1、南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 1 页 共 40 页 专题 15： 应用题 目录 问题归类篇 . 2 类型一：几何背景类型 . 2 类型二：函数、数列背景类型 . 25 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 2 页 共 40 页 问题 归 类 篇 类型一： 几何 背景 类型 一、 考题 回顾 *1、（ 2008 江苏高考，平面几何背景） 某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A,B 及 CD 的中点P 处，已知 AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上（含边界），且与 A,B 等距离的一点 O 处
2、建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO,BO,OP ，设排污管道的总长为y km （）按下列要求写出函数关系式： 设 BAO= (rad)，将 y 表示成 的函数关系式； 设 OP x (km) ，将 y 表示成 xx 的函数关系式 （）请你选用（）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短 【解析】本小题主要考查函数最值的应用 （）由条件知 PQ 垂直平分 AB，若 BAO= (rad) ，则 10cos cosAQOA , 故 10cosOB ，又 OP 10 10tan 10 10ta ， 所以 1 0 1 0 1 0 1 0 t a nc o s c o sy
3、 O A O B O P ， 所求函数关系式为 2 0 1 0 sin 10co sy 04若 OP=x (km) ，则 OQ 10 x ，所以 OA =OB= 2 221 0 1 0 2 0 2 0 0x x x 所求函数关系式为 22 2 0 2 0 0 0 1 0y x x x x （）选择函数模型， 221 0 c o s c o s 2 0 1 0 s i n 1 0 2 s i n 1c o s c o ss i ny 令 y 0 得 sin 12 ，因为 0 4 ，所以 =6 ， 当 0,6 时， 0y ， y 是 的减函数；当 ,64 时， 0y ， y 是 的增函数，所以当
4、=6CBPOAD南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 3 页 共 40 页 时， min 10 10 3y 。这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上，且距离 AB 边 1033 km 处。 *2 （ 2013 江苏高考，平面几何背景） 如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径一种是从 A 沿直线步行到 C，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 m/min，在甲出发 2 min 后，乙从 A 乘缆 车到 B，在 B 处停留 1 min 后，再从 B 匀速步行到
5、C.假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min，山路 AC 长为 1 260 m，经测量， cos A 1213 ， cos C 35 . (1)求索道 AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在 C处互相等待的时间不超过 3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？答案： (1) 1 040 m， (2) 3537t ， (3) 1250 625,43 14 乙从 B出发时，甲已走了 50(2 8 1) 550(m)，还需走 710 m才能到达 C.设乙步行的速度为 v m/min，由题意得 500 7103350v ，解得 1250 62543
6、14v， 所以为使两位游客在 C处互相南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 4 页 共 40 页 等待的时间不超过 3 min，乙步行的速度应控制在 1250 625,43 14(单位： m/min)范围内 *3.（ 2018 江苏高考，平面几何背景） 某农场有一块农田 ， 如图所示 ， 它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN（ P 为此圆弧的中点 ）和线段 MN 构成 已知圆 O 的半径为 40 米 ， 点 P 到 MN 的距离为 50 米 先规划在此农田上修建两个温室大棚 ， 大棚 内的地块形状为矩形 ABCD， 大棚 内的地块形状为 CDP ， 要求 ,AB均在线段 MN
7、上 ， ,CD均在圆弧上设 OC 与 MN 所成的角为 （ 1）用 分别表示矩形 ABCD 和 CDP 的面积 ， 并确定 sin 的取值范围 ； （ 2）若大棚 内种植甲种蔬菜 ， 大棚 内种植 乙 种蔬菜 ， 且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3 求当 为何值时 ， 能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 解析 :（ 1）连结 PO 并延长交 MN 于 H，则 PH MN，所以 OH=10 设甲的单位面积的年产值为 4k，乙的单位面积的年产值为 3k（ k0）， 则年总产值为 4k800（ 4sincos+cos） +3k1600（ cossincos） =8000k（ sincos+c
