1、第 3 练 不等式与合情推理年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析卷利用线性规划求线性目标函数的最值T 13卷利用线性规划求线性目标函数的最值T 142018卷 不等式的性质及对数的运算T 12卷利用线性规划求线性目标函数的最值T 14利用线性规划求线性目标函数的最值T 5卷合情推理T 7利用线性规划求线性目标函数的最值T 132017卷分段函数与不等式的解法T 15卷 线性规划的实际应用T 16卷 合情推理T 152016卷利用线性规划求线性目标函数的最值T 131.不等式作为高考命题热点内容之一，多年来命题较稳定，多以选择、填空题的形式进行考查，题目多出现在第 59 或第 1315 题的
2、位置上，难度中等，直接考查时主要是简单的线性规划问题，关于不等式性质的应用、不等式的解法以及基本不等式的应用，主要体现在其工具作用上2在全国课标卷中很少直接考查“推理与证明” ，特别是合情推理，而演绎推理，则主要体现在对问题的证明上.不等式的性质及解法一元二次不等式的解法先化为一般形式 ax2 bx c0(a0)，再求相应一元二次方程 ax2 bx c0( a0)的根，最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集简单分式不等式的解法(1) 0(0(0， B0)， g(x)恒正或恒负Ag(x)的形式，然后运用基本不等式来求最值(4)“1”的代换：先把已知条件中的等式变形
3、为“1”的表达式，再把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积，通过变形构造和或积为定值的代数式求其最值考法全练1若 log4(3a4 b)log 2 ，则 a b 的最小值是( )abA62 B723 3C64 D743 3解析：选 D.因为 log4(3a4 b)log 2 ，所以 log22(3a4 b)log 2 ，所以ab ablog2(3a4 b)log 2 ，所以 log2(3a4 b)2log 2 ，所以 log2(3a4 b)log 2ab，所12 ab ab以 3a4 b ab，即 1，故 a b (a b)7 74 .故选 D.4a 3b (4a 3b) 4ba 3ab
4、32已知向量 a( x1，3)， b(1， y)，其中 x， y 都为正实数若 a b，则 的1x 13y最小值为( )A2 B2 2C4 D2 3解析：选 C.因为 a b，所以 ab x13 y0，即 x3 y1.又 x， y 为正实数，所以 ( x3 y) 2 22 4，当且仅当 x3 y 时取等1x 13y (1x 13y) 3yx x3y 3yxx3y 12号所以 的最小值为 4.故选 C.1x 13y3(2018合肥调研)已知 a b0，则 a 的最小值为( )4a b 1a bA. B43102C2 D33 2解析：选 D.因为 a b0，所以 a 4a b 1a b 12(a
5、b 8a b a b 2a b) 2 3 ，当且仅当 a ， b 时等号成立(a b)8a b (a b)2a b 2 2 2 322 224(2018高考天津卷)已知 a， bR，且 a3 b60，则 2a 的最小值为18b_解析：由 a3 b60，得 a3 b6，所以2a 2 3b6 2 22 3 ，当且仅当 23b6 ，即 b1 时等18b 123b 23b 6123b 14 123b号成立答案：145某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是_解析：由题意知一年购买 次，
6、则总运费与总存储费用之和为 64 x4600x 600x8 240，当且仅当 x30 时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时，(900x x) 900xxx 的值是 30.答案：30线性规划问题常见的 3 种目标函数(1)截距型：形如 z ax by，求这类目标函数的最值常将函数 z ax by 转化为y x ，通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最值ab zb zb(2)距离型：形如 z( x a)2( y b)2，设动点 P(x， y)，定点 M(a， b)，则 z| PM|2.(3)斜率型：形如 z ，设动点 P(x， y)，定点 M(a， b)，则 z kPM.y bx a考法全
