1、第 2 讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析卷 函数的零点问题 T9卷 指数型函数图象的识别 T32018卷 对数的运算及不等式性质 T12卷指数与对数的互化、对数运算、比较大小 T112017卷 函数的零点问题 T11卷幂函数、指数函数、对数函数的单调性、比较大小 T82016卷指数函数与幂函数的单调性、比较大小 T61.基本初等函数作为高考的命题热点，多考查利用函数的性质比较大小，一般出现在第 511 题的位置，有时难度较大2函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，近几年全国课标卷考查较少，但也要引起重视，题目可能较难.基本初等函数的
2、图象与性质(综合型)指数与对数式的 8 个运算公式(1)aman am n.(2)(am)n amn.(3)(ab)m ambm.(4)loga(MN)log aMlog aN.(5)loga log aMlog aN.(6)logaMn nlogaM.(7)alogaN N.(8)logaN .MN logbNlogba注意 (1)(2)(3)中， a0， b0；(4)(5)(6)(7)(8)中， a0 且 a1， b0 且b1， M0， N0.典型例题(1)(2018高考天津卷)已知 alog 2e， bln 2， clog ，则 a， b， c 的大小关1213系为( )A abc B
3、bacC cba D cab(2)函数 y ln| x|的图象大致为( )1x【解析】 (1)因为 alog 2e1， bln 2(0，1)， clog log 23log2e1，所以1213cab，故选 D.(2)当 x0 时， y ln x，此时 f(1) ln 11，而选项 A 中函数的最小值为 2，故1x 11排除 A，只有 B 正确故选 B.【答案】 (1)D (2)B基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数 a 的值不确定时，要注意分 a1 和 01 时，两函数在定义域内都为增函数；当 00 和 0，所以 y x 是对勾函数，若
4、 00 时，1axy x 的值大于等于 2，函数 y ax和 y x 的图象不可能有两个交点，故选 D.1ax 1ax函数的零点(综合型)函数的零点及其与方程根的关系对于函数 f(x)，使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 f(x)的零点函数 F(x) f(x) g(x)的零点就是方程 f(x) g(x)的根，即函数 y f(x)的图象与函数 y g(x)的图象交点的横坐标零点存在性定理如果函数 y f(x)在区间 a， b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)1，01，00，1a所以 f(1) f(0)0)g(x)存在 2 个零点，则 a 的取值范围是( )A1，0) B0，
5、)C1，) D1，)【解析】 函数 g(x) f(x) x a 存在 2 个零点，即关于 x 的方程 f(x) x a 有2 个不同的实根，即函数 f(x)的图象与直线 y x a 有 2 个交点，作出直线 y x a与函数 f(x)的图象，如图所示，由图可知， a1，解得 a1，故选 C.【答案】 C利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解 对点训练1(2018洛阳第一次统考)已知函数 f(x)满足 f(1 x) f(1 x) f(x1)
6、( xR)，且当 0 x1 时， f(x)2 x1，则方程|cos x| f(x)0 在1，3上的所有根的和为( )A8 B9C10 D11解析：选 D.方程|cos x| f(x)0 在1，3上的所有根的和即 y|cos x|与y f(x)在1，3上的图象交点的横坐标的和由 f(1 x) f(1 x)得 f(x)的图象关于直线 x1 对称，由 f(1 x) f(x1)得 f(x)的图象关于 y 轴对称，由 f(1 x) f(x1)得 f(x)的一个周期为 2，而当 0 x1 时， f(x)2 x1，在同一坐标系中作出 y f(x)和 y|cos x|在1，3上的大致图象，如图所示，易知两图象
7、在1，3上共有 11 个交点，又 y f(x)， y|cos x|的图象都关于直线 x1 对称，故这 11 个交点也关于直线 x1 对称，故所有根的和为 11.故选 D.2已知函数 f(x) kx(e 为自然对数的底数)有且只有一个零点，则实数 k 的取值exx范围是_解析：由题意，知 x0，函数 f(x)有且只有一个零点等价于方程 kx0 只有一个根，即方程 k 只有一个exx exx2根，设 g(x) ，则函数 g(x) 的图象与直线 y k 只有exx2 exx2一个交点因为 g( x) ，所以函数 g(x)在(，0)上为增函数，在(0，2)上为减（ x 2） exx3函数，在(2，)上
