1、专题 12 立体几何大题部分【训练目标】1、 掌握三视图与直观图之间的互换，会求常见几何体的体积和表面积；2、 掌握空间点线面的位置关系，以及位置关系的判定定理和性质定理；并能依此判断命题的真假；3、 掌握空间角即异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角的求法；4、 掌握等体积法求点面距；5、 掌握几何体体积的几种求法；6、 掌握利用空间向量解决立体几何问题。7、 掌握常见几何体的外接球问题。【温馨小提示】立体几何素来都是高考的一个中点，小题，大题都有，一般在 17 分到 22 分之间，对于大多数人来说，立体几何就是送分题，因为只要有良好的空间感，熟记那些判定定理和性质定理，然后熟练空间角和距
2、离的求法，特别是掌握了空间向量的方法，更觉得拿分轻松。【名校试题荟萃】 1、已知直三棱柱 中， ， 为 中点， ， .求证： 平面 ；求三棱锥 的体积.【答案】（1）见解析 （2）【解析 】（1）证明：连结 交 于 点，连结 ，则 和 分别为 和 的中点，所以 ， 而 平面 ， 平面 ，所以 平面 . （2）因为 平面 ，所以点 和 到平面 的距离相等，从而有.2、如图，四棱锥 PABCD中，底面 AB是直角梯形， ， AD是正三角形， E是 的中点（1）求证： ADPC；（2）判定 E是否平行于平面 AB，请说明理由【答案】 （1）见解析 （2）平行（2） CE平行于平面 PAB，理由如下：
3、取 的中点为 F，连接 ,E可知 ，又 ，所以四边形 BCEF为平行四边形，故 /CEBF.又 平面 ,PA平面 PA，所以 /平面 .3、在四棱锥 BCD中， 平面 BCD，且底面 AB为边长为 2 的菱形，60BA， 2P（1）证明：面 PAC面 DB；（2）在图中作出点 在平面 内的正投影 M（说明作法及其 理由） ，并求四面体 PBDM的体积【答案】 （1）见解析 （2） 4321【解析】（1）因为 PD平面 ABC， ，所以 PDAC，在菱形 中， ，且 ，所以 ，又因为 ，所以面 （2）取 BC的中点 E，连接 D， PE，易得 BDC 是等边三角形，所以 BCDE，又因为 PD平
4、面 ABC，所以 PDBC，又 ，所以 ，在面 E中，过 作 ME于 ，即 是 点 在平面 PBC内的正投影，则 ，又 ，所以 ，经计算得 3DE，在 RtPDE 中， 2， ， ，4、如图， ABEDFC为多面体，平面 ABED与平面 CF垂直，点 O在线段 AD上，O， ， O， 都是正三角形。（1）证明：直线 面 ；（2）在线段 DF上是否存在一点 M，使得二面角 的余弦值是 13，若不存在请说明理由，若存在请求出 点所在的位置。【答案】（1）见解析 （2） M为 DF中点（本题可先证明 BC/EF后得证；也可建立空间直角坐标系得证，请 酌情给分。）（2）设 OD的中点为 G，以 为原点
5、， E、 GD、 F所在直线分别为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系。易知， )0,1(， ),3(， )3,0(, )0,1(.设 FM， .可得 ，5、如图，在三棱锥 PABC中， 底面 ABC， 2， 4A， ， D为 BC的中点（1）求证： ADPB；（2）若二面角 C的大小为 45，求三棱锥 PABC的体积【答案】（1）见解析 （2）4【解析】（1）在 ABC 中，由余弦定理得 ，则 27BC因为 D为 的中点，则 因为 ，则，所以 3AD因为 ，则 ABD （5分）因为 PA底面 BC，则 P，所以 D平面 ，从而 （2）分别以直线 ， ， A为 x轴， y轴， z轴建立空间
6、直角坐标系，如图设 PAa，则点 2,0B， ,30D， ,Pa所以 ， 6、如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，DAB60，ADP90，平面 ADP平面 ABCD，点 F 为棱 PD 的中点 （1）在棱 AB 上是否存在一点 E，使得 AF平面 PCE，并说明理由；（2）当二面角 DFCB 的余弦值为 时，求直线 PB 与平面 ABCD 所成的角 24【答案】 （1）点 E 为棱 AB 的中点 （2）60【解析】（1）在棱 AB 上存在点 E，使得 AF平面 PCE，点 E 为棱 AB 的中点理由如下：取 PC 的中点 Q，连结 EQ、FQ，由题意，FQDC
7、 且 FQ CD，AECD 且 AE CD，12 12故 AEFQ 且 AEFQ.所以，四边形 AEQF 为平行四边形.所以，AFEQ，又 EQ?平面 PEC，AF?平面 PEC，所以，AF平面 PEC.设平面 FBC 的法向量为 m ，(x， y， z)则由 得 令 x1，则 y ，z ，2y az 0，3x y 0， ) 3 23a所以取 m ，显然可取平面 DFC 的法向量 n ，(1， 3，23a) (1， 0， 0)由题意： ，所以 a .24 |cos m， n | 11 3 12a2 3由于 PD平面 ABCD，所以 PB 在平面 ABCD 内的射影为 BD，所以PBD 为直线
