1、南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 1 页 共 33 页 专题 13： 圆锥曲线难点专项研究 目录 问题归类篇 . 2 类型一： 圆的轨迹问题 . 2 类型二：定值问题 . 6 类型三：定点定直线问题 . 19 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 2 页 共 33 页 问题 归类 篇 类型一： 圆的 轨迹问题 一、 高考 回顾 1(08 年高考题 )满足条件 AB 2， AC 2BC 的三角形 ABC 的面积的最大值是 答案 :2 2 解 :因为 AB 2(定长 )，可以以 AB 所在的直线为 x 轴，其中垂线为 y 轴建立直角坐标系， 则 A( 1， 0)
2、， B(1， 0)，设 C(x， y)， 由 AC 2BC 可得 (x 1)2 y2 2 (x 1)2 y2， 化简得 (x 3)2 y2 8，即 C 在以 (3， 0)为圆心， 2 2为半径的圆上运动 又 SABC 12AB| yc| |yc|2 2 2（ 13 年高考题） 如图 ， 在平面直角坐标系 xOy 中 ， 点 A(0， 3)， 直线 l： y 2x 4， 设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上 (1)若圆心 C 也在直线 y x 1 上 ， 过点 A 作圆 C 的切线 ， 求切线的方程 ； (2)若圆 C 上存在点 M， 使 MA 2MO， 求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围
3、答案 ： (1)y 3 或 3x 4y 12 0； (2)a 的取值范围为 0， 125 解：（ 1）由题设点 C(a， 2a 4)，又 C 也在直线 y x 1 上， 2a 4 a 1， a 3 C:(x 3)2 (y 2)2 1，由题，过 A 点切线方程可设为 y kx 3，即 kx y 3 0，则 |3k 1|k2 1 1，解得： k 0， 34，所求切线为 y 3 或 y 34x 3 （ 2）设点 C(a， 2a 4)， M(x0， y0)， MA 2MO， A(0， 3)， O(0， 0)， x02 (y0 3)2 4(x02 y02)，即 x02 y02 3 2y0，又点 M 在圆
4、 C 上， (x0 a)2 (y0 2a 4)2 1，两式相减得 ax0 (2a 3)y0 (5a22 8a 9) 0，由题以上两式有公共点，|a2 (2a 3)(2a 4) (5a22 8a 9)|a2 (2a 3)2 1 整理得： |5a22 6a 3| 5a2 12a 9，即 (5a2 12a 6)2 4(5a2 12a 9)，令 t 5a2 12a 6，则 t2 4(t 3)，解得： 2 t 6， 2 5a2 12a 6 6，解得： 0 a 125 3（ 17年高考题） .在平面直角坐标系 xOy 中 ,A( 12， 0)， B(0， 6)， 点 P 在圆 Ox2 y2 50 上 ,若
5、 PA PB 20，则点 P 的横坐标的取值范围是 . 答案： 5 2， 1 二、方法联想 1.定义圆 x y A l O B 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 3 页 共 33 页 已知平面上 一定 点 A， 则满足 PA r(r 0) 的点 P 的轨迹是一个圆 2.阿波罗尼斯圆 结论 1： 已知平面上两 定 点 A、 B，则所有满足 PAPB k(k 0 且 k 1)的点 P 的轨迹是一个圆 3.向量数量积圆 结论 2： 已知平面上两 定 点 A、 B， 且 AB m，则所有满足 PA PB ( m24 0)的点 P 的轨迹是一个圆 推导方法 1：取 AB 中点 M，
6、PA PB (PM MA )(PM MB ) |PM |2 |MA |2 |PM |2 m24 ，所以 |PM |2 m24 . 推导方法 2：建系设点法 . 4.距离平方圆 结论 3： 已知平面上两 定 点 A、 B， 且 AB m，则所有满足 PA 2 PB2 (其中 2 m24 0 ) 的点 P 的轨迹是一个圆 推导方法 1：建系设点法 . 推导方法 2：取 AB 中点 M.利用余弦定理代入 cos PMA cos PMB 化简得 |PM|2 2 m24 . 推导方法 3：取 AB 中点 M.利用 “ 平行四边形四边的平方和等于对角线的平方和 ” 得 PA 2 PB2 2(AM2PM2)
7、 2(m2)2 PM2) 得 PM2 2 m24 . 5.求轨迹方程的常用方法有 ： (1)直接法：直接利用条件建立 x， y 之间的关系 F(x， y) 0. (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程 . (3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程 . (4)代入 (相关点 )法：动点 P(x， y)依赖于另一动点 Q(x0， y0)的变化而运动，常利用代入法求动点 P(x，y)的轨迹方程 . (5)参数法 . 三、 方法应用 例 1.已知直线 22y kx k 与曲线 232xy x 交于 AB， 两点，平面上的动点 P 满足 2PA
8、 PB ，则|PO 的最大值为 解： 由 2 ( 2)y k x 知直线过定点 M 2,2（ ） ， 由 2 3 1= 2+22xy xx 知定点 M 2,2（ ） 为曲线的对称中心 ，即点 M 为 AB 的中点，所以= 2| 2P A P B P M |，故点 P 的轨迹为以 M 为圆心 1 为半径的圆（及内部），所以 | | | |+1= 2 2 +1P O O M . 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 4 页 共 33 页 例 2. 已知等边 三角形 ABC 的边长为 2，点 P 在线段 AC 上，若满足等式 PA PB 的点 P 有两个，则实数 的取值范围是 答案：