8、os）， 0， 2） 设 f（ ） = sincos+cos， 0， 2）， 则 2 2 2( ) c o s s i n s i n ( 2 s i n s i n 1 ) ( 2 s i n 1 ) ( s i n 1 )f 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 5 页 共 40 页 令 ( )=0f ，得 =6， 当 （ 0， 6）时， ( )0f ，所以 f（ ）为增函数； 当 （ 6， 2）时， ( ) k， . 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 26 页 共 40 页 22 0 2 0 2 0= = = 1 0112kx kkk ，当且仅当 =1
9、k 时取等号 . 炮的最大射程是 10 千米. （ 2） 0a ， 炮弹可以击中目标等价于存在 0k ，使 221 (1 ) =3 .220ka k a 成立， 即关于 k 的方程 2 2 22 0 6 4 = 0a k a k a 有正根 . 由 2 22= 2 0 4 6 4 0a a a 得 6a . 此时， 2 2222 0 2 0 4 6 4=02a a a aka （不考虑另一根） . 当 a 不超过 6 千 米时，炮弹可以击中目标 . *2.（ 2009 江苏 高考，函数背景 ） 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 a 元，如果他卖出该产品的单价为 m 元，则他的满
10、意度 为 mma ；如果他买进该产品的单价为 n 元，则他的满意度为 nna .如果一个人对两种交易 (卖出或买进) 的满意度分别为 1h 和 2h ，则他对这两种交易的综合满意度为12hh ，现假设甲生产 A、 B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元，乙生产 A、 B 两种产品的单件成本分别为 3 元和 20 元，设产品 A、 B 的单价分别为 Am 元和 Bm 元，甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为 h甲 ，乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为 h乙(1)求 h甲 和 h乙 关于 Am 、 Bm 的表达式；当 35ABmm时，求证： h甲 =h乙 ； (2)设 35ABmm
11、，当 Am 、 Bm 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ (3)记 (2)中最大的综合满意度为 0h ，试问能否适当选取 Am 、 Bm 的值，使得 0hh甲 和 0hh乙 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。 【解析】 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力。满分 16 分。 (1)当 35ABmm时， 2353 5 ( 2 0 ) ( 5 )125B BBB B BBm mmh m m mm 甲 ,2353 2 0 ( 5 ) ( 2 0 )35B BBB B BBm mmh m m mm 乙,
12、h甲 =h乙 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 27 页 共 40 页 （ 2）当 35ABmm时， 2211=,2 0 5 1 1( 2 0 ) ( 5 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 0 0 ( ) 2 5 1BBBB B B Bmhmmm m m m 甲由 1 1 1 5 , 2 0 , 2 0 5B Bm m得， 故当 1120Bm 即 20, 12BAmm时， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 105 。 （ 3）（方法一）由（ 2）知： 0h = 105由0 10= 1 2 5 5AB
13、ABmmhhmm 甲得： 1 2 5 52ABABmmmm， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m令 35,ABxymm则 1 ,14xy、 ，即： 5(1 4 )(1 ) 2xy 。 同理 ，由0 105hh乙得： 5(1 )(1 4 ) 2xy 另一方面， 1 ,14xy、 1 4 1xx 5、 1 + 4 y 2 , 5 , 、 1 + y , 2 ,255(1 4 ) (1 ) , (1 ) (1 4 ) ,22x y x y 当且仅当 14xy ，即 Am = Bm 时，取等号。 所以不能否适当选取 Am 、 Bm 的值，使得 0hh甲 和 0hh乙 同时成立，但等号不同时成立。w
