1、第 1 页，共 20 页2019 年山西省阳泉市郊区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）1. （-2） 3 的计算结果是（ ）A. 6 B. C. D. 86 82. 2018 年阳泉市郊区常住人口数量大约有 287000 人将 287000 用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 0.287106 2.87105 28.7104 2871033. 下列图形中是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. (3)2=5 42=8 93=3 ()2=225. 如图，AB CD，AD =CD， 1=55，则
2、2 的度数是（ ）A. 70B. 65C. 60D. 556. 解分式方程 - = 时，去分母后得到的方程正确的是（ ）121112A. B. 2+1=1 24+2=1C. D. 2+42=1 +21=17. 如图是由 6 个大小相同的小正方体搭成的几何体，该几何体的左视图是（ ）A. B. C. 第 2 页，共 20 页D. 8. 我国古代数学著作增删算法统宗记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺设绳索长 x 尺，竿长 y 尺，则符合题
3、意的方程组是（ ）A. B. C. D. =+512=5 =512=+5 =+52=5 =52=+59. 如图，P 为O 外一点，PA 为O 的切线，A 为切点，PO交 O 于点 B，P=30 ，OB =4，则线段 BP 的长为（ ）A. 6 B. C. 4 D. 84310. 如图，已知AOBC 的顶点 O（0，0），A（-1 ，3），点 B 在 x 轴的正半轴上，按以下步骤作图：以点 O 为圆心、适当长度为半径作弧，分别交 OA、OB 于点D，E；分别以点 D，E 为圆心、大于 DE 的长为半径作弧，两弧在 AOB 内交12于点 F；作射线 OF，交边 AC 于点 G则点 G 的坐标为（
4、）A. B. C. D. (10,3) (101,3) (410,3) (103,3)二、填空题（本大题共 5 小题，共 15.0 分）11. 因式分解：x 3-9x=_12. 一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的球共 10 个，从中随机摸出一个球，若摸到红色球的概率为 ，则袋子中红色球的个数是_3513. 如图，已知函数 y=2x+b 与函数 y=kx-6 的图象交于点 P，则不等式 kx-62x+ b 的解集是_14. 某篮球架的侧面示意图如图所示，现测得如下数据：底部支架 AB 的长为 1.74m，后拉杆 AE 的倾斜角 EAB=53，篮板 MN 到立柱 BC 的水平距离 BH=1.
5、74m，在篮板 MN 另一侧，与篮球架横伸臂 DG 等高度处安装篮筐，已知篮筐到地面的距离第 3 页，共 20 页GH 的标准高度为 3.05m则篮球架横伸臂 DG 的长约为_ m（结果保留一位小数，参考数据：sin53 ，cos53 ，tan53 ）45 35 4315. 如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=6 ，将 BCD 绕点C 顺时针旋转得到ECF ，点 E 落在边 AD 上，则阴影部分的面积是_三、计算题（本大题共 2 小题，共 14.0 分）16. 先化简，再求值：（1- ） ，其中 x= +22+2 24 217. 观察下列各式及证明过程： = ；12131223 = ；1
6、2(1314)1338 = 13(1415)14415验证： = = = ；1213 123 22231223= = = ；12(1314) 1234 323241338= = = 13(1415) 1345 4342514415（1）按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想 的变形结果，并进行验14(1516)证；（2）针对上述各式反映的规律，写出用 n（n 为正整数，且 n1）表示的等式第 4 页，共 20 页四、解答题（本大题共 6 小题，共 61.0 分）18. （1）计算： -3tan30-（-2） 0+（ ） -11213（2）解方程：x 2-1=2（x-1） 219. 为了调查阳泉
7、市民上班时最常用的交通工具情况，随机抽取了部分市民进行调查，要求被调查者从“A自行车，B电动车，C 公交车，D家庭汽车，E其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题（1）本次调查中，一共调查了_名市民；扇形统计图中，C 项对应的扇形的圆心角是_度；补全条形统计图；（2）若甲、乙两人上班时从 A，B，C ，D 四种交通工具中随机选择一种，请用列表法或画树状图法，求出甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率20. 如图，O 是ABC 的外接圆，AB 为直径，BAC 的平分线交 O 于点 D，过点 D 作 DEAC 分别
