1、专题 14 概率大题部分【训练目标】1、 理解概率的定义，能正确区分概率与频率；2、 理解互斥事件和相互独立事件的定义及运算公式；3、 掌握古典概型的概念及计算； 4、 掌握几何概型的概念及计算；5、 掌握两个计数原理及简单的排列组合，及列举法求概率。6、 理解随机变量的概念，掌握随机变量分布列的性质；7、 掌握随机变量分布列的求法，及期望计算公式。8、 掌握条件概率的计算公式，掌握正态分布，二项分布的期望和方差公式。【温馨小提示】概率在高考中有一道小题一道大题，17 分左右，对于理科生来讲，只要掌握了基本的概念及公式，这是属于送分题，因此在练习时要注意总结方法。【名校试题荟萃】1、某市教育部
2、门为研究高中学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该市某校 200 名高中学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，数据如下表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均课外体育运动时间在40，60）上的学生评价为“课外体育达标”.（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面 22 列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？（2） 从上述课 外体育不达标的学生中，按性别用分层抽样的方法抽取 10 名学生，再从这 10 名学生中随机抽取 3 人了解他们锻炼时间偏少平均每天锻炼的时间（分钟）0，10）10，20）20，30）30，40）
3、40，50）50，60总人数 20 36 44 50 40 10课外体育不达标 课外体育达标 合计男女 20 110合计的原因，记所抽取的 3 人中男生的人数为随机变量为 X， 求 的分布列和数学期望。（3）将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有高中学生中，抽取 4 名学生，求其中恰好有 2 名学生是课外体育达标的概率。参考数据：【答案】 （1） 不能 （2）65（3） 718【解析】（1）由题可知， 2K 6.0602.072，所以有超过 85%的把握认为“晋级成功”与性别有100（ 1641 349） 225755050关 故 P（ X0）C ， P（ X1）C ，
4、04(34)0 (14)4 1256 14(34)1 (14)3 364P（ X2）C ， P（ X3）C ， 24(34)2 (14)2 27128 34(34)3 (14)1 2764P（ X4）C ，4(34)4 (14)0 81256所以 X 的分布列为X 0 1 2 3 4P（ X k） 1256 364 27128 2764 81256数学期望为 E（ X）4 3. .34 (或 E（ X） 12560 3641 271282 27643 812564 3)14、有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪 80 元，送餐员每单抽成 4 元；乙公司无底薪，40 单以内
5、（含 40 单）的部分送餐员每单抽成 6 元，超过 40 单的部分送餐员每单抽成 7元现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其 50 天的送餐单数，得到如下频数分布表：送餐单数 38 39 40 41 42甲公司天数 10 10 15 10 5乙公司天数 10 15 10 10 5（1）从记录甲公司的 50 天送餐单数中随机抽取 3 天，求这 3 天的送餐单数都不小于 40 单的概率；（2）假设同一个公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：（）求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；（）小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日均工资的角度考虑，小张
6、应选择哪家公司应聘？说明你的理由【答案】 （1） （2）238.6，甲29140所以 X 的分布列为X 228 234 240 247 254p 15 310 15 15 110E 228 234 240 247 254 238.6.(X)15 310 15 15 110（）依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为380.2390.2400.3410.2420.139.8，所以甲公司送餐员的日平均工资为80439.8239.2 元，因为 238.6239.2，所以小张应选择甲公司应聘专题 14 概率（大题部分） （文）【训练目标】1、 理解概率的定义，能正确区分概率与频率；2、 理解互斥事件和相
7、互独立事件的定义及运算公式；3、 掌握古典概型的概念及计算；4、 掌握几何概型的概念及计算；5、 掌握两个计数原理，及列举法求概率。【温馨小提示】概率在高考中有一道小题一道大题，17 分左右，对于文科生来讲，只要掌握了基本的概念及公式，这是属于送分题，因此在练习时要注意总结方法。【名校试题荟萃】1、2018 年为我国改革开放 40 周年，某事业单位共有职工 600 人，其 年龄与人数分布表如下：年龄段 2,3535,445,5,9人数（单位：人） 180 180 160 80约定：此单位 45 岁59 岁为中年人，其余为青年人，现按照分层抽样抽取 30 人作为全市庆祝晚会的观众（1）抽出的青年