8、为增函数， g(x)的极小值 g(2) ，且 x0 时， g(x)e24， x时， g(x)0， x时， g(x)，则 g(x)的图象如图所示，由图易知 0200，两边同时取对数，得n1 ，又 3.8，则 n4.8，即 a5开始超过lg 2 lg 1.3lg 1.12 lg 2 lg 1.3lg 1.12 0.30 0.110.05200，所以 2022 年投入的研发资金开始超过 200 万元，故选 B.2某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 千件该产品需另投入的成本为G(x)(单位：万元)，当年产量不足 80 千件时， G(x) x210 x；当年产量不小于 80 千件13
9、时， G(x)51 x 1 450.已知每件产品的售价为 0.05 万元通过市场分析，该工10 000x厂生产的产品能全部售完，则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是_万元解析：因为每件产品的售价为 0.05 万元，所以 x 千件产品的销售额为 0.051 000x50 x 万元当 00，log0.5（ 4x 3） 0， ) 342已知函数 f(x)( m2 m5) xm是幂函数，且在 x(0，)时为增函数，则实数m 的值是( )A2 B4C3 D2 或 3解析：选 C.f(x)( m2 m5) xm是幂函数 m2 m51 m2 或 m3.又在 x(0，)上是增函数，所以 m3.3若
10、alog ， be ， clog 3cos ，则( )1 13 3 5A bca B bacC abc D cab解析：选 B.因为 0log 0，所以 0e01，所以 b1.因为 0ac，选 B.4函数 f(x) 则不等式 f(x)2 的解集为( )2ex 1， x2(x2( x2)，解得 x .10故不等式 f(x)2 的解集为(1，2)( ，)105若函数 y a|x|(a0 且 a1)的值域为 y|00 且 a1)的值域为 y|00 时， y xln x， yln x1，令 y0，得 xe1 ，所以当 x0 时，函数在(e 1 ，)上单调递增，结合图象可知 D 正确，故选 D.8设 x
11、， y， z 为正数，且 2x3 y5 z，则( )A2 x1)，则 xlog 2k， ylog 3k， zlog 5k，所以 1，即 2x3y.2x3y 2log2k3log3k 2lg klg 2 lg 33lg k 2lg 33lg 2 lg 9lg 8 0 时， f(x)ln x x1，则函数 g(x) f(x)e x(e 为自然对数的底数)的零点个数是( )A0 B1C2 D3解析：选 C.当 x0 时， f(x)ln x x1， f( x) 11x，所以 x(0，1)时 f( x)0，此时 f(x)单调递增；1 xxx(1，)时， f( x)0时， f(x)max f(1)ln 1
12、110.根据函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数作出函数 y f(x)与ye x的大致图象如图所示，观察到函数 y f(x)与 ye x的图象有两个交点，所以函数g(x) f(x)e x(e 为自然对数的底数)有 2 个零点11已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且在区间0，)上单调递增，若0(22)x 且 a1)在区间(2，6)内有且只有 4 个不同的实根，则实数 a 的取值范围是( )A. B(1，4)(14， 1)C(1，8) D(8，)解析：选 D.因为 f(x)为偶函数，且 f(2 x) f(2 x)，所以 f(4 x) f( x) f(x)，所以 f(x)为偶函数且周期为
13、 4，又当2 x0 时， f(x) 1，(22)x 画出 f(x)在(2，6)上的大致图象，如图所示若 f(x)log a(x2)0( a0 且 a1)在(2，6)内有 4 个不同的实根，则 y f(x)的图象与 ylog a(x2)的图象在(2，6)内有 4 个不同的交点所以 所以 a8，故选 D.a1，loga（ 6 2） 0， )食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间的变化如图所示给出以下四个结论：该食品在 6 的保鲜时间是 8 小时；当 x6，6时，该食品的保鲜时间 t 随着 x 的增大而逐渐减少；到了此日 13 时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；到了此日 14 时，甲所购买的
14、食品已过了保鲜时间其中，所有正确结论的序号是_解析：因为某食品的保鲜时间 t(单位：小时)与储藏温度 x(单位：)满足函数关系式t 且该食品在 4 时的保鲜时间是 16 小时，所以 24k6 16，即64， x 0，2kx 6， x0， )4k64，解得 k ，所以 t12当 x6 时， t8，故正确；当 x6，0时，保鲜时间恒为 64 小时，当 x(0，6时，该食品的保鲜时间 t随着 x 的增大而逐渐减少，故错误；此日 10 时，温度为 8 ，此时保鲜时间为 4 小时，而随着时间的推移，到 11 时，温度为 11 ，此时的保鲜时间 t2 116 1.414 小时，到 13 时，甲所购买的食122品不在保鲜时间内，故错误；由可知，到了此日 14 时，甲所购买的食品已过了保鲜时间，故正确所以正确结论的序号为.答案：