8、交 AC、AB 的延长线于点 E、F（1）求证：EF 是O 的切线；（2）若 AC=4， CE=2，求 的长度（结果保留 ）第 5 页，共 20 页21. 阳泉晋东电脑城准备购进 100 台 A、B 两种型号的电脑，各自的价格如下表：电脑型号 进价（元/台） 售价（元/台）A 4000 4500B 3600 4000（1）若售完 100 台电脑获利 46000 元，应购进 A、B 两种型号电脑各多少台？（2）若 A 型电脑的进货量不超过 B 型电脑的 2 倍，那么该电脑城应购进 A、B 两种型号的电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？22. （1）问题发现如图（1），在OAB 和
9、OCD 中，OA =OB，OC= OD，AOB=COD =36，连接AC，BD 交于点 M 的值为_；AMB 的度数为_；（2）类比探究如图（2），在OAB 和OCD 中， AOB=COD=90，OAB= OCD=30，连接AC，交 BD 的延长线于点 M请计算 的值及AMB 的度数（3）拓展延伸在（2）的条件下，将 OCD 绕点 O 在平面内旋转，AC，BD 所在直线交于点M若 OD=1，OB= ，请直接写出当点 C 与点 M 重合时 AC 的长13第 6 页，共 20 页23. 如图，在平面直角坐标系中，直线 x=-2 与 x 轴交与点 C，与抛物线 y=-x2+bx+c 交于点 A，此抛
10、物线与 x 轴的正半轴交于点 B（1，0），且 AC=2BC（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 是直线 AB 上方抛物线上的一点过点 P 作 PD 垂直于 x 轴于点 D，交线段 AB 于点 E，使 DE=3PE求点 P 的坐标；在直线 PD 上是否存在点 M，使 ABM 为以 AB 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点 M 的坐标；若不存在，说明理由第 7 页，共 20 页答案和解析1.【答案】C【解析】解：（-2 ）3=-8 故选：C 根据有理数的乘方的定义进行计算即可得解本题考查了有理数的乘方的定义，是基础题，熟 记概念是解题的关键2.【答案】B【解析】解：将 28700
11、0 用科学记数法表示为 2.87105 故选：B 科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时， n 是正数；当原数的绝对值1 时， n 是负数此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3.【答案】C【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是中心对称图形，故此选项错误； C、是中心对称图形，故此选项正确； D、不是中心对称图形，故此选
12、项错误； 故选：C 根据把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形， 这个点叫做对称中心进行分析即可此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义第 8 页，共 20 页4.【答案】D【解析】解：A、（ a3）2=a6，故此选项错误； B、a4a2=a6，故此选项错误； C、a9a3=a6，故此选项错误； D、（-ab）2=a2b2，故此 选项 正确 故选：D直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键5.【答案】A【解析】解：
13、AB CD， 1=ACD=55， 又AD=CD ， ACD=CAD=55， 2=180-255=70， 故选：A依据平行的性质可得ACD 的度数，再根据等腰三角形的内角和，即可得到2 的度数本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等6.【答案】C【解析】解：去分母得：2x+2（2x-1）=x-1 ，即 2x+4x-2=x-1， 故选：C 分式方程两边乘以 2（x-1），去分母得到结果，即可作出判断此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验7.【答案】A【解析】第 9 页，共 20 页解：左视图有 2 列，每列小正方形数目分别为 2
