1、专题 01 函数的性质及其应用【自主热身，归纳提炼】1、 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)，当 x0 时， f(x)2 x x2，则 f(0) f(1)_.【答案】： 1 【解 析】：因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)0， f(1) f(1)(21)1，因此f(0) f(1)1.2、已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f(x)2 x3，则不等式 f(x)5 的解集为_【答案】 (，3 【解析】：当 x0 时， f(x)2 x32；因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)0；当x0 时， x0，所以 f( x)2 x3， f(x)
2、2 x3，此时不等式 f(x)5 可化为2 x35，解得 x3.综上所述，该不等式的解集为(，33、 若函数 f(x)Error!( a， bR)为奇函数，则 f(a b)的值为_【答案】： 1 解法 2 因为函数 f(x)为奇函数，所以 f(x)的图像关于原点对称，当 x0，二次函数的图像顶点为 ， ，b2 b24当 x0，二次函数的图像顶点为(1， a)，所以 1， a，解得 a1， b2，b2 b24经验证 a1， b2 满足题设条件，所以 f(a b) f(1)1.4、设函数 y ex a 的值域为 A，若 A0，)，则实数 a 的取值范围是_1ex【答案】 (，2 【解析】：因为 e
3、x0 ，所以 y ex a2 a2a，当且仅当 ex1，即 x0 时取等1ex ex1ex号 故所求函数的值域 A2a，)又 A0，)，所以 2a0，即 a2.5、设 f(x)是 R 上的奇函数，当 x0 时， f(x)2 xln ，记 an f(n5)，则数列 an的前 8 项和为x4_. 【答案】：1 6 【解析】数列 an的前 8项和为 f(4) f(3) f(3) f(4)( f(3) f(3)( f(2) f(2)( f(1) f(1) f(0) f(4) f(4)2 4ln 16.446设 ()fx是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 1,)x时， ，则 32f的值为_【答案】
4、1【解析】 ，因为函数 ()fx周期为 2，所以 ，于是 ，所以代入已知【解析】式中，有 ，即 312f7、已知函数 f(x)Error!是 R 上的增函数，则实数 k 的取值范围是_【答案】： k0(a0 且 a1)，则实数 a 的取值范围是1a_【答案】： (0,1)(3，) 【解析】：由函数 f(x)的【解析】式易得，该函数为奇函数且在定义域 R 上是单调增函数故 f(1) f(log 3)0，即 f(log 3) f(1) f(1)，即 log 31log a.所以Error!或Error!解得 03.遇到解与函数值有关的不等式的问题首先考虑研究所给函数的单调性和奇偶性，将所给不解 后
5、 反 思等式转化为自变量不等式，不要忽视函数的定义域对自变量的限制【关联 3】 、已知函数 ()fx为定义在 2,3a上的偶函数，在 0,3上单调递减，并且，则实数 m的取值范围是 【答案】： .【解析】:由题设可得 ,即 5a,故 可化为 ，即 ,又 ,故 ,且 21m，故 .【关联 4】 、设函数 ()fx是定义在 R上的奇函数，若 ()fx的最小正周期为 3，且满足，则实数 m的取值范围是 【变式】 、已知函数 （ e为自然对数的底数） ，若 ，则实数 x 的取值范围为 【答案】： 31x【解析】： ，)(xg为奇函数且为增函数。【关联】 、 已知函数 ， ，则 t 的取值范围是 【答案
6、】： 1t【解析】：由 得 ，进而 ，所以构造函数 ，则 xg是奇函数，并且在 R 上是增函数所以有 ， ，解得 1t例 3、 （2016 江苏高考）设 ()fx是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 ,)上，其中 a，若 ，则 (5)fa的值是 .【解析】 ，则 ，得 3，因此 【关联 1】 、设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间1, 1上， f(x)Error!其中 a， bR.若 f f ，则 a3 b 的值为_(12) (32)【解析】 因为 f(x)的周期为 2，所以 f f f ，即 f f .(32) (32 2) ( 12) (12) ( 12)又因为
7、 f a1， f ，所以 a1 .整理，得 a (b1)(12) 12 (12)b2 212 1 b 43 12 b 43 23又因为 f(1) f(1)，所以 a1 ，即 b2 a.b 22将代入，得 a2， b4 所以 a3 b23(4)10.【关联 2】 、 已知 ()fx是定义在 R上且周期为 3 的函数 ，当 0,3x时， ，若函数()yfxa在区间 3,4上有 10 个零点（互不相同） ，则实数 a的取值范围是 .【答案】：1(0,)2【解析】 作出函数 , 0,3x的图象，可见 1(0)2f，当 1x时， 1()2fx大， 7(3)f，方程 ()fa在 3,4上有10 个零点，即
8、函数 y与直线 y在 3,4上有 10 个公共点，图二由于函数 ()fx的周期为 3，因此直线 ya与函数 ,0,3x的公共点数为 4，则有 1(0,)2例 4、已知函数（1）若 ()fx为奇函数，求 的值和此时不等式 ()1fx的解集；（2）若不等式 6 对 0,2x恒成立，求实数 的取值范围【解析】 （1）函数 的定义域为 R ()fx为奇函数， 对 x恒成立， 即 对 恒成立， 1 此时 即 ，解得 ， 解集为 （2）由 ()6fx 得 ，即 36x ，令 31,9t，原问题等价于 t 对 1,9t恒成立，亦即 26t 对 ,t恒成立， 令 ， ()g在 1,3上单调递增，在 3,9上单
9、调递减，当 9t时， ()t有最小值 ()27g， 27 【关联 1】 、设 （ ,ab为实常数） （1）当 1ab时，证明： ()fx不是奇函数；（2）若 ()fx是奇函数，求 a 与 b 的值；（3）当 是奇函数时，研究是否存在这 样的实数集的子集 D，对任何属于 D 的 x、 c，都有 成立？若存在试找出所有这样的 D；若不存在，请说明理由（2）当 12ab时， ，因为 0x，所以 1x， 012x，所以 而 对任何实数 c成立；所以可取 D=R对任何 x、c 属于 D，都有 成立当 12ab时， ，所以当 0x时， 1()2fx；当 0x时， 1()2fx 1）因此取 ,D，对任何 、c 属于 D，都有 成立 2）当 0c时， ，解不等式 得： 25log7x所以取 ，对任何属于 的 x、