7、练1(2018南昌调研)设变量 x， y 满足约束条件 则 z3 x2 y 的最x y 1 0，x 2y 2 0，2x y 2 0， )大值为( )A2 B2C3 D4解析：选 C.作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线 y x，平移该直线，当直线经过 C(1，0)时，在 y 轴上的32截距最小， z 最大，此时 z3103，故选 C.2(2018南昌模拟)设不等式组 表示的平面区x y 3 0x y 1 03x y 5 0)域为 M，若直线 y kx 经过区域 M 内的点，则实数 k 的取值范围为( )A. B.(12， 2 12， 43C. D.12， 2 43， 2解析：选
8、 C.不等式组 表示的平面区域如图中阴影部分所示，即三角形x y 3 0x y 1 03x y 5 0)ABC(含边界)，由 得点 A(2，1)，由 得点 C(1，2)，又直线 OA 的x y 3 03x y 5 0) x y 3 0x y 1 0)斜率为 kOA ，直线 OC 的斜率为 kOC2，而直线 y kx 表示过原点 O 的直线，因此根据题12意可得 kOA k kOC，即 k2，故选 C.123(2018广州模拟)若 x， y 满足约束条件 则 z x22 x y2的最小x y 2 0，2y 1 0，x 1 0， )值为( )A. B.12 14C D12 34解析：选 D.画出约
9、束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，目标函数 z x22 x y2( x1) 2 y21 的几何意义是平面区域内的点到定点(1，0)的距离的平方再减去 1，观察图形可得，平面区域内的点到定点(1，0)的距离的最小值为 ，故 z x22 x y2的最小值为 zmin 1 ，故选 D.12 14 344(2018辽宁五校联合体模拟)已知实数 x， y 满足 若目标函数x y 6 0，x y 0，x 3， )z ax y 的最大值为 3a9，最小值为 3a3，则实数 a 的取值范围是( )A a|1 a1 B a|a1C a|a1 或 a1 D a|a1解析：选 A.不等式组 表示的平面区域如
10、图中阴影部分所示，因为目x y 6 0，x y 0，x 3 )标函数 z ax y 的最大值为 3a9，最小值为 3a3，所以目标函数 z ax y 的图象经过点 A(3，9)时， z 取得最大值，经过点 B(3，3)时， z 取得最小值，由图象得，1 a1，所以1 a1，故选 A.5(2018武汉调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克， B 原料 3 千克；生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克， B 原料 1 千克，每桶甲产品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元，公司在每天消耗 A， B 原料都不超过 12 千克的条件下，生产
11、这两种产品可获得的最大利润为( )A1 800 元 B2 100 元C2 400 元 D2 700 元解析：选 C.设生产甲产品 x 桶，生产乙产品 y 桶，每天的利润为 z 元根据题意，有z300 x400 y.作出 所表示的可行域，为图2x 2y 12，3x y 12，x 0， x N*，y 0， y N*， ) 2x 2y 12，3x y 12，x 0， x N*，y 0， y N* )中阴影部分中的整点，作出直线 3x4 y0 并平移，当直线经过点 A(0，6)时， z 有最大值，zmax40062 400，故选 C.合情推理破解归纳推理题的思维 3 步骤(1)发现共性：通过观察特例发
12、现某些相似性(特例的共性或一般规律)(2)归纳推理：把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)(3)检验，得结论：对所得的一般性命题(猜想)进行检验，一般地， “求同存异” “逐步细化” “先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧破解类比推理题的 3 个关键(1)会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征(2)会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的猜想(3)会检验，即检验猜想的正确性要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力考法全练1(2018南昌模拟)已知132 3 ， 132 33 3 ，1 32 3