14、，1 故选：A找到从几何体的左边看所得到的图形即可此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置8.【答案】A【解析】解：设索长为 x 尺，竿子长为 y 尺，根据题意得： 故选：A设索长为 x 尺，竿子长为 y 尺，根据 “索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托” ，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键9.【答案】C【解析】解：连接 OA，PA 为 O 的切 线，OAP=90，P=30，OB=4，AO=4，则 OP=8，故 BP=8-4=4故选：C 直接利用切线的性质得出OAP=90，进而利用直角
15、三角形的性质得出 OP的长此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确作出辅助线是解题关键10.【答案】B【解析】第 10 页，共 20 页解：AOBC 的顶点 O（0，0），A（-1，3），AH=1，HO=3，RtAOH 中，AO= ，由题可得，OF 平分AOB，AOG=EOG，又AGOE ，AGO=EOG，AGO=AOG，AG=AO= ，HG= -1，G（ -1，3），故选：B 依据勾股定理即可得到 RtAOH 中，AO= ，依据 AGO=AOG，即可得到 AG=AO= ，进而得出 HG= -1，可得 G（ -1，3）本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时
16、注意：求图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律11.【答案】x（x +3）（x -3）【解析】解：x 3-9x， =x（x2-9）， =x（x+3）（x-3）先提取公因式 x，再利用平方差公式进行分解本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底12.【答案】6【解析】解：设袋子中红球有 x 个，根据题意可得： ，解得：x=6 ，故答案为：6首先设袋子中红球有 x 个，利用概率公式求即可得方程，进而解答即可第 11 页，共 20 页此题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件
17、的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= 13.【答案】x2【解析】解：函数 y=2x+b 与函数 y=kx-6 的图象交于点 P（2，-8）， 不等式 kx-62x+b 的解集是 x2 故答案为 x2直线 y=kx-6 落在直线 y=2x+b 下方的部分对应的 x 的取值范围即为所求本题主要考查一次函数和一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合14.【答案】1.2【解析】解：作 DKAH 于 K四边形 DKHG 是矩形，DK=GH=3.05m，在 RtADK 中AK= =2.29
18、（m），DG=HK=AH-AK=AB+BH-AK=1.74+1.74-2.291.2（m），故答案为 1.2作 DKAH 于 K得到矩形 DKGH，求出 HK 即可解决问题；本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题15.【答案】 + -934 932【解析】第 12 页，共 20 页解：DC=AB=3，CE=BC=6，所以DEC=30 ，ED=3 则旋转角ECB=30，所以 DCF=30，扇形 DCF 面积= ECD 面积= ，ECF 面积=BCD 面积= 所以阴影部分的面积是 故答案为 根据阴影部分面积等于扇形
19、DCF 面积+CDE 面积 -EFC 面积即可进行计算本题主要考查旋转的性质、矩形的性质以及扇形面积的计算公式16.【答案】解：原式=（ - ）+2+2 2+2 (+2)(2)= +2(+2)(2)=x-2，当 x= +2 时，2原式= +2-2= 2 2【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x 的值代入计算可得本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则17.【答案】解：（1）猜想：14(1516)=15524验证：14(1516)= 1456= 54526=15524（2） （n 为正整数，且 n1）1( 1+11+2)=1+1 +1(+2)
20、【解析】（1）按照规律写猜想并证明； （2）按规律写出第一个数换为 n，第二个数换为（n+1），第三个数换为（n+2）的等式第 13 页，共 20 页本题考查了算术平方根的计算和等式证明，认真阅读条件式子再根据规律猜想和证明是解题关键18.【答案】解：（1）原式= - -1+323 3= +2；3（2）x 2-1=2（x -1） 2，（x+1）（x-1）=2 （x-1） 2，（x+1）（x-1）-2（x -1） 2=0，（x-1） （x+1）-2（x -1）=0（x-1）（ -x+3）=0x-1=0 或-x+3=0，x1=1，x 2=3【解析】（1）根据二次根式的化简、三角形函数、零指数幂、负
