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江苏省南京市2019届高三数学二轮专题复习资料专题15:应用题

1、南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 1 页 共 40 页 专题 15: 应用题 目录 问题归类篇 . 2 类型一:几何背景类型 . 2 类型二:函数、数列背景类型 . 25 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 2 页 共 40 页 问题 归 类 篇 类型一: 几何 背景 类型 一、 考题 回顾 *1、( 2008 江苏高考,平面几何背景) 某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的顶点 A,B 及 CD 的中点P 处,已知 AB=20km,CB =10km ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的区域上(含边界),且与 A,B 等距离的一点 O 处

2、建造一个污水处理厂,并铺设排污管道 AO,BO,OP ,设排污管道的总长为y km ()按下列要求写出函数关系式: 设 BAO= (rad),将 y 表示成 的函数关系式; 设 OP x (km) ,将 y 表示成 xx 的函数关系式 ()请你选用()中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短 【解析】本小题主要考查函数最值的应用 ()由条件知 PQ 垂直平分 AB,若 BAO= (rad) ,则 10cos cosAQOA , 故 10cosOB ,又 OP 10 10tan 10 10ta , 所以 1 0 1 0 1 0 1 0 t a nc o s c o sy

3、 O A O B O P , 所求函数关系式为 2 0 1 0 sin 10co sy 04若 OP=x (km) ,则 OQ 10 x ,所以 OA =OB= 2 221 0 1 0 2 0 2 0 0x x x 所求函数关系式为 22 2 0 2 0 0 0 1 0y x x x x ()选择函数模型, 221 0 c o s c o s 2 0 1 0 s i n 1 0 2 s i n 1c o s c o ss i ny 令 y 0 得 sin 12 ,因为 0 4 ,所以 =6 , 当 0,6 时, 0y , y 是 的减函数;当 ,64 时, 0y , y 是 的增函数,所以当

4、=6CBPOAD南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 3 页 共 40 页 时, min 10 10 3y 。这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上,且距离 AB 边 1033 km 处。 *2 ( 2013 江苏高考,平面几何背景) 如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径一种是从 A 沿直线步行到 C,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m/min,在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆 车到 B,在 B 处停留 1 min 后,再从 B 匀速步行到

5、C.假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min,山路 AC 长为 1 260 m,经测量, cos A 1213 , cos C 35 . (1)求索道 AB 的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在 C处互相等待的时间不超过 3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?答案: (1) 1 040 m, (2) 3537t , (3) 1250 625,43 14 乙从 B出发时,甲已走了 50(2 8 1) 550(m),还需走 710 m才能到达 C.设乙步行的速度为 v m/min,由题意得 500 7103350v ,解得 1250 62543

6、14v, 所以为使两位游客在 C处互相南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 4 页 共 40 页 等待的时间不超过 3 min,乙步行的速度应控制在 1250 625,43 14(单位: m/min)范围内 *3.( 2018 江苏高考,平面几何背景) 某农场有一块农田 , 如图所示 , 它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN( P 为此圆弧的中点 )和线段 MN 构成 已知圆 O 的半径为 40 米 , 点 P 到 MN 的距离为 50 米 先规划在此农田上修建两个温室大棚 , 大棚 内的地块形状为矩形 ABCD, 大棚 内的地块形状为 CDP , 要求 ,AB均在线段 MN

7、上 , ,CD均在圆弧上设 OC 与 MN 所成的角为 ( 1)用 分别表示矩形 ABCD 和 CDP 的面积 , 并确定 sin 的取值范围 ; ( 2)若大棚 内种植甲种蔬菜 , 大棚 内种植 乙 种蔬菜 , 且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3 求当 为何值时 , 能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 解析 :( 1)连结 PO 并延长交 MN 于 H,则 PH MN,所以 OH=10 设甲的单位面积的年产值为 4k,乙的单位面积的年产值为 3k( k0), 则年总产值为 4k800( 4sincos+cos) +3k1600( cossincos) =8000k( sincos+c