13、3 34 3 ，若(62)2 (122)2 (202)2 132 33 34 3 n33 025，则 n( )A8 B9C10 D11解析：选 C.132 3 ，(62)2 (232 )2 132 33 3 ，(122)2 (342 )2 132 33 34 3 ，(202)2 (452 )2 由此归纳可得 132 33 34 3 n3 ，n(n 1)2 2 因为 132 33 34 3 n33 025，所以 3 025，所以 n2(n1)n(n 1)2 2 2(255) 2，所以 n10，故选 C.2平面内直角三角形两直角边长分别为 a， b，则斜边长为 ，直角顶点到斜边a2 b2的距离为
14、.空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为aba2 b2S1， S2， S3，类比推理可得底面积为 ，则三棱锥顶点到底面的距离为( )A. B.C. D.解析：选 C.设空间中三棱锥 OABC 的三条两两垂直的侧棱 OA， OB， OC 的长分别为a， b， c，不妨设三个侧面的面积分别为 S OAB ab S1， S OAC ac S2， S12 12OBC bc S3，则 ab2 S1， ac2 S2， bc2 S3.12过 O 作 OD BC 于 D，连接 AD，由 OA OB， OA OC，且 OB OC O，得 OA平面 OBC，所以 OA BC，又 OA OD O，所以
15、 BC平面 AOD，又 BC平面 OBC，所以平面 OBC平面 AOD，所以点 O 在平面 ABC 内的射影 O在线段 AD 上，连接 OO.在直角三角形 OBC 中， OD .bcb2 c2因为 AO OD，所以在直角三角形 OAD 中，OO OAODOA2 OD2a bcb2 c2a2 ( bcb2 c2)2 abc(ab)2 (ac)2 (bc)2 (ab)(bc)(ca)(ab)2 (ac)2 (bc)2 ，故选 C.(2S1)(2S2)(2S3)(2S1)2 (2S3)2 (2S2)23(2018长春质量检测)有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是
16、 m 月 n 日，张老师把 m 告诉了甲，把 n 告诉了乙，然后张老师列出来如下 10 个日期供选择：2 月 5 日，2 月 7 日，2 月 9 日，5 月 5 日，5 月 8 日，8 月 4日，8 月 7 日，9 月 4 日，9 月 6 日，9 月 9 日看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道 ”乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了 ”甲接着说：“哦，现在我也知道了 ”则张老师的生日是_解析：根据甲说的“我不知道，但你一定也不知道” ，可排除 5 月 5 日、5 月 8 日、9月 4 日、9 月 6 日、9 月 9 日；根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道，但现在我知道
17、了”，可排除 2 月 7 日、8 月 7 日；根据甲接着说的“哦，现在我也知道了” ，可以得知张老师生日为 8 月 4 日答案：8 月 4 日一、选择题1设 x， y 满足约束条件 则 z2 x y 的最小值与最大值的和为 ( )x y 3 0，x y 1 0，x 3， )A7 B8C13 D14解析：选 D.作出不等式组 表示的平面区域，如图中阴影部分所示，x y 3 0，x y 1 0，x 3 )作出直线 2x y0，平移直线 2x y0，当直线经过点 A(1，2)时， z2 x y 取得最小值4，当经过点 B(3，4)时， z2 x y 取得最大值 10，故 z 的最小值与最大值的和为4
18、1014.故选 D.2(2018长春质量检测(一)已知 x0， y0，且 4x y xy，则 x y 的最小值为( )A8 B9C12 D16解析：选 B.由 4x y xy 得 1，则 x y( x y)4y 1x 142 59，当且仅当 ，即 x3， y6 时取“” ，故选 B.(4y 1x) 4xy yx 4 4xy yx3(一题多解)(2018福州模拟)设函数 f(x) 则满足不等式0， x 0，2x 2 x， x 0， )f(x22) f(x)的 x 的取值范围是( )A(，1)(2，)B(， )( ，)2 2C(， )(2，)2D(，1)( ，)2解析：选 C.法一：因为当 x0
19、时，函数 f(x)单调递增；当 x0 时， f(x)0，故由f(x22) f(x)得， 或 解得 x2 或 x ，所以 x 的取值范围是x 0，x2 2 x) x 0，x2 2 0， ) 2(， )(2，)，故选 C.2法二：取 x2，则 f(222) f(2)，所以 x2 不满足题意，排除 B，D；取x1.1，则 f(1.1) 22) f(0.79)0， f(1.1)0，所以 x1.1 不满足题意，排除 A，故选 C.4(一题多解)若关于 x 的不等式 x22 ax10 在0，)上恒成立，则实数 a 的取值范围为( )A(0，) B1，)C1，1 D0，)解析：选 B.法一：当 x0 时，不