21、整数指数幂化简，再计算即可； （2）先将等式的左边分解因式，在移项，提取公因式（x-1），再解两个一次方程即可本题主要考查实数的运算、完全平方公式、零指数幂、 负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识，特别是解决第（2）小题时，不能将等式的两边同时除以一个整式 x-1，否 则会漏解19.【答案】1000 144【解析】解：（1）本次调查的总人数为 25025%=1000（人），则 C 选项 人数为 1000-（50+150+250+150）=400（人），C 项对应的扇形的 圆心角是 360 =144，补全图形如下：（2）列表如下：A B C D第 14 页，共 20 页A （A，A） （B，A
22、） （C，A） （D，A）B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B）C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C）D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D）由表可知共有 16 种等可能结果，其中甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的结果有 4 种，所以甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率为 = （1）根据 D 组的人数以及百分比，即可得到被调查的人数，进而得出 C 组的人数，再根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比360进行计算即可；（2）根据甲、乙两人上班时从 A、B、C、D 四种交通工具中随机选择一种画树状图或列表，即可运用概率公式得到甲、乙两人恰好选择同一种交
23、通工具上班的概率此题考查了条形统计图、扇形统计图和概率公式的运用，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出进一步解题的有关信息，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小20.【答案】解：（1）如图，连接 OD，OA=OD，OAD=ODA，AD 平分EAF，DAE=DAO，DAE=ADO，ODAE，AEEF，ODEF，EF 是O 的切线；（2）如图，作 OGAE 于点 G，连接 BD，则 AG=CG= AC=2，OGE =E=ODE=90，12四边形 ODEG 是矩形，OA=OB=OD=CG+CE=2+2=4， DOG=90，第 15 页，共 20 页DAE
24、=BAD，AED =ADB=90，ADEABD， = ，即 = ， 68AD2=48，在 RtABD 中， BD= =4，22在 RtABD 中， AB=2BD，BAD=30，BOD=60，则 的长度为 = 60418043【解析】（1）连接 OD，由 OA=OD 知OAD=ODA，由 AD 平分EAF 知DAE=DAO，据此可得 DAE=ADO，继而知 ODAE，根据 AEEF 即可得证；（2）作 OGAE，知 AG=CG= AC=2，证四边形 ODEG 是矩形得OA=OB=OD=CG+CE=4，再证 ADEABD 得 AD2=48，据此得出 BD 的长及 BAD 的度数，利用弧长公式可得答
25、案本题考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质、矩形的判定与性质、垂径定理、弧长公式等知识点21.【答案】解：（1）设购进 A 型号电脑 x 台，B 型号电脑（100- x）台，根据题意可得：（4500-4000）x+ （4000-3600）（100-x）=46000解得：x=60，100-x=40，答：购进 A、B 两种型号电脑分别为 60 台、40 台；（2）根据题意可得：x2 （100-x），解得：x ，6623x 为正整数，0 x66，设销售电脑获得的利润为 y 元，y=500+400（100-x）=100x +40000，k=1000，y 随 x 的增大而增大，当 x=
26、66 时，y=10066+40000=46600（元 0，购进 A 型号电脑 66 台，B 型号电脑 34 台，可获得利润最大，最大利润为 46600 元【解析】第 16 页，共 20 页（1）设购进 A 型号电脑 x 台，根据 题意列出方程解答即可； （2）根据 A 型电脑的进货量不超过 B 型电脑的 2 倍列不等式求出 x 的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，读懂题目信息，准确找出等量关系列出方程是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练掌握22.【答案】1 36【解析】解：（1） AOB=COD=36，A
27、OB+DOA=COD+DOA，COA=DOB，又OA=OB ，OC=OD，COADOB（SAS），AC=BD， =1，故答案为：1；设 AO 与 BD 交于点 E，由知， COADOB，CAO=DBO，AOB+DBO=DEO，AMB+CAO=DEO，AOB=AMB=36，故答案为：36 ；（2）在OAB 和 OCD 中，AOB=COD=90，OAB=OCD=30，第 17 页，共 20 页tan30= = = ，AOB+DOA=COD+DOA，即 DOB=COA，DOBCOA， = = ，DBO=CAO，DBO+OEB=90，OEB=MEA，CAO+MEA=90，AMB=90， = ，AMB=
28、90；（3）如图 3-1，当点 M 在直线 OB 左侧时，在 RtOCD 中， OCD=30，OD=1，CD=2，在 RtOAB 中， OAB=30，OB= ，AB=2 ，由（2）知，AMB=90 ，且 = ，设 BD=x，则 AC=AM= x，在 RtAMB 中，AM2+MB2=AB2，（ x）2+（x+2）2=（2 ）2，解得，x 1=3，x2=-4（舍去），AC=AM=3 ；第 18 页，共 20 页如图 3-2，当点 M 在直线 OB 右侧时，在 RtAMB 中，AM2+MB2=AB2，（ x）2+（x-2）2=（2 ）2，解得，x 1=4，x2=-3（舍去），AC=AM=4 ，综上所
29、述，AC 的长为 3 或 4 （1）由AOB= COD 推出 COA=DOB，利用边角边即可证COA 与DOB 全等，即可求出结果；先证出CAO 与DBO 相等，分别加AOB， AMB，结果仍相等，即可得到 AOB=AMB=36；（2）证明DOB 与 COA 相似即可求出 AC：BD 的值，再通过对顶角相等及OBD=CAO 即可证出AMB 的度数为 90；（3）分点 M 在直线 OA 的左侧和右侧两种情况讨论，利用相似三角形对应边的比设未知数，在 RtAMB 中利用勾股定理构造方程即可求出 AC 的长第 19 页，共 20 页本题考查了旋转的性质，相似的判定与性质，利用勾股定理构造方程等，解题
30、的关键是在图形的变换中要能够以不变应万变，找出图形中不变的特征23.【答案】解：（1）直线 x=-2 与 x 轴交于点 C，点 C（-2 ，0），B（ 1，0），BC=3，AC=2BC，AC=6，直线 x=-2 与抛物线交于点 A，点 A（-2，6），把点 A、B 的坐标代入解析式，得：，解得： ，42+=61+=0 =3=4抛物线的解析式为：y=-x 2-3x+4；（2）P 是直线 AB 上方的抛物线上的一点，设点 P 的坐标为（a，-a 2-3a+4），设直线 AB 的解析式为 yAB=kx+b，将点 A、B 的坐标代入解析式，得：，解得： ，2+=6+=0 =2=2直线 AB 的解析式为
31、：y=-2x+2，PDx 轴于点 D，交 AB 于点 E，点 E 的坐标为（a，-2a+2），DE=-2a+2，PE=-a 2-3a+4-（-2 a+2）=-a 2-a+2，DE=3PE，-2a+2=3（- a2-a+2），解得：a 1=1（舍去），a2= ，43当 x= 时，y= = ，43 (43)23(43)+4569点 P 的坐标为（ ， ）；43 569 点 M 在直线 PD 上，设点 M 的坐标为（ ，m），43点 A（-2，6），点 B（1，0），AB= = ，AM = ，BM= ，32+62 4549+(6)2 499+2ABM 为以 AB 为直角边的直角三角形，：当 BM 为
32、斜边时，可得：AB 2+AM2=BM2，即 45+ +（6- m） 2= +m2，解得：m = ，49 499 193点 M 的坐标为（ ， ）；43 193：当 AM 为斜边时，可得：AB 2+BM2=AM2，第 20 页，共 20 页即 45+ +m2= +（6- m） 2，解得：m = ，499 49 76点 M 的坐标为（ ， ）；43 76综上所述，符合题意的点 M 的坐标为 M1（ ， ）、M 2（ ， ）43 193 43 76【解析】（1）根据题意，分别求出点 C 的坐标，利用 AC=2BC 求出点 A 的坐标，在利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；（2）设点 P 的坐标为（
33、a，-a 2-3a+4），利用待定系数法求出直线 AB 的解析式，用含 a 的式子表示出点 E 的坐标，用含 a 的式子表示出 DE 和 PE 的长度，由DE=3PE，得到关于 a 的方程，求得 a 的值，即可得到点 P 的坐标；设点 M 的坐标为（ ，m），分 别求得 AB、AM、BM 的长度，根据 ABM是以 AB 为直角边的直角三角形，所以可分为两种情况：一是 AM 为斜边，二是 BM 为斜边 ，利用勾股定理列出关于 m 的方程，求解即可本题主要考查二次函数、勾股定理的综合应用，解决第（2） 小题的题目种，构成直角三角形的问题时，若能求得三角形的长度，则可以利用勾股定理解决，同时此类问题中，要注意分类讨论思想的应用