1、二次函数与一元二次方程,yx22x3,函数yx22x3的图象与x轴两个交点为（1，0） （3，0）,方程x22x3 0的两根是x1 1 , x2 3,你发现了什么？ （1）二次函数yax2bxc与x轴的交点的横坐标就是当y0时 一元二次方程ax2bxc0的根; （2）二次函数与x轴的交点问题可以转化为一元二次方程去解决.,探究一：图象与x轴的交点的坐标是什么？,例1. 求二次函数yx24x5的图象与x轴的交点坐标.解：令y0则x24x5 0解之得，x1 5 ,x2 1 二次函数yx24x5的图象与x轴的交点坐标为：（5，0）（1，0）,结论一： 若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1
2、、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是 A（ ）， B（ ）,X1，0,X2，0,探究2、抛物线与x轴的公共点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？,O,x,y,与x轴的公共点个数,一元二次方程根的个数,2个,2个不等根,b2-4ac0,1个,2个等根,0个,0个,b2-4ac0,b2-4ac=0,一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根,结论2：,抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由,一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：,抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点,一元二次方程ax2+
3、bx+c=0有两个相等的实数根,抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点,一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根,b2-4ac0,b2-4ac =0,b2-4ac 0,例2.判断下列二次函数图象与x轴的交点情况yx21； 解： b24ac02 41(1) = 4 0 函数与x轴有两个交点 练习1不画图象判断下列函数的图象与x轴是否有公共点，并说明理由 (1) y=x2-x (2) y=-x2+6x-9 (3) y=3x2+6x+11,例1已知抛物线 （1）当k取什么值时，抛物线与x轴有两个交点？ （2）当k取什么值时，抛物线与x轴有一个公共点？并求出这个公共点的坐标 （3）当k取什么值时
4、，抛物线与x轴没有公共点?,例题分析：,根据对应方程的根的情况，可以确定二次函数的图象与x轴的交点个数。,例2已知：抛物线 求证：此抛物线与x轴必有两个不同交点,例题分析：,即证明对应方程中的b2-4ac0,例3.(1)已知二次函数y=x2-4x+k+2的图象与x轴有公共点，求k的取值范围.,(2)已知二次函数y=kx27x7的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围为 .,练习2、已知抛物线y=x2-6x+a,(1)顶点在x轴上，则a= ；(2)若抛物线与坐标轴有两个公共点则a= ；,9,9或0,1已知抛物线 （1）求它与x轴交点A、B的坐标，与y轴交点C的坐标 （2）求ABC的面积,2已知二次
5、函数 （1）求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点 （2）若该二次函数图象与x轴有两个公共点A、B，且A点坐标为（1，0），求B 点的坐标,3已知抛物线 与坐标轴只有两个交点，求k的值,结论2：,抛物线y=ax2+bx+c,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由,一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：,1、0 一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不等的实数根,与x轴有两个交点相交.,抛物线y=ax2+bx+c,2、=0 一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个相等的实数根,与x轴有唯一公共点相切（顶点）.,抛物线y=ax2+bx+c,3、0 一元二次方程ax
6、2+bx+c=0 没有实数根,与x轴没有公共点相离.,练习3、求y=x2+2x-8与坐标轴的交点，,根据图象回答： 何时y0?,拓展与延伸：,1.二次函数yax2bxc的图象，如图所示（b24ac），那么 （ ） A. b0 c0 0 B. b0 c0 0C. b0 c0 0 D. b0 c0 0,4.二次函数y= ax2+bx+c (a0，a，b，c为常数)图象如图所示，根据图象解答问题(1)写出方程 的两个根(2)写出不等式 ax2+bx+c0的解集 (3)写出y随x增大而减小的自变量x的取值范围(4)若方程 ax2+bx+c =k有两个不相等的实数根，求k的取值范围.,拓展与延伸：,联想
7、：二次函数与x轴的交点个数可以借助判别式解决，那么二次函数与一次函数的交点个数又该怎么解决呢？例如: 二次函数yx22x3和一次函数yx2有交点吗？有几个？ 分析: 两个函数的交点是这两个函数的公共解，先列出方程组，消去y后，再利用判别式判断即可.,拓展： 二次函数yx2x3和一次函数yxb有一个公共点（即相切），求b的值.解：由题意，得 消元，得 x2x3 xb 整理，得x22x （3 b） 0 有唯一交点 （2）2 4（ 3 b） 0 解之得，b 4,yx2x3,yxb,2. 若2，4是方程 的两个根，则对应抛物线y 的对称轴是_.,拓展与延伸：,3.关于x的一元二次方程 没有实数根，则抛物线 的顶点在_象限.,