20、等式 10 恒成立，当 x0 时， x22 ax102 ax( x21)2 a ，又 2，当且(x1x) (x 1x)仅当 x1 时，取等号，所以 2a2 a1，所以实数 a 的取值范围为1，)法二：设 f(x) x22 ax1，函数图象的对称轴为直线 x a，当 a0，即 a0 时， f(0)10，所以当 x0，)时， f(x)0 恒成立；当 a0，即 a0 时，要使 f(x)0 在0，)上恒成立，需 f( a) a22 a21 a210，得1 a0.综上，实数 a 的取值范围为1，)，故选 B.5(2018南宁模拟)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子已知：丙的年龄比知
21、识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小根据以上情况，下列判断正确的是( )A甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D甲是农民，乙是知识分子，丙是工人解析：选 C.由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大” ，可知甲是知识分子，故乙是工人所以选 C.6若 maxs1， s2， sn表示实数 s1， s2， sn中的最大者设 A( a1， a2， a3)，B ，记 ABmax a1b1， a2b2， a3b3设 A( x1， x1，1)， B ，若(b1b2b
22、3) (1x 2|x 1|)AB x1，则 x 的取值范围为 ( )A1 ，1 B1，1 3 2C1 ，1 D1，1 2 3解析：选 B.由 A( x1， x1，1)， B ，得 ABmax x1，( x1)( x2)，(1x 2|x 1|)|x1| x1，则 化简，得 由，得x 1 (x 1)(x 2)，x 1 |x 1|. ) x2 2x 1 0 ，x 1 |x 1| .)1 x1 .由，得 x1.所以不等式组的解集为 1 x1 ，则 x 的取值范围2 2 2为1，1 故选 B.27(2018长沙模拟)某班级有一个学生 A 在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步，每 52 秒跑完一圈，在学生
23、 A 开始跑步时，在教室内有一个学生 B，往操场看了一次，以后每 50 秒他都往操场看一次，则该学生 B“感觉”到学生 A 的运动是( )A逆时针方向匀速前跑B顺时针方向匀速前跑C顺时针方向匀速后退D静止不动解析：选 C.令操场的周长为 C，则学生 B 每隔 50 秒看一次，学生 A 都距上一次学生 B观察的位置 (弧长)，并在上一次位置的后面，故学生 B“感觉”到学生 A 的运动是顺时C26针方向匀速后退的，故选 C.8已知变量 x， y 满足约束条件 若目标函数 z ax by(a0， b0)x y 6，x 3y 2，x 1， )的最小值为 2，则 的最小值为 ( )1a 3bA2 B52
24、3 6C8 D215 3解析：选 A.作出约束条件所对应的可行域，如图中阴影部分因为 a0， b0，所以 0.所以目标函数 z ax by 在点abA(1，1)处取得最小值 2，即 2 a1 b1，所以 a b2.所以 (a b)1a 3b 12 (1a 3b) (42 )2 .故选 A.12(4 ba 3ab) 12 3 3(当 且 仅 当 ba 3ab， 即 b 3a时 取 等 号 )9(一题多解)(2018合肥质量检测)设 x， y 满足约束条件 若x 0，x y 2 0，ax y a 0， )z2 x y 的最大值为 ，则 a 的值为( )72A B072C1 D 或 172解析：选
25、C.法一：由 z2 x y 存在最大值，可知 a1，显然 a0 不符合题意作出不等式组 所表示的平面区域，如图 1 或图 2 中阴影部分所示，作直线x 0，x y 2 0，ax y a 0)2x y0，平移该直线，易知，当平移到过直线 x y20 与 ax y a0 的交点时， z取得最大值，由 得 把 代入 2x y 得 a1，故选x y 2 0，ax y a 0， ) x a 2a 1，y aa 1， ) x a 2a 1，y aa 1) 72C.法二：由 z2 x y 存在最大值，可知 a1，显然 a0 不符合题意作出不等式组所表示的平面区域，如图 1 或图 2 中阴影部分所示，作直线
26、2x y0，x 0，x y 2 0，ax y a 0)平移该直线，易知，当平移到过直线 x y20 与 ax y a0 的交点时， z 取得最大值，由 得 把 代入 ax y a0 得 a1，故选 C.72 x y 2 0，2x y 72， ) x 32，y 12， ) x 32，y 12)10某企业生产甲、乙两种产品均需用 A， B 两种原料，已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为 ( )甲 乙 原料限额A/吨 3 2 12B/吨 1 2 8A.15 万元 B16 万元C17 万元
27、 D18 万元解析：选 D.设生产甲产品 x 吨，乙产品 y 吨，获利润 z 万元，由题意可知z3 x4 y，画出可行域如图中阴影部分所示，直线 z3 x4 y 过点 M 时，3x 2y 12，x 2y 8，x 0，y 0， )z3 x4 y 取得最大值，由 得 所以 M(2，3)，故 z3 x4 y 的最大3x 2y 12，x 2y 8， ) x 2，y 3， )值为 18，故选 D.11(2018兰州模拟)中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外” ，其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹古代用算筹(一根根同样长短和粗细的小棍子)来进行运算算筹的摆放有纵式、横式两种(如图所示)当表示一个
28、多位数时，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，以此类推，遇零则置空例如 3 266 用算筹表示就是 ，则 8 771 用算筹应表示为( )解析：选 C.由算筹的定义，得8 7 7 1(千位)横式 (百位)纵式 (十位)横式 (个位)纵式 ，所以 8 771 用算筹应表示为 ，故选 C.12(2018太原模拟)我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式 1 中“”即代表无限次重复，但原式却是个定11 11 值，它可以通过方程 1 x 求得 x .类比上述过程
29、，则 ( )1x 5 12 3 23 2A3 B.13 12C6 D2 2解析：选 A.令 x(x0)，两边平方，得 32 x2，即3 23 2 3 232 x x2，解得 x3， x1(舍去)，故 3，选 A.3 23 2二、填空题13在 R 上定义运算： x*y x(1 y)，若不等式( x a)*(x a)1 对任意的 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是_解析：由于( x a)*(x a)( x a)(1 x a)，则不等式( x a)*(x a)1 对任意的x 恒成立，即 x2 x a2 a10 恒成立，所以 a2 a1 x2 x 恒成立，又 x2 x ，则 a2 a1 ，解得 a
30、.(x12)2 14 14 14 12 32答案： 12， 3214设 z kx y，其中实数 x， y 满足 若 z 的最大值为 12，则实数x y 2 0，x 2y 4 0，2x y 4 0.)k_.解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，由图可知当 0 k 时，直线 y kx z 经过点 M(4，4)时 z 最大，所以124k412，解得 k2(舍去)；当 k 时，直线 y kx z 经过点(0，2)时 z 最大，此12时 z 的最大值为 2，不合题意；当 k0 时，直线 y kx z 经过点 M(4，4)时 z 最大，所以 4k412，解得 k2，符合题意综上可知 k2.答案：215一名
31、法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中” ；乙说：“我没有作案，是丙偷的” ；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷” ；丁说：“乙说的是事实” 经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中有一人是罪犯，由此可判断罪犯是_解析：由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯答案：乙16记 mina， b为 a， b 两数的最小值当正数 x， y 变化时，令 tmin，则 t 的最大值为_2x y，2yx2 2y2解析：因为 x0， y0，所以问题转化为 t2(2 x y) 2yx2 2y2 4xy 2y2x2 2y2 2，当且仅当 x y 时等号成立，所以 0 t ，所以 t 的4x2 y22 2y2x2 2y2 2(x2 2y2)x2 2y2 2最大值为 .2答案： 2