1、专题 03 函数与导数大题部分【训练目标】1、 理解函数的概念，会求函数的定义域 ，值域和解析式，特别是定义域的求法；2、 掌握函数单调性，奇偶性，周期性的判断方法及相互之间的关系，会解决它们之间的综合问题；3、 掌握指数和对数的运算性质，对数的换底公式；4、 掌握指数函数和对数函数的图像与性质；5、 掌握函数的零点存在定理，函数与方程的关系；6、 熟练数形结合的数学思想在解决函数问题的运用；7、 熟练掌握导数的计算，导数的几何意义求切线问题；8、 理解并掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数分析函数的单调性，会根据单调性确定参数的取值范围；9、 会利用导数求函数的极值和最值，掌握构造函数
2、的方法解决问题。【温馨小提示】本章内容既是高考的重点，又是难点，再备考过程中应该大量解出各种题型，总结其解题方法，积累一些常用的小结论，会给解题带来极大的方便。【名校试题荟萃】1、 （2019 届新余四中、上高二中高三第一次联考）已知函数 .,Rnm（1）若函数 xf在 2,f处的切线与直线 0yx平行，求实数 n的值；（2）试讨论函数 在区间 ,1上最大值；（3）若 n时，函数 xf恰有两个零点 ，求证： 21x【答案】 （1） 6（2） 1lnm（3）见解析【解析】 （1）由 ， ，由于函数 ()fx在 2,()f处的切线与直线 0xy平行，故24n，解得 6n。（2） ，由 0fx时，
3、n； 0fx时， n，所以当 1n时， fx在 1,上单调递减，故 fx在 1,上的最大值为 ；当 时， 在 n上单调递增，在 ,n上单调递减，故 fx在 1,上的最大值为；又21xt， ln0t，故 12x成立。 2、 （宁夏长庆高级中学 2019 届高三上学期第四次月考数学（理）试卷）设函数（）讨论函数 fx的单调性；（）若 fb有两个不相等的实数根 12,x，求证【答案】（1）当 0a时， ()fx在 0,)上单调递增；当 0a时， ()fx在 0,a上单调递减，在 (,)a上单调递增.（2）略【解析】 （I）当 0a时， ()0fx恒成立，所以 ()fx在 0,)上单调递增.当 时，解
4、 得 ,a解 得 xa所以 ()fx在 0,a上单调递减，在 (,)a上单调递增.综上，当 时， ()fx在 0,上单调递增.当 时， 在 ,上单调递减，在 (,)上单调递增. 而令所以 ()gx在 1,)单调递增.3、 （山东省新泰二中 2019 届高三上学期 12 月月考数学（理）试卷）已知函数 fx,（1）讨论函数 fx的单调性;（2）当 0a时,函数 g在 (0,)是否存在零点?如果存在，求出；如果不存在，请说明理由【答案】 （1）见解析 （2）不存在零点【解析】 （）函数 的定义域为 ,=（2） 0a时，方程 有两解 或当 时， 时， 0)(xf， )(xf在 、 上单调递减.)1,
5、2(ax时， 0)(xf， 单调递增. 当 时， 令 ，得 或 (i) 当 时, 时 恒成立, 上单调递增; （）当 时, 时， 0)(xf， )(f在 、 上单调递增.x时， )(xf， )(f单调递减。 （）当 时， x时， 0)(xf， )(f在 、 上单调递增.x时， 0)(xf， )(xf单调递减. 综上所述，当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ， ；当 时, 上单调递增； 当 时, 的单调递增区间为 ， 单调递减区间为 ；当 时 的单调递增区间为 ， 单调递减区间为 （2）由（1）可知当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区