8、PB 与平面 ABCD 所成的角，易知在 RtPBD 中，tanPBD a ，从而PBD60，PDBD 3所以直线 PB 与平面 ABCD 所成的角为 60.7、已知三棱柱 ABC A B C的侧棱垂直于底面， AB AC， BAC90，点 M， N 分别是 A B 和B C的中点。（1）证明： MN平面 AA C C；（2）设 AB AA ，当 为何值时， CN平面 A MN，试证明你的结论【答案】 （1）见解析 （2） 2（2）连接 BN，设 A A a，则 AB a ，由题意知 BC a ， NC BN ，2a2 12 2a2三棱柱 ABC A B C的侧棱垂直于底面，平面 A B C平
9、面 BB C C， AB AC，点 N 是 B C的中点， A N平面 BB C C， CN A N.要使 CN平面 A MN，只需 CN BN 即可， CN2 BN2 BC2，2 2 2a2? ，(a212 2a2) 2当 时， CN平面 A MN.28、如图，四棱锥 PBD中，底面 B是直角梯形， ， .（1）求证：平面 PBC平面 AD；（2）若 ,求点 到 平面 B的距离.【答案】（1）见解析 （2） 2【解析】（1）证明：取 BC中点 M，连接 ,DP可知 且 又 ,在 RtBC有 1又 2PD， ,即 PM，又 平面 ,B平面 CM平面 BC，又 MD平面 AC平面 P平面 A （
10、2）设点 到平面 的距离为 h， 2h所以点 D到平面 PAB的距离为 2。9、如图,在三棱柱 中,点 ,PG分别是 1,ABC的中点,已知 1A平面 BC, .（1 ）求异面直线 1AG与 B所成角的余弦值.（2）求证： 平面 1C.（3）求直线 1P与平面 所成角的正弦值.【答案】（1） 74 （2）见解析 （3） 75（2）在三棱柱 中 , 1A平面 BC, 1AG平面 B, 1AG, 1BA,又 , 1平面 C.（3）解：取 的中点 H,连接 ,;取 H的中点 O,连接 1,PC. 1POAG, 平面 1B, C是 与平面 C所成的角.由已知得, , , ,直线 1PC与平面 1B所
11、成角的正弦值为 75.10、如图，在底面是正三角形的三棱锥 PABC 中，PA=AB=2，PB=PC= 2（1）求证：PA平面 ABC；（2）若点 D 在线段 PC 上，且直线 BD 与平面 ABC 所成角为 6，求二面角 DABC 的余弦值【答案】（1）见解析 （2）（2）以 A 为原点，AC 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，B（ ，1，0） ，C（0，2，0） ，P（0，0，2） ，设 D（0，b，c） ， ，01，则（0，b，c2）=（0，2，2） ，D（0，2，22） ， =（ ，21，22） ，直线 BD 与平面 ABC 所成角为 ，平面 ABC 的法向量 =（0，
12、0，1） ，sin = = ，解得 或 =2（舍） ，D（0，1，1） ， =（ ） ， =（0，1，1） ，设平面 ABD 的法 向量 =（x，y，z） ，则 ，取 x=1，得 =（1， ， ） ，平面 ABC 的法向量 =（0，0，1） ，设二面角 DABC 的平面角为 ，则 cos= = = 二面角 DABC 的余弦值为 11、如图，在斜三棱柱 中， ， ACB， ，侧面1BC与底面 A所成的二面角为 120， FE,分别是棱 1、 的中点（1）求 1与底面 所成的角；（2）证明 /E平面 CB1；（3）求经过 A,1四点的球的体积【答案】 （1）60 （2）见解析 （3） a 3由于四
13、边形 A1AGE 为平行四边形，得A 1AG=60（）证明：设 EG 与 B1C 的交点为 P，则点 P 为 EG 的中点连接 PF在平行四边形 AGEA1中，因 F 为 A1A 的中点，故 A1EFP而 FP平面 B1FC，A 1E平面 B1FC，所以 A1E平面 B1FC12、如图，在四面体 ABCD中， ， （1）证明： ；（2）若 ， 2，四面体 ABCD的体积为 2，求二面角 BACD的余弦值【答案】 （1）见解析 （2） 1053【解析】 （1）如图，作 Rt ABD斜边 上的高 AE，连结 C因为 BAC， ，所以 Rt ABDRt C可得 EBD所以 平面E，于是 D设 是平面 BAC的法向量，则 0ABCm，即 ，可取 设 是平面 D的法向量，则 0ADn，即 ，可取 因为 ，二面角 BC的平面角为钝角，所以二面角 BACD的余弦值为 1053zxyABCDE