8、观众与中年观众分别为多少人？（2）若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有 12 人和 5 人不热衷关心民生大事，其余人热衷关心民生大事完成下列 22 列联表，并回答能否有 90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关？Zxxk.Com热衷关心民生大事 不热衷关心民生大事 总计青年 12中年 5总计 30（3）若从热衷关心民生大事的青年观众（其中 1 人擅长歌舞，3 人擅长乐器）中，随机抽取 2 人上台表演节目，则抽出的 2 人能胜任才艺表演的概率是多少？【答案】 （1）18，12 （2）否 （3） 25【解析】（1）抽出的青年观众为 18 人，中年观众 12 人；（2）22 列联表如 下：热衷
9、关 心民生大事 不热衷关心民生大事 总计青年 6 12 18 中年 7 5 12总计 13 17 30，没有 90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关；（3）热衷关心民生大事的青年观众有 6 人，记能胜任才艺表演的四人为 1A， 2， 3， 4A，其余两人记为1B， 2，则从中选两人，一共有如下 15 种情况：,A， 13,， 14,A， 23,， 24,A， 34,， 1,B， 12,， 21,B， 2,，31,AB， 32,， 41,AB， 42,， 12,B，抽出的 2 人都能胜任才艺表演的有 6 种情况，所以 625P2、某地 110 岁男童年龄 xi（单位：岁）与身高的中位数 y
10、i（单位：cm） （ i1，2，10）如下表所示：x/岁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10y/cm 76.5 88.5 96.8 104.1 111.3 117.7 124 130 135.4 140.2对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值 xy 102iix102iiy5.5 112.45 82.50 3947.71 566.85（1）求 y 关于 x 的线性回归方程（回归方程系数精确到 0.01） ；（2）某同学认为方程 y px2 qx r 更适合作为 y 关于 x 的回归方程模型，他求得的回归方程是0.30 x210.17 x68.07.经调查，该地 11
11、岁男童身高的中位数为 145.3 cm.与（1）中的线性回归方y 程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？（3）从 6 岁10 岁男童中每个年龄阶段各挑选一位男童参加表演（假设该年龄段身高的中位数就是该男童的身高） 再从这 5 位男童中任挑选两人表演“二重唱” ，则“二重唱”男童身高满足6， （ i， j6，7， 8，9，10）的概率是多少？|yi yj|【答案】（1） 6.87 x74.67y （2）回归方程 0.30 x210.17 x68.07 拟合效果更好y （3）310（3）设 6 岁10 岁男童挑选的 5 位男童身高分别为 a， b， c， d， e，则从中任挑选两人表演“二重唱”有
12、10 种选法：（ a， b） ， （ a， c） ， （ a， d） ， （ a， e） ， （ b， c） ， （ b， d） ， （ b， e） ， （ c， d） ， （ c， e） ， （ d， e） ；两男童身高的中位数满足 6， （ i， j6，7，8，9，10）有 3 种选法，分别是（124，130） ，|yi yj|（130，135.4） ， （135.4，140.2） ，故概率是 P 6 .|yi yj|3103、在区间 内任取两个数（可以相等）， 分别记为 和 ，（1）若 、 为正整数，求这两数中至少有一个偶数的概率；（2）若 、 ，求 、 满足 的概率.【答案】（1） （
13、2） 【解析】（1）当 为正整数，等可能性的基本事件共 36 个，如下：、 、 、 、 、 ； 、 、 、 、 、 ；、 、 、 、 、 ； 、 、 、 、 、 ；、 、 、 、 、 ； 、 、 、 、 、 .记“两个数 中至少有一个为偶数”为事件 ，包含上述基本事件的个数为 27，由古典概型可知. 4、已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动，为了解本次考试学生的某 站从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取 2000 名进行调查,将受访用户按年龄分成 5 组:并整理得到如下频率分布直方图:（1）求 a的值；（2）从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人,估计其年龄低
14、于 40 岁的概率；（3）估计春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄。【答案】 （1） 0.35a （2）0.75 （3）32.513、某班 50 名学生在一次数学测试中，成绩全部介于 50 与 100 之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组50，60） ，第二组60，70） ，第五组90，100如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图（1）若成绩大于或等于 60 且小于 80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；（2）从测试成绩在50，60）90，100内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m、n，求事件“|mn|10”概率【答案】（1）29 （2）0.