8、os), 0, 2) 设 f( ) = sincos+cos, 0, 2), 则 2 2 2( ) c o s s i n s i n ( 2 s i n s i n 1 ) ( 2 s i n 1 ) ( s i n 1 )f 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 5 页 共 40 页 令 ( )=0f ,得 =6, 当 ( 0, 6)时, ( )0f ,所以 f( )为增函数; 当 ( 6, 2)时, ( ) k, . 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 26 页 共 40 页 22 0 2 0 2 0= = = 1 0112kx kkk ,当且仅当 =1

9、k 时取等号 . 炮的最大射程是 10 千米. ( 2) 0a , 炮弹可以击中目标等价于存在 0k ,使 221 (1 ) =3 .220ka k a 成立, 即关于 k 的方程 2 2 22 0 6 4 = 0a k a k a 有正根 . 由 2 22= 2 0 4 6 4 0a a a 得 6a . 此时, 2 2222 0 2 0 4 6 4=02a a a aka (不考虑另一根) . 当 a 不超过 6 千 米时,炮弹可以击中目标 . *2.( 2009 江苏 高考,函数背景 ) 按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为 a 元,如果他卖出该产品的单价为 m 元,则他的满

10、意度 为 mma ;如果他买进该产品的单价为 n 元,则他的满意度为 nna .如果一个人对两种交易 (卖出或买进) 的满意度分别为 1h 和 2h ,则他对这两种交易的综合满意度为12hh ,现假设甲生产 A、 B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元,乙生产 A、 B 两种产品的单件成本分别为 3 元和 20 元,设产品 A、 B 的单价分别为 Am 元和 Bm 元,甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为 h甲 ,乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为 h乙(1)求 h甲 和 h乙 关于 Am 、 Bm 的表达式;当 35ABmm时,求证: h甲 =h乙 ; (2)设 35ABmm

11、,当 Am 、 Bm 分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少? (3)记 (2)中最大的综合满意度为 0h ,试问能否适当选取 Am 、 Bm 的值,使得 0hh甲 和 0hh乙 同时成立,但等号不同时成立?试说明理由。 【解析】 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识,考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力。满分 16 分。 (1)当 35ABmm时, 2353 5 ( 2 0 ) ( 5 )125B BBB B BBm mmh m m mm 甲 ,2353 2 0 ( 5 ) ( 2 0 )35B BBB B BBm mmh m m mm 乙,

12、h甲 =h乙 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 27 页 共 40 页 ( 2)当 35ABmm时, 2211=,2 0 5 1 1( 2 0 ) ( 5 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 0 0 ( ) 2 5 1BBBB B B Bmhmmm m m m 甲由 1 1 1 5 , 2 0 , 2 0 5B Bm m得, 故当 1120Bm 即 20, 12BAmm时, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 105 。 ( 3)(方法一)由( 2)知: 0h = 105由0 10= 1 2 5 5AB

13、ABmmhhmm 甲得: 1 2 5 52ABABmmmm, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m令 35,ABxymm则 1 ,14xy、 ,即: 5(1 4 )(1 ) 2xy 。 同理 ,由0 105hh乙得: 5(1 )(1 4 ) 2xy 另一方面, 1 ,14xy、 1 4 1xx 5、 1 + 4 y 2 , 5 , 、 1 + y , 2 ,255(1 4 ) (1 ) , (1 ) (1 4 ) ,22x y x y 当且仅当 14xy ,即 Am = Bm 时,取等号。 所以不能否适当选取 Am 、 Bm 的值,使得 0hh甲 和 0hh乙 同时成立,但等号不同时成立。w

14、.w.w.k.s.5.u.c.o.m*3. 在金融危机中,某钢材公司积压了部分圆钢,经清理知共有 2009 根现将它们堆放在一起 (1) 若堆放成纵断面为正三角 形 (每一层的根数比上一层根数多 1 根 ),并使剩余的圆钢尽可能地少,则剩余了多少根圆钢? (2) 若堆成纵断面为等腰梯形 (每一层的根数比上一层根数多 1 根 ),且不少于七层, 共有几种不同的方案? 已知每根圆钢的直径为 10cm,为考虑安全隐患,堆放高度不得高于 4m,则选南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 28 页 共 40 页 择哪个方案,最能节省堆放场地? 解析: ( 1) 当纵断面为正三角形时,设共堆