6、间为 ,在 处取得极大值也是最大值 。等价于， ，令 得 ，所以， 所以先增后减，在 处取最大值 0，所以 所以 进而 ,所以 即 , 。又 所以函数 在 不存在零点4、 （山东省新泰二中 2019 届高三上学期 12 月月考数学（理）试卷）设 ,（1）若 xf在，32上存在单调递增区间，求 a的取值范围；（2）当 20a时， xf在 4,1上的最小值为 316，求 xf在该区间上的最大值.【答案】（1）当 a 时， xf在，3上存在单调递增区间；19（2）103【解析】（1） ，由题意得， 0xf在，32上能成立，只要即032f，即 2a0，得 a ，所以，当 a 时， xf在，32上存在单
7、调递增区间. 29 19 19（2）已知 0a2， xf在1，4上取到最小值 ，而 的图象开口向下，且对163称轴 x ，f （1）112a2a0，f（4）1642a2a120，则必有一点12x01，4，使得 f（x0）0，此时函数 f（x）在1，x0上单调递增，在x0，4上单调递减， f（1） 2a 2a0， minf（4） 64 168a 8a a1. 13 12 16 13 12 403 163此时，由 20x或1（舍去） ，所以函数 f（x）maxf（2） . 1035、 （辽宁省辽河油田第二高级中学 2019 届高三上学期期中考试数学（文）试题）已 知函数ln1xf（1）确定函数 f
8、x在定义域上的单调性；（2）若 efk在 1,上恒成立，求实数 k的取值范围【答案】 （1） fx在 0上单调递增，在 1,上单调递减；（2） ek（2）由 exfk在 1,上恒成立得：lne1xk在 ,上恒成立整理得： 在 ,上恒成立令 ，易知，当 0k时， 0hx在 1,上恒成立不可能， 0k，又 ， 1eh，（i）当1e时 ， ，又 在 ,上单调递减， 0hx在 1,上 恒成立，则 hx在 1,上单调 递减，又 ， hx在 ,上恒成立又 10h， 0hx在 01,x上恒成立， x在 ,上恒成立不可能综上所述，1ek6、（湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东六校 2019 届高三 12 月联考数
9、学（理）试题）已知函数.（）当 0a时，求 )(xf在区间 1,0(的最大值；（）若函数 有两个极值点 ,求证 .【答案】 （1）当 10a时， )(xf的最大值为12a，当 时， )(xf的最大值为（2）略【解析】（）由已知得 )(xf的定义域为 ),0(, ，当 10a时,， )(f在 1,上单调递增, )(xf的最大值为 .当 时, )(xf在,0a上单调递增,在(，a单调递减，)(f的最大值为 .综上，当 10a时， )(xf的最大值为12a，当 时， )(f的最大值为 .设 ,其中 ,由 得 at2,由于 ， )(th在,0上单调递增,在)1(上单调递减,即 )(t的最大值为 ，从而
10、 成立.7、 （黑龙江省哈尔滨市第六中学 2019 届高三 12 月月考数学（理）试题）已知 ，(0)a.（1）当 ,x时，求证： ；（2）若存在 0，使得 成立，求实数 a的取值范围.【答案】 （1）见解析 （2）【解析】 （1）设 ， ，由 ()0Fx故()Fx增且 ，所以， 在 上递增，所以（2）即 0，得 x1，由 f （ x）0， h（ x）0 时，记 f（ x）的最小值为 g（ a） ，证明： g（ a）0， f（ x）在（0，）上单调递增；当 a0 时，当 x（0， a） ， f（ x）0， f（ x）单调递增.综上，当 a0 时， f（ x）在（0，）上单调递增；当 a0 时， f（ x）在（0， a）上单调递减，在（ a，）上单调 递增.（2）证明 由（1）知， f（ x） min f（ a） a a a aln a ，2a (ln a 1a2) 1a即 g（ a） a aln a .1a要证 g（ a）0，1a 1a2令 h（ a）ln a 1，1a 1a2则只需证 h（ a）ln a 10，1a 1a2h（ a） .1a 1a2 2a3 a2 a 2a3 （ a 2） （ a 1）a3当 a（0，2）时， h（ a）0， h（ a）单调递增；所以 h（ a） min h（2）ln 2 1ln 2 0，12 14 14所以 h（ a）0，即 g（ a）0，1e