)若四边形 ABCD 是矩形,求 的值.(2)若四边形 ABCD 是平行四边形,且 =6,求 与 夹角的余弦值.【解析】(1)因为四边形 ABCD 是矩形,所以 =0.由 =2 ,得 = , = =- .所以 =( + )( + )= = - -=36- 81=18.(2)由题意, = + = + = + ,= + = + = - ,所以 = =- - =36- -18=
8、18- .又 =6,所以 18- =6,所以 =36.设 与 的夹角为 ,又 =| | |cos =96cos =54cos ,所以 54cos =36,即 cos = .所以 与 夹角的余弦值为 .20.已知 =(4,0), =(2,2 ), =(1-) + ( 2).(1)求 及 在 上的投影.(2)证明 A,B,C 三点共线,并在 = 时,求 的值.(3)求| |的最小值.【解析】(1) =8,设 与 的夹角为 ,则 cos = = ,所以 在 上的投影为| |cos =4 =2.(2) = - =(-2,2 ), = -=(1-) -(1-) =(-1) ,因为 与 有公共点 B,所以 A,B,C 三点共线.当 = 时 ,-1=1,所以 =2.(3)| |2=(1-)2 +2(1-) +2 =162-16+16=16 +12.所以当 = 时,| |取到最小值 2 .