15、放 n 层,则从上到下每层圆钢根数是以 1 为首项、 1 为公差的等差数列,且剩余的圆钢一定小于 n 根 从而由 2009 2 0 且 a 1, b 0) 对数函数模 型 f(x) blogax c (a, b, c 为常数, a0 且 a 1, b 0) 幂函数模型 f(x) axn b(a, b, n 为常数, a 0, n 0) 方法:( 1)若已知函数类型,常 根据待定系数法确定函数解析式 (代点列方程) 。 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 29 页 共 40 页 ( 2)含参二次函数有解、最值问题的转化及 有理分式函数(尤其二次分式函数 edxcx baxy 2

16、 )、无理函数等最值的求法 (导数法、不等式法) 。 2.数列背景函数模型方法: ( 1)等差、等比数列的通项与求和( 2)数列的最值问题与数列中的不定方程求解。三、 方 法运用*例 1. 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题 .实践证明, 声音强度 D (分贝)由公式 lgD a I b(ab、 为非零常数 )给出,其中 )/( 2cmWI 为声音能量 .( 1)当声音强度 321 , DDD 满足 321 32 DDD 时,求对应的声音能量 321 , III 满足的等量关系式; ( 2)当人们低声说话,声音能量为 213 /10 cmW 时,声音强度为 30 分贝;当人们

17、正常说话,声音能量为212 /10 cmW 时,声音强度为 40 分贝 .当声音能量大于 60 分贝时属于噪音,一般人在 100 分贝 120 分贝的空间内,一分钟就会暂时性失聪 .问声音能量在什么范围时,人会暂时性失聪 . 答案: (1) 33221 III ; (2) )10,10( 46 I 解析: ( 1) 321 32 DDD )lg(3)lg(2lg 321 bIabIabIa 321 lg3lg2lg III 33221 III ( 2)由题意得 4012 3013 ba ba 16010ba令 120160lg10100 I 可得 46 1010 I答:当声音能量 )10,10

18、( 46 I 时,人会暂时性失聪 . *例 2 有一种新型的洗衣液,去污速度特别快 .已知每投放 (1 4kk且 )kR 个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中,它在水中释放的浓度 y (克/ 升)随着时间 x (分钟)变化的函数关系式近似为()y k f x ,其中 216 1 0 59()21 1 5 1 645xxfxxx .根据经验,当水中洗衣液的浓度不低于 4 (克 /升)时,它才能起到有效去污的作用 . 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 30 页 共 40 页 ()若投放 k 个单位的洗衣液, 3 分钟时水中洗衣液的浓度为 4 (克 /升),求 k 的值 ; ()若

19、投放 4 个单位的洗衣液,则有效去污时间可达几分钟? 答案 :() 125k ;() 14. 解 析: () 将 3x 代入 16( 1) 49k x , 125k ; ()当 4k 时, 2164 ( 1 ) 0 5924 (1 1 ) 5 1 645xxyxx , 当 05x时,由 4y ,解得 15x; 当 5 16x 时,由 4y ,解得 5 15x ; 所以 1 15x ,故有效去污时间可达 14分钟 . *例 3. 秸秆还田是当今世界上普通重视的一项培肥地力的增产措施,在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气污染的同时还有增肥增产作用 .某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田,花 137600

20、元购买了一台新型联合收割机,每年用于收割可以收入 6万元(已减去所用柴油费);该收割机每年都要定期进行维修保养,第一年由厂方免费维修保养,第二年及以后由该农机户付费维修保养,所付费用 (元)与使用年数 的关系为: ( ,且 ),已知第二年付费 1800元,第五年付费 6000 元 . ( )试求出该农机户用于维修保养的费用 (元)与使用年数 的函数关系; ( )这台收割机使用多少年,可使平均收益最大?(收益 =收入 -维修保养费用 -购买机械费用) 答案 : () .( ) 14. 解析:( )依题意,当 , ; , , 即 ,解得 , 所以 . ( )记使用 年,年均收益为 (元), 则依题意, , ,