1、第 1 讲 函数的图象与性质年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析卷利用图象研究零点问题T 9图象的识别T 3卷函数性质与求值T 112018卷 图象的识别T 7卷利用函数的单调性、奇偶性求解不等式T 52017卷分段函数与不等式的解法T 152016 卷 函数图象的判断T 71.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第 510题或第 1315 题的位置上，难度一般主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断.2.此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新型问题结合命题，
2、难度较大.函数及其表示(基础型)分段函数问题的 5 种常见类型及解题策略(1)求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算(2)求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小(3)解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围是大前提(4)求参数：“分段处理” ，采用代入法列出各区间上的方程(5)奇偶性：利用奇函数(偶函数)的定义判断考法全练1函数 f(x) 是 R 上的单调递减函数，则实数 a 的取值范围是ax2 x 1， x2，ax 1， x 2 )( )A a2，ax 1， x 2 )数，所以其
3、图象如图所示，则 解得 a1，故a0 )A1，2 B1，0C1，2 D0，2解析：选 D.当 x0 时，因为 f(x)min f(0)，所以 f(x)( x a)2在(，0上单调递减，故 a0.当 x0 时， f(x) x a2 a(当且仅当 x1 时取等号)，因为 f(x)min f(0)，所1x以 2 a f(0) a2，解得1 a2.综上可知，0 a2.故选 D.3已知函数 f(x) 若 f( a) f(a)2 f(1)，则 a 的取值范围是x2 2x， x 0，x2 2x， x0)个 单 位 长 度 y f(x)的图象 y f(x) a(y f(x) a)的图象 向 上 (下 )平 移
4、 a(a0)个 单 位 长 度 (2)伸缩变换y f(x)的图象 y kf(x)的图象； x不 变 ， y变 为 原 来 的 k倍 y f(x)的图象 Error!y f(kx)的图象(3)对称变换y f(x)的图象 y f( x)的图象； 关 于 y轴 对 称 y f(x)的图象 y f(x)的图象； 关 于 x轴 对 称 y f(x)的图象 y f( x)的图象； 关 于 原 点 对 称 y f(x)的图象 y f(2a x)的图象 关 于 直 线 x a对 称 (4)翻折变换y f(x)的图象 y| f(x)|的图象， x轴 下 方 的 部 分 翻 折 到 上 方 y f(x)的图象 y
5、 f(|x|)的图象 y轴 右 侧 的 部 分 翻 折 到 左 侧 典型例题命题角度一 函数图象的识别(1)(2018高考全国卷)函数 f(x) 的图象大致为( )ex e xx2(2)已知定义域为0，1的函数 f(x)的图象如图所示，则函数 f( x1)的图象可能是( )(3)(一题多解)如图，长方形 ABCD 的边 AB2， BC1， O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC， CD 与 DA 运动，记 BOP x.将动点 P 到 A， B 两点距离之和表示为关于 x 的函数 f(x)，则 f(x)的图象大致为( )【解析】 (1)当 x2，故排除 C，选 B.1e(2)因为 f( x1
6、) f( x1)，先将 f(x)的图象沿 y 轴翻折， y 轴左侧的图象即为 f( x)的图象，再将所得图象向右平移 1 个单位长度就得到函数 f( x1)的图象，故选 B.(3)法一：当点 P 位于边 BC 上时， BOP x，0 x ，则 tan x，所以 BPtan 4 BPOBx，所以 AP ，4 tan2x所以 f(x)tan x ，4 tan2x(0 x 4)可见 y f(x)图象的变化不可能是一条直线或线段，排除 A，C.当点 P 位于边 CD 上时， BOP x， x ， 4 34则 BP AP BC2 CP2 AD2 DP2 .1 (1 1tan x)2 1 (1 1tan
7、x)2 当点 P 位于边 AD 上时， BOP x， x，34则 tan( x)tan x，APOA所以 APtan x，所以 BP ，4 tan2x所以 f(x)tan x ，根据函数的解析式可排除 D，故4 tan2x(34 x )选 B.法二：当点 P 位于点 C 时， x ，此时 AP BP AC BC1 ，当点 P 位于 CD 的 4 5中点时， x ，此时 AP BP2 |x a|至少有一个负数解，则实数 a 的取值范围是_【解析】 在同一坐标系中画出函数 f(x)2 x2， g(x)| x a|的图象，如图所示，若 a0，则其临界情况为折线 g(x)| x a|与抛物线 f(x)
8、2 x2相切由 2 x2 x a可得 x2 x a20，由 14( a2)0，解得 a ；若 a0，则其临界情况为94两函数图象的交点为(0，2)，此时 a2.结合图象可知，实数 a 的取值范围是 .(94， 2)【答案】 (94， 2)对于一些函数与方程、不等式等问题，可通过转化为相应函数，再借助函数图象的特点和变化规律求解有关问题，这样非常直观简洁，也是数形结合思想的充分体现 对点训练1(2018湖南湘东五校联考)函数 f(x) cos x 的图象的大致形状是( )(21 ex 1)解析：选 B.因为 f(x) cos x，所以 f( x) cos( x)(21 ex 1) ( 21 e
9、x 1)cos x f(x)，所以函数 f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项(21 ex 1)A，C，又当 x 时，e xe01， 10，所以 f(x)0)的取值范围是( )A(，1 B(0，)C(1，0) D(，0)解析：选 D.当 x0 时，函数 f(x)2 x是减函数，则 f(x) f(0)1.作出 f(x)的大致图象如图所示，结合图象可知，要使 f(x1)1 时，如图，要使 x(1，2)时 y( x1) 2的图象在ylog ax 的图象的下方，只需(21) 2log a2，即 loga21，解得 1x1f(x2)，记 a f(2)， b f(1)， c f(3)，则 a，
10、b， c 之间的大小关系为( )12 13A abc B bacC cba D acb(2)已知函数 f(x)( a2) ax(a0 且 a1)，若对任意 x1， x2R， x1 x2，都有0，则 a 的取值范围是_f(x1) f(x2)x1 x2【解析】 (1)因为对任意两个正数 x1， x2(x1x1f(x2)，所以 f(x1)x1，得函数 g(x) 在(0，)上是减函数，又 c f(3) f(3)，所以 g(1)f(x2)x2 f(x)x 13 13g(2)g(3)，即 bac，故选 B.(2)当 02 时，a20， y ax单调递增，所以 f(x)单调递增又由题意知 f(x)单调递增，
11、故 a 的取值范围是(0，1)(2，)【答案】 (1)B (2)(0，1)(2，)(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决(2)对于 x1， x2 a， b， x1 x2，若( x1 x2)f(x1) f(x2)0 或 0，f(x1) f(x2)x1 x2则 f(x)在闭区间 a， b上是增函数(3)若函数 f(x)在定义域(或某一区间)上是增函数，则 f(x1)0 的解集是( )A(2，0)(0，2)B(，2)(2，)C(，2)(0，2)D(2，0)(2，)解析：选 C.由 0，得 x0 恒成立；f(x1) f(x2)x1 x2 f(x4) f(x)
12、； y f(x4)是偶函数若 a f(6)， b f(11)， c f(2 017)，则 a， b， c 的大小关系正确的是( )A a1，所(12)x (12)x (e2)x e2以 exf(x)在 R 上单调递增，所以 f(x)2 x具有 M 性质对于选项 B， f(x) x2，e xf(x)e xx2，e xf(x)e x(x22 x)，令 ex(x22 x)0，得 x0 或 x0， b0，所以 2，当且仅当 b2 a 时取等号，所以 2 ，所以b2a 2ab 12a 2b 52 92 的上确界为 ，故选 A.12a 2b 92一、选择题1已知函数 f(x) 则满足 f(a)2 的实数
13、a 的取值范围是( )2 2x， x 1，2x 2， x 1， )A(，2)(0，)B(1，0)C(2，0)D(，10，)解析：选 D.因为函数 f(x) 且 f(a)2，所以 或2 2x， x 1，2x 2， x 1， ) a 1，2 2a 2)，解得 a1 或 a0.a 12a 2 2)2下列函数中，既是偶函数又在区间(0，)上单调递增的是( )A y B y| x|11xC ylg x D y (12)|x| 解析：选 B.A 中函数 y 不是偶函数且在(0，)上单调递减，故 A 错误；B 中函数1x满足题意，故 B 正确；C 中函数不是偶函数，故 C 错误；D 中函数不满足在(0，)上
14、单调递增，故选 B.3已知函数 f(x) 的图象关于原点对称， g(x)ln(e x1) bx 是偶函数，24x a2x则 logab( )A1 B1C D.12 14解析：选 B.由题意得 f(0)0，所以 a2.因为 g(1) g(1)，所以 ln(e1) bln b，(1e 1)所以 b ，所以 logablog 2 1.12 14(2018高考全国卷)函数 y x4 x22 的图象大致为( )解析：选 D.当 x0 时， y2，排除 A，B.由 y4 x32 x0，得 x0 或x ，结合三次函数的图象特征，知原22函数在(1，1)上有三个极值点，所以排除 C，故选 D.5.若函数 f(
15、x) 的图象如图所示，则 f(3)ax b， x0 时， f(x)单调递增，且 f(1)0，若 f(x1)0，则 x 的取值范围为( )A x|02 B x|x2C x|x3 D x|x1解析：选 A.由于函数 f(x)是奇函数，且当 x0 时 f(x)单调递增， f(1)0，故由f(x1)0，得11，所以 02，故选 A.8(2018高考全国卷)下列函数中，其图象与函数 yln x 的图象关于直线 x1对称的是( )A yln(1 x) B yln(2 x)C yln(1 x) D yln(2 x)解析：选 B.法一：设所求函数图象上任一点的坐标为( x， y)，则其关于直线 x1 的对称点
16、的坐标为(2 x， y)，由对称性知点(2 x， y)在函数 f(x)ln x 的图象上，所以yln(2 x)故选 B.法二：由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数 yln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除 A，C，D，选 B.9.如图，动点 P 在正方体 ABCDA1B1C1D1的体对角线 BD1上过点 P作垂直于平面 BB1D1D 的直线，与正方体的表面相交于 M， N 两点设BP x， MN y，则函数 y f(x)的图象大致是( )解析：选 B.设正方体的棱长为 1，显然，当 P 移动到体对角线 BD1的中点 E 时，函数y MN AC 取得唯一
17、的最大值，所以排除 A、C；当 P 在 BE 上时，分别过 M， N， P 作底2面的垂线，垂足分别为 M1， N1， P1，则 y MN M1N12 BP12 xcos D1BD x，是一次函263数，所以排除 D.故选 B.10(2018太原模拟)已知函数 f(x)是偶函数， f(x1)是奇函数，且对于任意x1， x20，1，且 x1 x2，都有( x1 x2)f(x1) f(x2)bc B bacC bca D cab解析：选 B.因为函数 f(x)是偶函数， f(x1)是奇函数，所以 f( x) f(x)，f( x1) f(x1)，所以 f(x1) f(x1)，所以 f(x) f(x2
18、)，所以 f(x) f(x4)，所以 a f f f ， b f f ， c f f ，又对于任(8211) ( 611) (611) (509) (49) (247) (47)意 x1， x20，1，且 x1 x2，都有( x1 x2)f(x1) f(x2)ac，故选 B.496114711(2018唐山模拟)已知奇函数 f(x)，偶函数 g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，若函数 f(g(x)， g(f(x)的零点个数分别为 m， n，则 m n( )A3 B7C10 D14解析：选 C.由题中函数图象知 f(1)0， f(0)0， g 0， g(0)0， g(2)(32)1， g(
19、1)1，所以 f(g(2) f(1)0， f(g(1) f(1)0， f f(0)(g(32)0， f(g(0) f(0)0，所以 f(g(x)有 7 个零点，即 m7.又 g(f(0) g(0)0， g(f(1) g(0)0，所以 g(f(x)有 3 个零点，即 n3.所以 m n10，选择 C.12已知函数 f(x)2 x1， g(x)1 x2，规定：当| f(x)| g(x)时， h(x)| f(x)|；当 h(x)0)的图象，由题意可得 g(x)的图象和 y kx3( x0)的图象有两个交点设 y kx3( x0)的图象与曲线 y g(x)相切的切点为( m，ln(2 m)，由 g( x) ，得 k .又 ln(2m)1x 1m km3，解得 m ，则 k2e 2.由图象可得 0k2e2时， g(x)的图象和 y kx3( x0)12e2的图象有两个交点答案：(0，2e 2)