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2019届高考数学二轮复习第二部分突破热点分层教学专项二专题一第2讲《基本初等函数函数与方程及函数的应用》学案

1、第 2 讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析卷 函数的零点问题 T9卷 指数型函数图象的识别 T32018卷 对数的运算及不等式性质 T12卷指数与对数的互化、对数运算、比较大小 T112017卷 函数的零点问题 T11卷幂函数、指数函数、对数函数的单调性、比较大小 T82016卷指数函数与幂函数的单调性、比较大小 T61.基本初等函数作为高考的命题热点,多考查利用函数的性质比较大小,一般出现在第 511 题的位置,有时难度较大2函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上,近几年全国课标卷考查较少,但也要引起重视,题目可能较难.基本初等函数的

2、图象与性质(综合型)指数与对数式的 8 个运算公式(1)aman am n.(2)(am)n amn.(3)(ab)m ambm.(4)loga(MN)log aMlog aN.(5)loga log aMlog aN.(6)logaMn nlogaM.(7)alogaN N.(8)logaN .MN logbNlogba注意 (1)(2)(3)中, a0, b0;(4)(5)(6)(7)(8)中, a0 且 a1, b0 且b1, M0, N0.典型例题(1)(2018高考天津卷)已知 alog 2e, bln 2, clog ,则 a, b, c 的大小关1213系为( )A abc B

3、bacC cba D cab(2)函数 y ln| x|的图象大致为( )1x【解析】 (1)因为 alog 2e1, bln 2(0,1), clog log 23log2e1,所以1213cab,故选 D.(2)当 x0 时, y ln x,此时 f(1) ln 11,而选项 A 中函数的最小值为 2,故1x 11排除 A,只有 B 正确故选 B.【答案】 (1)D (2)B基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值,当底数 a 的值不确定时,要注意分 a1 和 01 时,两函数在定义域内都为增函数;当 00 和 0,所以 y x 是对勾函数,若

4、 00 时,1axy x 的值大于等于 2,函数 y ax和 y x 的图象不可能有两个交点,故选 D.1ax 1ax函数的零点(综合型)函数的零点及其与方程根的关系对于函数 f(x),使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 f(x)的零点函数 F(x) f(x) g(x)的零点就是方程 f(x) g(x)的根,即函数 y f(x)的图象与函数 y g(x)的图象交点的横坐标零点存在性定理如果函数 y f(x)在区间 a, b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)f(b)1,01,00,1a所以 f(1) f(0)0)g(x)存在 2 个零点,则 a 的取值范围是( )A1,0) B0,

5、)C1,) D1,)【解析】 函数 g(x) f(x) x a 存在 2 个零点,即关于 x 的方程 f(x) x a 有2 个不同的实根,即函数 f(x)的图象与直线 y x a 有 2 个交点,作出直线 y x a与函数 f(x)的图象,如图所示,由图可知, a1,解得 a1,故选 C.【答案】 C利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解 对点训练1(2018洛阳第一次统考)已知函数 f(x)满足 f(1 x) f(1 x) f(x1)

6、( xR),且当 0 x1 时, f(x)2 x1,则方程|cos x| f(x)0 在1,3上的所有根的和为( )A8 B9C10 D11解析:选 D.方程|cos x| f(x)0 在1,3上的所有根的和即 y|cos x|与y f(x)在1,3上的图象交点的横坐标的和由 f(1 x) f(1 x)得 f(x)的图象关于直线 x1 对称,由 f(1 x) f(x1)得 f(x)的图象关于 y 轴对称,由 f(1 x) f(x1)得 f(x)的一个周期为 2,而当 0 x1 时, f(x)2 x1,在同一坐标系中作出 y f(x)和 y|cos x|在1,3上的大致图象,如图所示,易知两图象

7、在1,3上共有 11 个交点,又 y f(x), y|cos x|的图象都关于直线 x1 对称,故这 11 个交点也关于直线 x1 对称,故所有根的和为 11.故选 D.2已知函数 f(x) kx(e 为自然对数的底数)有且只有一个零点,则实数 k 的取值exx范围是_解析:由题意,知 x0,函数 f(x)有且只有一个零点等价于方程 kx0 只有一个根,即方程 k 只有一个exx exx2根,设 g(x) ,则函数 g(x) 的图象与直线 y k 只有exx2 exx2一个交点因为 g( x) ,所以函数 g(x)在(,0)上为增函数,在(0,2)上为减( x 2) exx3函数,在(2,)上