14、.w.w.k.s.5.u.c.o.m*3. 在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有 2009 根现将它们堆放在一起 (1) 若堆放成纵断面为正三角 形 (每一层的根数比上一层根数多 1 根 )，并使剩余的圆钢尽可能地少，则剩余了多少根圆钢？ (2) 若堆成纵断面为等腰梯形 (每一层的根数比上一层根数多 1 根 )，且不少于七层， 共有几种不同的方案？ 已知每根圆钢的直径为 10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于 4m，则选南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 28 页 共 40 页 择哪个方案，最能节省堆放场地？ 解析： （ 1） 当纵断面为正三角形时，设共堆
15、放 n 层，则从上到下每层圆钢根数是以 1 为首项、 1 为公差的等差数列，且剩余的圆钢一定小于 n 根 从而由 2009 2 0 且 a 1， b 0) 对数函数模 型 f(x) blogax c (a， b， c 为常数， a0 且 a 1， b 0) 幂函数模型 f(x) axn b(a， b， n 为常数， a 0， n 0) 方法：（ 1）若已知函数类型，常 根据待定系数法确定函数解析式 （代点列方程） 。 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 29 页 共 40 页 （ 2）含参二次函数有解、最值问题的转化及 有理分式函数（尤其二次分式函数 edxcx baxy 2
16、 ）、无理函数等最值的求法 （导数法、不等式法） 。 2.数列背景函数模型方法： （ 1）等差、等比数列的通项与求和（ 2）数列的最值问题与数列中的不定方程求解。三、 方 法运用*例 1. 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题 .实践证明， 声音强度 D （分贝）由公式 lgD a I b(ab、 为非零常数 )给出，其中 )/( 2cmWI 为声音能量 .（ 1）当声音强度 321 , DDD 满足 321 32 DDD 时，求对应的声音能量 321 , III 满足的等量关系式； （ 2）当人们低声说话，声音能量为 213 /10 cmW 时，声音强度为 30 分贝；当人们
17、正常说话，声音能量为212 /10 cmW 时，声音强度为 40 分贝 .当声音能量大于 60 分贝时属于噪音，一般人在 100 分贝 120 分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪 .问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪 . 答案： (1) 33221 III ； (2) )10,10( 46 I 解析： （ 1） 321 32 DDD )lg(3)lg(2lg 321 bIabIabIa 321 lg3lg2lg III 33221 III （ 2）由题意得 4012 3013 ba ba 16010ba令 120160lg10100 I 可得 46 1010 I答：当声音能量 )10,10
18、( 46 I 时，人会暂时性失聪 . *例 2 有一种新型的洗衣液，去污速度特别快 .已知每投放 (1 4kk且 )kR 个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度 y （克/ 升）随着时间 x （分钟）变化的函数关系式近似为()y k f x ，其中 216 1 0 59()21 1 5 1 645xxfxxx .根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于 4 （克 /升）时，它才能起到有效去污的作用 . 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 30 页 共 40 页 （）若投放 k 个单位的洗衣液， 3 分钟时水中洗衣液的浓度为 4 （克 /升），求 k 的值 ； （）若
19、投放 4 个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？ 答案 :（） 125k ；（） 14. 解 析： （） 将 3x 代入 16( 1) 49k x ， 125k ； （）当 4k 时， 2164 ( 1 ) 0 5924 (1 1 ) 5 1 645xxyxx ， 当 05x时，由 4y ，解得 15x； 当 5 16x 时，由 4y ，解得 5 15x ； 所以 1 15x ，故有效去污时间可达 14分钟 . *例 3. 秸秆还田是当今世界上普通重视的一项培肥地力的增产措施，在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气污染的同时还有增肥增产作用 .某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田，花 137600
20、元购买了一台新型联合收割机，每年用于收割可以收入 6万元（已减去所用柴油费）；该收割机每年都要定期进行维修保养，第一年由厂方免费维修保养，第二年及以后由该农机户付费维修保养，所付费用 （元）与使用年数 的关系为： （ ，且 ），已知第二年付费 1800元，第五年付费 6000 元 . （ ）试求出该农机户用于维修保养的费用 （元）与使用年数 的函数关系； （ ）这台收割机使用多少年，可使平均收益最大？（收益 =收入 -维修保养费用 -购买机械费用） 答案 ： （） .（ ） 14. 解析：（ ）依题意，当 ， ； ， ， 即 ，解得 ， 所以 . （ ）记使用 年，年均收益为 （元）， 则依题意， ， ，