1、第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析卷直线与抛物线的位置关系T 8 双曲线的几何性质T 11卷双曲线的几何性质T 5 椭圆的几何性质T 122018卷双曲线的几何性质T 11 直线与抛物线的位置关系T 16直线与抛物线的位置关系、弦长公式、基本不等式的应用T 10卷双曲线的几何性质T 15卷 双曲线的几何性质T 92017卷 双曲线的渐近线及标准方程T 5双曲线的几何性质与标准方程T 5卷抛物线与圆的综合问题T 10卷 双曲线的定义、离心率问题T 112016卷直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率T 111.圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容以选择
2、、填空题的形式考查，常出现在第411 题或 1516题的位置，着重考查圆锥曲线的标准方程与几何性质，难度中等2圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第 20 题的位置，一般难度较大.圆锥曲线的定义与标准方程(综合型)圆锥曲线的定义、标准方程名称 椭圆 双曲线 抛物线定义|PF1| PF2|2 a(2a|F1F2|)|PF1| PF2|2 a(2ab0) 1x2a2 y2b2(a0， b0)y22 px(p0)典型例题(1)椭圆 1 的左焦点为 F，直线 x m 与椭圆相交于点 M， N，当 FMN 的x25 y24周长最大时， FMN 的面积是( )A. B.55 655C
3、. D.855 455(2)设 F1， F2分别是双曲线 C： 1( a0， b0)的左、右焦点， P 是 C 上一点，x2a2 y2b2若| PF1| PF2|6 a，且 PF1F2最小内角的大小为 30，则双曲线 C 的渐近线方程是( )A. xy0 B x y02 2C x2y0 D2 xy0【解析】 (1)如图，设椭圆的右焦点为 F，连接MF， NF.因为| MF| NF| MF| NF| MF| NF| MN|，所以当直线 x m 过椭圆的右焦点时， FMN 的周长最大此时| MN| ，又 c 1，所以此时2b2a 855 a2 b2 5 4 FMN 的面积 S 2 .故选 C.12
4、 855 855(2)不妨设 P 为双曲线 C 右支上一点，由双曲线的定义，可得| PF1| PF2|2 a.又| PF1| PF2|6 a，解得| PF1|4 a，| PF2|2 a，又| F1F2|2 c，则| PF2|2 a 最小，所以 PF1F230.在 PF1F2中，由余弦定理，可得 cos 30 |PF1|2 |F1F2|2 |PF2|22|PF1|F1F2| ，整理得 c23 a22 ac，解得 c a，所以 b a.16a2 4c2 4a224a2c 32 3 3 c2 a2 2所以双曲线 C 的渐近线方程为 y x.故选 A.2【答案】 (1)C (2)A(1)椭圆的焦点三角
5、形的几个性质已知椭圆方程为 1( ab0)，左、右焦点分别为 F1， F2，设焦点三角形 PF1F2x2a2 y2b2中 F1PF2 ，则 S F1PF2 b2tan . 2已知椭圆方程为 1( ab0)，左、右焦点分别为 F1， F2，设焦点三角形x2a2 y2b2PF1F2，若 F1PF2最大，则点 P 为椭圆短轴的端点过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于长轴的弦)最短，通径长为 .2b2a(2)双曲线的焦点三角形的几个性质若双曲线方程为 1( a0， b0)， F1， F2分别为它的左、右焦点， P 为双曲线上x2a2 y2b2任意一点(除实轴顶点外)，则双曲线的焦点三角形有如下性质：设 F
6、1PF2 ，则 S F1PF2 .特别地，当 F1PF290时，有 S F1PF2 b2.b2tan 2双曲线的焦点三角形的内切圆与 F1F2相切于实轴顶点当点 P 在双曲线左支上时，切点为左顶点，当点 P 在双曲线右支上时，切点为右顶点 对点训练1(2018辽宁五校联合体模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线C： 1( a0， b0)的离心率为 ，从双曲线 C 的右焦点 F 引渐近线的垂线，垂足为x2a2 y2b2 5A，若 AFO 的面积为 1，则双曲线 C 的方程为( )A. 1 B. y21x22 y28 x24C. 1 D x2 1x24 y216 y24解析：选 D.因为双
7、曲线 C 的右焦点 F 到渐近线的距离| FA| b，| OA| a，所以ab2，又双曲线 C 的离心率为 ，所以 ，即 b24 a2，解得 a21， b24，所51 b2a2 5以双曲线 C 的方程为 x2 1，故选 D.y242(2018福州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C： y22 px(p0)的焦点为F，准线为 l.过 F 的直线交 C 于 A， B 两点，交 l 于点 E，直线 AO 交 l 于点 D.若|BE|2| BF|，且| AF|3，则| BD|( )A1 B3C3 或 9 D1 或 9解析：选 D.分别过点 A， B 作 AA1， BB1垂直于 l，且垂足分别
8、为 A1， B1，依题意，易证 BD x 轴，所以 D 与 B1重合由已知条件| BE|2| BF|得，| BE|2| BB1|，所以 BEB130.又| AA1| AF|3，如图 1， ，|BD|AA1| |BE|AE|所以 ，|BD|3 2|BD|3|BD| 3解得| BD|1，如图 2， ，|BD|AA1| |BE|AE|所以 ，|BD|3 2|BD|BD| 3解得| BD|9.综上，| BD|为 1 或 9，故选 D.圆锥曲线的几何性质(综合型)椭圆、双曲线中， a， b， c 及 e 之间的关系(1)在椭圆中： a2 b2 c2，离心率为 e .ca 1 (ba)2 (2)在双曲线中
9、： c2 a2 b2，离心率为 e .ca 1 (ba)2 双曲线 1( a0， b0)的渐近线方程为 y x.注意离心率 e 与渐近线的斜x2a2 y2b2 ba率的关系典型例题(1)(2018石家庄质量检测(二)倾斜角为 的直线经过椭圆 1( ab0) 4 x2a2 y2b2的右焦点 F，与椭圆交于 A、 B 两点，且 2 ，则该椭圆的离心率为( )AF FB A. B.32 23C. D.22 33(2)(2018高考全国卷)已知双曲线 C： y21， O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，x23过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M， N.若 OMN 为直角三角形，则|
10、MN|( )A. B332C2 D43【解析】 (1)由题可知，直线的方程为 y x c，与椭圆方程联立得 ，所x2a2 y2b2 1y x c)以( b2 a2)y22 b2cy b40，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则 0.设A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 ，又 2 ，所以( c x1， y1)y1 y2 2b2ca2 b2y1y2 b4a2 b2) AF FB 2( x2 c， y2)，所以 y12 y2，可得 ，所以 ，所以 e ，故选 B.12 4c2a2 b2 23(2)因为双曲线 y21 的渐近线方程为 y x，所以 MON60.不妨设过点 Fx23 3
11、3的直线与直线 y x 交于点 M，由 OMN 为直角三角形，不妨设 OMN90，则33 MFO60，又直线 MN 过点 F(2，0)，所以直线 MN 的方程为 y (x2)，3由 得y 3（ x 2） ，y 33x， ) x 32，y 32， )所以 M ，所以 |OM| ，所以| MN| |OM|3，故选 B.(32， 32) (32)2 (32)2 3 3【答案】 (1)B (2)B(1)椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定 a， b， c 的等量关系或不等关系，然后把 b 用 a， c 代换，求 的值ca(2)双曲线的渐近线的
12、求法及用法求法：把双曲线标准方程等号右边的 1 改为零，分解因式可得用法：(i)可得 或 的值ba ab(ii)利用渐近线方程设所求双曲线的方程 对点训练1(2018福州四校联考)过双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点分别作双曲线x2a2 y2b2的两条渐近线的平行线，若这 4 条直线所围成的四边形的周长为 8b，则该双曲线的渐近线方程为( )A y x B y x2C y x D y2 x3解析：选 A.由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为 8b，所以菱形的边长为 2b，由勾股定理得 4 条直线与 y 轴的交点到 x 轴的距离为 ，又 4 条直线分别与两条渐近线平行，所
13、以 ，解得4b2 c2 3b2 a2ba 3b2 a2a2 b2a b，所以该双曲线的渐近线的斜率为1，所以该双曲线的渐近线方程为 y x，故选 A.2(2018广州综合测试(一)如图，在梯形 ABCD 中，已知| AB|2| CD|， ，AE 25AC 双曲线过 C， D， E 三点，且以 A， B 为焦点，则双曲线的离心率为( )A. B27 2C3 D. 10解析：选 A.取 AB 的中点 O 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向，建立直角坐标系(图AB 略)，设双曲线的方程为 1( a0， b0)，| AB|2| CD|2 c， E(xE， yE)，则x2a2 y2b2A( c，0)，
14、 B(c，0)， C ， D ，由 1，得 yC ，故 C(c2， yC) ( c2， yC) c24a2 b2a b2 3a2.因为 ( xE c， yE)，(c2， b2a b2 3a2) AE ， ，25AC 25(3c2， b2a b2 3a2) (3c5， b5a b2 3a2) AE 25AC 所以xE 25c，yE b5a b2 3a2.)又 E 在双曲线上，故 1，化简整理得 4c2 b23 a225 a2，即4c225a2b225a2（ b2 3a2）b2c27 a2，故 .选 A.ca 73(2018高考全国卷)已知 F1， F2是椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点，
15、Ax2a2 y2b2是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 的直线上， PF1F2为等腰三角形， F1F2P120，36则 C 的离心率为( )A. B.23 12C. D.13 14解析：选 D.由题意可得椭圆的焦点在 x 轴上，如图所示，设|F1F2|2 c，因为 PF1F2为等腰三角形，且 F1F2P120，所以|PF2| F1F2|2 c，所以| OF2| c，所以点 P 坐标为( c2 ccos 60，2 csin 60)，即点 P(2c， c)因为点 P 在过点 A，且斜率3为 的直线上，所以 ，解得 ，所以 e ，故选 D.36 3c2c a 36 ca 14 14直线与圆
16、锥曲线的位置关系(综合型)求解直线与圆锥曲线位置关系问题的注意事项(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为 0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程组并消元转化为一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为 0，若为 0，则方程为一次方程；若不为 0，则将方程解的个数转化为判别式与 0 的大小关系求解典型例题命题角度一 位置关系的判断及应用已知抛物线 C1： y22 px(p0)的焦点为椭圆 C2： 1( ab0)的右焦点，x2a2 y2b2且两曲线有公共点 .(2
17、3， 263)(1)求抛物线 C1与椭圆 C2的方程；(2)若椭圆 C2的一条切线 l 与抛物线 C1交于 A， B 两点， O 为坐标原点，且 OA OB，求直线 l 的方程【解】 (1)将 代入抛物线方程，得 2p，解得 2p4，则抛物线 C1(23， 263) (263)2 23的方程为 y24 x，则焦点为 F(1，0)，即 c1，所以 a2 b21.将 代入 1 ，得 1，解得 b23(增根舍去)，则(23， 263) x2b2 1 y2b2 49（ b2 1） 83b2a24，所以椭圆 C2的方程为 1.x24 y23(2)当直线 l 的斜率不存在时，不符合题意，所以直线 l 的斜
18、率存在设直线 AB 的方程为 y kx b，显然 k0， b0， A(x1， y1)， B(x2， y2)由 整理得 k2x2 (2kb4) x b20，y kx b，y2 4x )所以 x1 x2 ， x1x2 ，2kb 4k2 b2k2所以 y1y2( kx1 b)(kx2 b) k2x1x2 kb(x1 x2) b2 ， 4bk由 OA OB，得 0，即 x1x2 y1y20，即 0，整理得 b4 k0.OA OB b2k2 4bk由 整理得(34 k2)x28 kbx4 b2120，y kx b，x24 y23 1) (8 kb)24(34 k2)(4b212)0，即 b234 k2.
19、由解得 k ，12则 或k 12，b 2 ) k 12，b 2， )所以直线 l 的方程为 x2 y40 或 x2 y40.直线与圆锥曲线相切，如果直线不与抛物线的对称轴平行、不与双曲线的渐近线平行，那么当直线与圆锥曲线只有一个公共点时，只要把直线方程、圆锥曲线方程联立消元得到关于一个变量的一元二次方程，使其判别式等于零即可 命题角度二 弦长问题(2018唐山模拟)在直角坐标系 xOy 中，长为 1 的线段的两端点 C， D 分别2在 x 轴、 y 轴上滑动， .记点 P 的轨迹为曲线 E.CP 2PD (1)求曲线 E 的方程；(2)经过点(0，1)作直线与曲线 E 相交于 A， B 两点，
20、 ，当点 M 在曲线 E 上OM OA OB 时，求四边形 AOBM 的面积【解】 (1)设 C(m，0)， D(0， n)， P(x， y)由 ，得( x m， y) ( x， n y)CP 2PD 2所以 x m 2x，y 2（ n y） ， )得 m （ 2 1） x，n 2 12y， )由| | 1，得 m2 n2( 1) 2，CD 2 2所以( 1) 2x2 y2( 1) 2，2（ 2 1） 22 2整理，得曲线 E 的方程为 x2 1.y22(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由 ，OM OA OB 知点 M 坐标为( x1 x2， y1 y2)由题意知，直线 AB
21、 的斜率存在设直线 AB 的方程为 y kx1，代入曲线 E 的方程，得(k22) x22 kx10，则 x1 x2 ， x1x2 .2kk2 2 1k2 2y1 y2 k(x1 x2)2 .4k2 2由点 M 在曲线 E 上，知( x1 x2)2 1，（ y1 y2） 22即 1，解得 k22.4k2（ k2 2） 2 8（ k2 2） 2这时| AB| |x1 x2| ，1 k2 3（ x1 x2） 2 4x1x2322原点到直线 AB 的距离 d ，11 k2 33所以平行四边形 OAMB 的面积 S| AB|d .62有关圆锥曲线弦长问题的求解方法(1)涉及弦长的问题，应熟练地利用根与
22、系数的关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解(2)弦长计算公式：直线 AB 与圆锥曲线有两个交点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则弦长|AB| ，其中 k 为弦 AB 所在直线的斜率 1 k2 （ x1 x2） 2 4x1x2命题角度三 定比、分点问题(1)(2018南宁模拟)已知椭圆 1( a b0)的一条弦所在的直线方程是x2a2 y2b2x y50，弦的中点坐标是 M(4，1)，则椭圆的离心率是( )A. B.12 22C. D.32 55(2)(2018长春质量检测(一)已知椭圆 C 的两个焦点为 F1(1，0)， F2(1，0)，且经过点
23、 E .(3，32)求椭圆 C 的方程；过点 F1的直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点(点 A 位于 x 轴上方)，若 ，且AF1 F1B 2 3，求直线 l 的斜率 k 的取值范围【解】 (1)选 C.设直线 x y50 与椭圆 1 相交于 A(x1， y1)， B(x2， y2)x2a2 y2b2两点，因为 AB 的中点 M(4，1)，所以 x1 x28， y1 y22.易知直线 AB 的斜率 k1.由 两式相减得， 0，所以y2 y1x2 x1 （ x1 x2） （ x1 x2）a2 （ y1 y2） （ y1 y2）b2 ，所以 ，于是椭圆的离心率 e ，故选 C.y1 y2x
24、1 x2 b2a2 x1 x2y1 y2 b2a2 14 ca 1 b2a2 32(2)由 解得2a |EF1| |EF2| 4，a2 b2 c2，c 1， ) a 2，c 1，b 3， )所以椭圆 C 的方程为 1.x24 y23由题意得直线 l 的方程为 y k(x1)( k0)，联立方程，得 整理得 y2 y90， 1440，y k（ x 1） ，x24 y23 1， ) (3k2 4) 6k 144k2设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y2 ， y1y2 ，6k3 4k2 9k23 4k2又 ，所以 y1 y 2，所以 y1y2 (y1 y2)2，AF1 F1B
25、（ 1 ） 2则 ， 2 ，（ 1 ） 2 43 4k2 1 43 4k2因为 2 3，所以 2 ，12 1 43即 ，且 k0，解得 0 k .12 43 4k2 43 52故直线 l 的斜率 k 的取值范围是 .(0，52(1)对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解在使用“根与系数的关系”时，要注意使用条件 0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交(2)圆锥曲线以 P(x0， y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率分别是： k (椭圆b2x0a2y0 1)， k (双曲线 1)， k (抛物线 y22 px)，其中x2a2 y2b2 b2x0a2y0 x2a2
26、y2b2 py0k (x1 x2)，( x1， y1)，( x2， y2)为弦端点的坐标 y2 y1x2 x1对点训练1已知 F 是抛物线 x24 y 的焦点，直线 y kx1 与该抛物线交于第一象限内的点A， B，若| AF|3| FB|，则 k 的值是( )A. B.332C. D.33 233解析：选 D.显然 k0.抛物线的准线 l： y1，设其与 y 轴交于点 F，则直线y kx1 过点 F.分别过点 A， B 作 l 的垂线，垂足分别为 A， B，根据抛物线定义，得| AF| AA|，| BF| BB|，根据已知，得 3.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，|AF|BF|
27、 |AA |BB |则 3，即 x13 x2.联立抛物线方程与已知直线方程，消元得|F A |F B | x1x2 |AA |BB |x24 kx40，则 x1 x24 k，由得 x13 k， x2 k，又 x1x24，所以 3kk4，即 k2 ，解得 k (负值舍去)43 2332(2018惠州第二次调研)已知 C 为圆( x1) 2 y28 的圆心， P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径 CP 上，且有点 A(1，0)和 AP 上的点 M，满足 0， 2 .MQ AP AP AM (1)当点 P 在圆上运动时，求点 Q 的轨迹方程；(2)若斜率为 k 的直线 l 与圆 x2 y21 相切，与
28、(1)中所求点 Q 的轨迹交于不同的两点 F， H， O 是坐标原点，且 时，求 k 的取值范围34 OF OH 45解：(1)由题意知 MQ 是线段 AP 的垂直平分线，所以| CP| QC| QP| QC| QA|2 | CA|2，2所以点 Q 的轨迹是以点 C， A 为焦点，焦距为 2，长轴长为 2 的椭圆，2所以 a ， c1， b 1，2 a2 c2故点 Q 的轨迹方程是 y21.x22(2)设直线 l： y kx t， F(x1， y1)， H(x2， y2)，直线 l 与圆 x2 y21 相切 1 t2 k21.|t|k2 1联立 得(12 k2)x24 ktx2 t220，x2
29、2 y2 1，y kx t ) 16 k2t24(12 k2)(2t22)8(2 k2 t21)8 k20 k0，x1 x2 ， x1x2 ， 4kt1 2k2 2t2 21 2k2所以 OF OH x1x2 y1y2(1 k2)x1x2 kt(x1 x2) t2 kt t2（ 1 k2） （ 2t2 2）1 2k2 4kt1 2k2 k21（ 1 k2） 2k21 2k2 4k2（ k2 1）1 2k2 ，1 k21 2k2所以 k2 | k| ，34 1 k21 2k2 45 13 12 33 22所以 k 或 k .22 33 33 22故 k 的取值范围是 .22， 33 33， 22
30、一、选择题1已知方程 1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的x2m2 n y23m2 n取值范围是( )A(1，3) B(1， )3C(0，3) D(0， )3解析：选 A.由题意得( m2 n)(3m2 n)0，解得 m2 n3 m2，又由该双曲线两焦点间的距离为 4，得 m2 n3 m2 n4，即 m21，所以1 n3.2(2018潍坊模拟)已知双曲线 1( a0， b0)的焦点到渐近线的距离为 ，x2a2 y2b2 3且离心率为 2，则该双曲线的实轴的长为( )A1 B. 3C2 D2 3解析：选 C.由题意知双曲线的焦点( c，0)到渐近线 bx ay0 的距离为
31、bbca2 b2，即 c2 a23，又 e 2，所以 a1，该双曲线的实轴的长为 2a2.3ca3(2018石家庄质量检测(一)双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1， F2，过 F1作倾斜角为 60的直线与 y 轴和双曲线的右支分别交于 A， B 两点，若点 A平分线段 F1B，则该双曲线的离心率是( )A. B23 3C2 D. 12解析：选 B.由题意可知 A 是 F1B 的中点， O 是 F1F2的中点( O 为坐标原点)，连接 BF2，则 OA 是 F1BF2的中位线，故 OA BF2，故 F1F2 BF2，又 BF1F260，| F1F2|2 c，所以
32、|BF1|4 c，| BF2|2 c，所以 2a4 c2 c，所以 e 2 ，故选 B.3 3ca 34(2018武汉模拟)抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F，过焦点 F 且倾斜角为 的直 3线与抛物线相交于 A， B 两点，若| AB|8，则抛物线的方程为( )A y23 x B y24 xC y26 x D y28 x解析：选 C.因为抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F ，所以过点 F 且倾斜角为 的(p2， 0) 3直线方程为 y (x )，联立直线与抛物线的方程，得3p23x25 px p20，设 A(xA， yA)， B(xB， yB)，则 所以y 3（ x p2） ，y
33、2 2px ) 34 xA xB 53p，xAxB 14p2， )|AB| |xA xB| p8（ xA xB） 2 （ yA yB） 2 1 k2 1 3 (53p)2 414p2 83p3，所以抛物线的方程为 y26 x，故选 C.5(2018高考全国卷)设抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，过点(2，0)且斜率为的直线与 C 交于 M， N 两点，则 ( )23 FM FN A5 B6C7 D8解析：选 D.法一：过点(2，0)且斜率为 的直线的方程为 y (x2)，由23 23得 x25 x 40，解得 x1 或 x4，所以 或 不妨设y 23（ x 2） ，y2 4x， ) x
34、1，y 2) x 4，y 4， )M(1，2)， N(4，4)，易知 F(1，0)，所以 (0，2)， (3，4)，所以 8.故选 D.FM FN FM FN 法二：过点(2，0)且斜率为 的直线的方程为 y (x2)，由 得23 23 y 23（ x 2） ，y2 4x， )x25 x40，设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则 y10， y20，根据根与系数的关系，得x1 x25， x1x24.易知 F(1，0)，所以 ( x11， y1)， ( x21， y2)，所FM FN 以 ( x11)( x21) y1y2 x1x2( x1 x2)14 45188.故选 D.FM FN
35、 x1x26(2018贵阳模拟)过双曲线 1( a0， b0)的右焦点 F 作圆 x2 y2 a2的x2a2 y2b2切线 FM，切点为 M，交 y 轴于点 P，若 ，且双曲线的离心率 e ，则 ( )PM MF 62A1 B2C3 D4解析：选 B.如图，| OF| c，| OM| a， OM PF，所以| MF| b，根据射影定理得|PF| ，所以| PM| b，所以 .c2b c2b |PM |MF |c2b bb c2 b2b2 a2b2因为 e2 1 ，所以 .所以 2.故选 B.c2a2 a2 b2a2 b2a2 (62)2 32 b2a2 12二、填空题7(2018合肥第一次质量
36、检测)抛物线 E： y24 x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴交于点A，过抛物线 E 上一点 P(在第一象限内)作 l 的垂线 PQ，垂足为 Q.若四边形 AFPQ 的周长为16，则点 P 的坐标为_解析：设 P(x， y)，其中 x0， y0，由抛物线的定义知| PF| PQ| x1.根据题意知| AF|2，| QA| y，则 或 (舍去)所以点 P 的坐标为(4，4)2（ x 1） 2 y 16，y2 4x ) x 4，y 4) x 9，y 6)答案：(4，4)8(2018贵阳模拟)椭圆 C： 1( a b0)的左顶点为 A，右焦点为 F，过点x2a2 y2b2F 且垂直于 x 轴的直
37、线交 C 于 P， Q 两点，若 cos PAQ ，则椭圆 C 的离心率 e 为35_解析：根据题意可取 P ， Q ，所以(c，b2a) (c， b2a)tan PAF 1 e，cos PAQcos b2aa c b2a2 ac a2 c2a2 ac a ca2 PAFcos 2 PAFsin 2 PAF cos2 PAF sin2 PAFcos2 PAF sin2 PAF 1 tan2 PAF1 tan2 PAF 1 （ 1 e） 21 （ 1 e） 2 ，故 55(1 e)233(1 e)28(1 e)22(1 e)2 .又椭圆的离心率 e 的取值35 14范围为(0，1)，所以 1 e
38、 ， e .12 12答案：129已知双曲线 C： 1( a0， b0)的左、右焦点分别为 F1(1，0)， F2(1，0)，x2a2 y2b2P 是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为2，4，则 的最小值的取PF1 PF2 值范围是_解析：设 P(m， n)，则 1，m2a2 n2b2即 m2 a2 .(1n2b2)又 F1(1，0)， F2(1，0)，则 (1 m， n)，PF1 (1 m， n)，PF2 n2 m21PF1 PF2 n2 a2 1(1n2b2) n2 a21 a21，(1a2b2)当且仅当 n0 时取等号，所以 的最小值为 a21.PF1 PF2 由 2 4，得
39、a ，1a 14 12故 a21 ，1516 34即 的最小值的取值范围是 .PF1 PF2 1516， 34答案： 1516， 34三、解答题10(2018南昌调研)已知椭圆 C： 1( a b0)的离心率为 ，短轴长为 2.x2a2 y2b2 32(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设直线 l： y kx m 与椭圆 C 交于 M， N 两点， O 为坐标原点，若 kOMkON ，求54原点 O 到直线 l 的距离的取值范围解：(1)由题知 e ，2 b2，又 a2 b2 c2，所以 b1， a2，ca 32所以椭圆 C 的标准方程为 y21.x24(2)设 M(x1， y1)， N(x2
40、， y2)，联立 得(4 k2 1)x28 kmx4 m240，y kx m，x24 y2 1， )依题意， (8 km)24(4 k21)(4 m24)0，化简得 m24 k21，x1 x2 ， x1x2 ，8km4k2 1 4m2 44k2 1y1y2( kx1 m)(kx2 m) k2x1x2 km(x1 x2) m2，若 kOMkON ，则 ，即 4y1y25 x1x2，54 y1y2x1x2 54所以 4k2x1x24 km(x1 x2)4 m25 x1x2，所以(4 k25) 4 km(4（ m2 1）4k2 1)4 m20，8km4k2 1即(4 k25)( m21)8 k2m2
41、 m2(4k21)0，化简得 m2 k2 ，54由得 0 m2 ， k2 ，65 120 54因为原点 O 到直线 l 的距离 d ，|m|1 k2所以 d2 1 ，m21 k2 54 k21 k2 94（ 1 k2）又 k2 ，120 54所以 0 d2 ，所以原点 O 到直线 l 的距离的取值范围是 .87 0， 2147 )11(2018贵阳模拟)已知椭圆 C： 1( a b0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1， F2，点 M 为短轴的上端点， 0，过 F2垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A， B 两MF1 MF2 点，且| AB| .2(1)求椭圆 C 的方程；(2)设经过
42、点(2，1)且不经过点 M 的直线 l 与 C 相交于 G， H 两点若 k1， k2分别为直线 MH， MG 的斜率，求 k1 k2的值解：(1)由 0，得 b c.MF1 MF2 因为过 F2垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A， B 两点，且| AB| ，2所以 ，b2a 22 .b cb2a 22a2 b2 c2) a2 2b2 1)故椭圆 C 的方程为 y21.x22(2)设直线 l 的方程为 y1 k(x2)，即 y kx2 k1，将 y kx2 k1 代入 y21 得(12 k2)x24 k(2k1) x8 k28 k0，x22由题设可知 16 k(k2)0，设 G(x1， y
43、1)， H(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 ，4k（ 2k 1）1 2k2 8k2 8k1 2k2k1 k2 2 ky1 1x1 y2 1x2 kx1 2k 2x1 kx2 2k 2x2（ 2k 2） 4k（ 2k 1）1 2k28k2 8k1 2k22 k(2 k1)1，所以 k1 k21.12(2018石家庄质量检测(二)已知圆 C：( x a)2( y b)2 的圆心 C 在抛物线94x22 py(p0)上，圆 C 过原点且与抛物线的准线相切(1)求该抛物线的方程；(2)过抛物线焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A， B 两点，分别在点 A， B 处作抛物线的两条切线交于 P 点，求三角形 PAB 面积的最小值及此时直线 l 的方程解：(1)由已知可得圆心 C(a， b)，半径 r ，32焦点 F ，准线 y .(0，p2) p2因为圆 C 与抛物线的准线相切，所以 b ，且圆 C 过焦点 F，32 p2又因为圆 C 过原点，所以圆心 C 必在线段 OF 的垂直平分线上，即 b ，p4所以 b ，即