15、6【解析】（1）根据频率分布直方图，可知成绩在 80,6的频率为（0.0018+0.0 40）10=0.58。所以该班在数学测试中成绩合格的人数为 0.5850=29 人；14、 “共享单车”的出现，为我们提供了一种新型的交通方式.某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度，从交通拥堵不严重的 A 城市和交通拥堵严重的 B 城市分别随机调查了 个用户，得到了一个用户满意度评 分的样本，并绘制出茎叶图如图： （1）根据茎叶图，比较两城市满意度评分的平均值的大小及方差的大小（不要求计算具体值，给出结论即可） ；（2）若得分不低于 分，则认为该用户对此种交通方式“认可” ，否则认为该用户对此种交通方式
16、 “不认同” ，请根据此样本完成此列联表，并据此样本分析是否有 的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；（3）若此样本中的 A 城市和 B 城市各抽取 人，则在此 2 人中恰有一人认可的 条件下，此人来自 B 城市的概率是多少？A B 合计认可不认可合计附：0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.828【答案】 （1）见解析 （2）见解析 （3）【解析】（1） 城市评分的平均值小于 城市评分的平均值；城市评分的方差大于 城市评分的方差；（2）合计认可 5 10 15不认可 15 10 25合计 20 20 40所以没有 95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；15、某
17、校决定为本校上学所需时间不少于 30 分钟的学生提供校车接送服务为了解学生上学所需时间，从全校 600 名学生中抽取 50 人统计上学所需时间（单位：分钟） ，将 600 人随机编号为001，002，600，抽取的 50 名学生上学所需时间均不超过 60 分钟，将上学所需时间按如下方式分成六组，第一组上学所需时间在0，10） ，第二组上学所需时间在10，20），第六组上学所需时间在50，60 ，得到各组人数的频率分布直方图，如下图（1）若抽取的 50 个样本是用系统抽样的方法得到，且第一个抽取的号码为 006，则第五个抽取的号码是多少？（2）若从 50 个样本中属于第四组和第六组的所有人中随机
18、抽取 2 人，设他们上学所需时间分别为 a、 b，求满足 的事件的概率；（3）设学校配备的校车每辆可搭载 40 名学生，请根据抽样的结果估计全校应有多少辆这样的校车？【答案】 （1） 054 （2） （3）3（3）全校上学所需时间不少于 30 分钟的学生约有：600（0.0080.0080.004）10=120 人，所以估计全校需要 3 辆校车.16、某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生作为样本,将他们的期中考试数学成绩（满分 100 分,成绩均为不低于 40 分的整数）分成六组: 40,50）, 50,60）,90,100 ）后得到如图的频率分布直方图. （1）求图中实数 a 的值; （2）若该校高一年级共有学生 500 人,试估计该校高一年级在这次考试中成绩不低于 60 分的人数; （3）若从样本中数学成绩在40,50）与90,100）两个分数段内的学生中随机选取两名学生,试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率. 【答案】 （1） 03.a （2）425 （3）715两名学生的结果为：, 共 15种; 其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的情况有12,A, 34, 35A,36, 45A, 46,56A共 7 种, 因此,抽取的两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率为 1。