8、为增函数, g(x)的极小值 g(2) ,且 x0 时, g(x)e24, x时, g(x)0, x时, g(x),则 g(x)的图象如图所示,由图易知 0200,两边同时取对数,得n1 ,又 3.8,则 n4.8,即 a5开始超过lg 2 lg 1.3lg 1.12 lg 2 lg 1.3lg 1.12 0.30 0.110.05200,所以 2022 年投入的研发资金开始超过 200 万元,故选 B.2某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件该产品需另投入的成本为G(x)(单位:万元),当年产量不足 80 千件时, G(x) x210 x;当年产量不小于 80 千件13

9、时, G(x)51 x 1 450.已知每件产品的售价为 0.05 万元通过市场分析,该工10 000x厂生产的产品能全部售完,则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是_万元解析:因为每件产品的售价为 0.05 万元,所以 x 千件产品的销售额为 0.051 000x50 x 万元当 00,log0.5( 4x 3) 0, ) 342已知函数 f(x)( m2 m5) xm是幂函数,且在 x(0,)时为增函数,则实数m 的值是( )A2 B4C3 D2 或 3解析:选 C.f(x)( m2 m5) xm是幂函数 m2 m51 m2 或 m3.又在 x(0,)上是增函数,所以 m3.3若

10、alog , be , clog 3cos ,则( )1 13 3 5A bca B bacC abc D cab解析:选 B.因为 0log 0,所以 0e01,所以 b1.因为 0ac,选 B.4函数 f(x) 则不等式 f(x)2 的解集为( )2ex 1, x2(x2( x2),解得 x .10故不等式 f(x)2 的解集为(1,2)( ,)105若函数 y a|x|(a0 且 a1)的值域为 y|00 且 a1)的值域为 y|00 时, y xln x, yln x1,令 y0,得 xe1 ,所以当 x0 时,函数在(e 1 ,)上单调递增,结合图象可知 D 正确,故选 D.8设 x

11、, y, z 为正数,且 2x3 y5 z,则( )A2 x1),则 xlog 2k, ylog 3k, zlog 5k,所以 1,即 2x3y.2x3y 2log2k3log3k 2lg klg 2 lg 33lg k 2lg 33lg 2 lg 9lg 8 0 时, f(x)ln x x1,则函数 g(x) f(x)e x(e 为自然对数的底数)的零点个数是( )A0 B1C2 D3解析:选 C.当 x0 时, f(x)ln x x1, f( x) 11x,所以 x(0,1)时 f( x)0,此时 f(x)单调递增;1 xxx(1,)时, f( x)0时, f(x)max f(1)ln 1

12、110.根据函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数作出函数 y f(x)与ye x的大致图象如图所示,观察到函数 y f(x)与 ye x的图象有两个交点,所以函数g(x) f(x)e x(e 为自然对数的底数)有 2 个零点11已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且在区间0,)上单调递增,若0(22)x 且 a1)在区间(2,6)内有且只有 4 个不同的实根,则实数 a 的取值范围是( )A. B(1,4)(14, 1)C(1,8) D(8,)解析:选 D.因为 f(x)为偶函数,且 f(2 x) f(2 x),所以 f(4 x) f( x) f(x),所以 f(x)为偶函数且周期为

13、 4,又当2 x0 时, f(x) 1,(22)x 画出 f(x)在(2,6)上的大致图象,如图所示若 f(x)log a(x2)0( a0 且 a1)在(2,6)内有 4 个不同的实根,则 y f(x)的图象与 ylog a(x2)的图象在(2,6)内有 4 个不同的交点所以 所以 a8,故选 D.a1,loga( 6 2) 0, )食品,并将其遗放在室外,且此日的室外温度随时间的变化如图所示给出以下四个结论:该食品在 6 的保鲜时间是 8 小时;当 x6,6时,该食品的保鲜时间 t 随着 x 的增大而逐渐减少;到了此日 13 时,甲所购买的食品还在保鲜时间内;到了此日 14 时,甲所购买的

14、食品已过了保鲜时间其中,所有正确结论的序号是_解析:因为某食品的保鲜时间 t(单位:小时)与储藏温度 x(单位:)满足函数关系式t 且该食品在 4 时的保鲜时间是 16 小时,所以 24k6 16,即64, x 0,2kx 6, x0, )4k64,解得 k ,所以 t12当 x6 时, t8,故正确;当 x6,0时,保鲜时间恒为 64 小时,当 x(0,6时,该食品的保鲜时间 t随着 x 的增大而逐渐减少,故错误;此日 10 时,温度为 8 ,此时保鲜时间为 4 小时,而随着时间的推移,到 11 时,温度为 11 ,此时的保鲜时间 t2 116 1.414 小时,到 13 时,甲所购买的食122品不在保鲜时间内,故错误;由可知,到了此日 14 时,甲所购买的食品已过了保鲜时间,故正确所以正确结论的序号为.答案: