1、第 2 讲 不等式选讲年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析卷绝对值不等式的解法、不等式的恒成立问题T 23卷绝对值不等式的解法、不等式的恒成立问题T 232018卷含绝对值函数图象的画法、不等式的恒成立问题T 23卷含绝对值不等式的解法、求参数的取值范围T 23卷基本不等式的应用、一些常用的变形及证明不等式的方法T 232017卷含绝对值不等式的解法、函数最值的求解T 23卷含绝对值函数图象的画法、含绝对值不等式的解法T 24卷含绝对值不等式的解法、比较法证明不等式T 242016卷含绝对值不等式的解法、绝对值不等式的性质T 241.不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明
2、、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解2此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用.绝对值不等式的解法(综合型)含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)f(x)a 或 f(x)0) a0)，| x a| x b| c(或 c)(c0)型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解(1)零点分区间法的一般步骤令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集取各个不等式解集的并集
3、就是原不等式的解集(2)利用绝对值的几何意义由于| x a| x b|与| x a| x b|分别表示数轴上与 x 对应的点到 a， b 对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如| x a| x b| c(或 c)(c0)或|x a| x b| c(或 c)(c0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观 对点训练(2018合肥第一次质量检测)已知函数 f(x)|2 x1|.(1)解关于 x 的不等式 f(x) f(x1)1；(2)若关于 x 的不等式 f(x)(|2x1|2 x1|) min即可由于|2 x1|2 x1|12 x|2 x1|12 x2 x1|2，当且仅当(12 x)(2x1)
4、0，即 x 时等号成立，故 m2.12， 12所以 m 的取值范围是(2，)不等式的证明(综合型)含有绝对值的不等式的性质|a| b| ab| a| b|.算术几何平均不等式定理 1：设 a， bR，则 a2 b22 ab，当且仅当 a b 时，等号成立定理 2：如果 a， b 为正数，则 ，当且仅当 a b 时，等号成立a b2 ab定理 3：如果 a， b， c 为正数，则 ，当且仅当 a b c 时，等号成立a b c3 3abc定理 4：(一般形式的算术几何平均不等式)如果 a1， a2， an为 n 个正数，则 ，当且仅当 a1 a2 an时，等号成立a1 a2 ann na1a2a
5、n典型例题(2018长春质量检测(一)设不等式| x1| x1|1.|1 abcab c|【解】 (1)由已知，令 f(x)| x1| x1| 2， x 1，2x， 11，只需证|1 abc|ab c|，|1 abcab c|只需证 1 a2b2c2a2b2 c2，只需证 1 a2b2c2(1 a2b2)，只需证(1 a2b2)(1 c2)0，由 a， b， c A，得 a2b20 恒成立综上， 1.|1 abcab c|证明不等式的方法和技巧(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少” “至多”等方式给出或是否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法(
6、2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是化去绝对值符号，转化为常见的不等式(组)求解多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据对点训练(2018陕西教学质量检测(一)已知函数 f(x)|2 x1| x1|.(1)解不等式 f(x)3；(2)记函数 g(x) f(x)| x1|的值域为 M，若 t M，证明 t21 3 t.3t解：(1)依题意，得 f(x) 3x， x 1，2 x， 10，所以 0，（ t 3） （ t2 1）t所以 t
7、21 3 t.3t含绝对值不等式的恒成立问题(综合型)典型例题(2018郑州第一次质量预测)设函数 f(x)| x3|， g(x)|2 x1|.(1)解不等式 f(x)ax4 对任意的实数 x 恒成立，求 a 的取值范围【解】 (1)由已知，可得| x3|0，解得 x4.23故所求不等式的解集为 (4，)( ， 23)(2)由已知，设 h(x)2 f(x) g(x)2| x3|2 x1| 4x 5， x 3，7， 3 ax4 恒成立，即 ax 4 恒成立， 4x 9x 9x所以 a ，所以 a1；( 49x) max当3ax4 恒成立，即 ax3 ax4 恒成立，即 ax0，所以 a4，且 x
8、时，4 4，1x 1x所以 a4.综上， a 的取值范围是(1，4绝对值不等式的成立问题的求解模型(1)分离参数：根据不等式将参数分离化为 a f(x)或 a f(x)形式(2)转化最值： f(x)a 恒成立 f(x)mina； f(x)a 有解f(x)maxa； f(x)a 无解 f(x)max a； f(x)1 的解集为 x|x 12(2)当 x(0，1)时| x1| ax1| x 成立等价于当 x(0，1)时| ax1|0，| ax1|4| a1|，求实数 a 的取值范围；(2)若存在实数 x， y，使 f(x) g(y)0，求实数 a 的取值范围解：(1)因为 f(2a21)4| a1
9、|，所以|2 a22 a| a21|4| a1|，所以| a1|(2| a| a1|4)0，所以|2 a| a1|4 且 a1.若 a1，则2 a a14，所以 a4，所以 a4，所以 a1.综上所述， a 的取值范围为 (1，)( ， 53)(2)因为 g(x)( x1) 2 54（ x 1） 22 51，显然可取等号，（ x 1） 2 4（ x 1） 2所以 g(x)min1.于是，若存在实数 x， y，使 f(x) g(y)0，只需 f(x)min1.又 f(x)| x12 a| x a2|( x12 a)( x a2)|( a1) 2，所以( a1) 21，所以1 a11，所以 0 a
10、2，即 a0，21(2018高考全国卷)设函数 f(x)5| x a| x2|.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)0 的解集；(2)若 f(x)1，求 a 的取值范围解：(1)当 a1 时，f(x) 2x 4， x 1，2， 1 x 2， 2x 6， x 2. )可得 f(x)0 的解集为 x|2 x3(2)f(x)1 等价于| x a| x2|4.而| x a| x2| a2|，且当 x2 时等号成立故 f(x)1 等价于| a2|4.由| a2|4 可得 a6 或 a2.所以 a 的取值范围是(，62，)2(2018开封模拟)已知函数 f(x)| x m|， m ，解得 m2，m2由于
11、 m0 的解集；(2)若函数 f(x)的图象与 x 轴没有交点，求实数 a 的取值范围解：(1)当 a3 时，不等式可化为|3 x1| x0，即|3 x1| x，所以 3x1 x，即 x ，14 12所以不等式 f(x)0 的解集为 .x|x12(2)当 a0 时， f(x)2x 1， x 1a，2（ 1 a） x 1， x0，2（ 1 a） 0， )当 a0 时， f(x)2 x1，函数 f(x)的图象与 x 轴有交点，不合题意；当 a1a， )要使函数 f(x)的图象与 x 轴无交点，只需 此时无解2a 11 且 x 时， f(x) g(x)，求实数 a 的取值12， a2范围解：(1)当
12、 a1 时， f(x) . 4x， x12 )当 x 时， f(x)2 无解12综上所述， f(x)2 的解集为 .x|12 x 12(2)当 x 时， f(x) (a2 x)(2 x1) a1，所以 f(x) g(x)可化为12， a2a1 g(x)又 g(x)4 x2 ax3 在 上的最大值必为 g 、 g 之一，则12， a2 ( 12) (a2)，a 1 g( 12)a 1 g(a2)即 ，即 a2.a 2 43 a 2) 43又 a1，所以122x x 2 3)解得 x 或 x1，13所以当 a0 时，不等式 f(x)| x2|3 的解集为 1，)( ， 13(2)对于任意实数 x，
13、不等式|2 x1| f(x) 时，3 a21g(x)的解集；(2)若对任意 x1， x2R，不等式 f(x1) g(x2)恒成立，求实数 a 的取值范围解：(1)当 a4 时，不等式 f(x)g(x)为 x22| x4| x1|，g(x)| x4| x1| 3， x 4， 2x 5， 13 恒成立，所以 x4.当 12 x5，即 x22 x30，得 x1 或 x3，则 x1 或 xg(x)的解集为 x|x1(2)当 a1 时， g(x) 所以 g(x)的最大值为 a1.1 a， x a，a 1 2x， 1xa，a 1， x 1， )要使 f(x1) g(x2)，只需 2 a1，则 a3，所以 1 a3.当 a1 时， g(x) 所以 g(x)的最大值为 1 a. a 1， x 1，2x a 1， ax1，a 1， x a )要使 f(x1) g(x2)，只需 21 a，则 a1，所以1 a1.综上，实数 a 的取值范围是1，3.