9、 14 0 （方法一：以 AC 中点为原点， AC 所在 的直线为 x 轴，设 P(x， 0)( 1 x 1) 转化为方程有两解问题；方法二：以 AB 中点为原点， AB 所在的直线为 x 轴，转化为圆与线段有两个公共点问题；方法三：向量投影法，记 AP=x，问题可化为 PA PB PA ( PA AB ) PA 2 AP AB x2 x 在 x 0， 2 上有两解） 例 3 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知 A， B 为 圆 C： (x 4)2 (y a)2 16 上两个动点，且 AB 2 11 若直线 l： y 2x 上存在唯一的一个点 P， 使得 PA PB OC ，则实数 a 的值
10、为 答案： 2 或 -18 （考查 弦 AB 中点的轨迹，点 P 轨迹，直线与圆的位置关系） 四 、归类 研究 *1 等腰三角形 ABC 中， AB AC，腰 AC 上的中线 BD 2，则 ABC 面积的最大值为 _ 答案： 83 . (利用等腰三角形的性质得到 AB 2AD，则点 A 是圆上动点，即求圆上动点到直线距离的最值 ) *2在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y k(x 3 3)上存在一点 P，圆 x2 (y 1)2 1 上存在一点 Q，满足 OP 3OQ，则实数 k 的最小值为 答案： 3 （考查代入法求轨迹，直线与圆的位置关系 ） *3 已知 ABC 中， AB AC 3，
11、ABC 所在平面内存在点 P 使得 PB2 PC2 3PA 2 3，则 ABC 面积的最大值为 答案：5 2316 （建系转化为两轨迹圆有公共点问题研究面积最值） *4.在平面直角坐标系 xOy 中 ,点 A(1,0),B(0,4) 若 圆 2 2 2( x m ) ( m 0 , )y m m R 上 不 存在 两点 P 使得 225PA PB ,则实数 m 的取值范围是 _ 答案 : 5 5 1708m . (知道轨迹的常见结论，更需要知道求轨迹的方法本身 ) *5.点 P 是 圆 C： x2 y2 1 上动点 ， 已知 A( 1,2)， B(2,0)，则 PA12PB 的最小值为 _ 答
12、案： 52 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 5 页 共 33 页 (已知动点轨迹为圆，将 12PB 转化为 P 到一个定点的距离，即求动点到两个定点距离之和） *6.已知椭圆 M： x2a2y2b2 1(a b 0)的离心率为12,一个焦点到相应的准线的距离为 3,圆 N 的方程为 (xc)2 y2 a2 c2(c 为半焦距 ),直线 l： y kx m(k0)与椭圆 M 和圆 N 均只有一个公共点 ,分别设为 A,B 点P 在圆 N 上 ,且 PBPA 2 2，则点 P 的坐标为 答案： ( 1,1)或 ( 913,1913) (已知动点到到两个定点距离之比为定值，求定
13、点坐标 ) *7. 已知点 A(0， 1)， B(1， 0)， C(t， 0)， 点 D 是直线 AC 上的动点 ， 若 AD 2BD 恒成立 ， 则最小正整数 t 的值为 _ 答案 . 4 解析： 直线 AC 的方程为 xt y 1 即 x ty t 0， 设 D(x， y)， AD 2BD 即 AD2 4BD2， x2 (y 1)2 4(x 1)2 y2， x432 y 132 89表示圆外区域及圆周上的点 ， 直线 x ty t 0 与圆 x 432 y 132 89相离 ， 4313t t1 t2 2 23 ， 化简得 t2 4t 1 0， 解得 t 2 3或 t 2 3. 正整数 t
14、 的值的值为 4. （ 本题考查直线与圆的位置 ， 一元二次不等式解法 ， 以及数形结 合思想的运用 ） 8.平面直角坐标系 xOy 中，已知 F1、 F2 分别是椭圆 C：x24 y2 1 的左、右焦点 . 在 椭圆 C 上任取一点 P，点 Q 在 PO 的延长线上，且 OQO=2 *（ 1）当点 P 在椭圆 C 上运动时，求点 Q 形成的轨迹 E 的方程； *（ 2）若过点 P 的直线 l： y=x+m 交（ 1）中的曲线 E 于 A， B 两点，求 ABQ 面积的最大值 解： (1)设 Q(x， y)， P(x1， y1) ，由题 OQO=2 知， OQ 2PO 得 (x， y) 2(
15、x1， y1) x 2x1y 2y1x1 12xy1 12y因为 x124 y12 1 所以轨迹 E 的方程为 x216y24 1 . (2)设 A(x1， y1)B(x2， y2) 由 x216 y24 1y x m得 5x2 8mx 4m2 16 0(*) 此式 0 显然成立， x1 x2 85m， x1x2 4m2 165 ， AB 1 1|x1 x2| 2 (x1 x2)2 4x1x2 4 40 2m25 设 P(x1， y1) ，由（ 1）知 Q( 2x1， 2y1) ，因为 y1 x1 m ， y1 x1 m ，点 Q 到直线 l 的距离为 d | 2x1 2y1 m|2 |2m
16、m|2 3 22 |m| ， ABQ 面积 S 12AB d 12*4 40 2m25 3 22 |m|65 m2(20 m2) 65 (m2 10)2 100 由南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 6 页 共 33 页 x24 y2 1y x m得 5x2 8mx 4m2 4 0 此式 0 解得 0 m2 5 ，所以当 m2 5 时， ABQ 面积的最大值为 6 3 . （ 本题 考查了求轨 迹问题、直线与椭圆的位置关系、弦长公式及函数最值问题， 求面积最值时定义域问题易错，隐藏了直线与原椭圆的位置关系，最终二次函数不是在对称轴取得最大值，而是端点处 .） 类型 二 ： 定
17、值问题 一、 高考 回顾 1（ 12 年高考题 ） .如图，在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的左、右焦点分别为 F1( c，0)， F2(c， 0)已知 (1， e)和 (e， 32 )都在椭圆上，其中 e 为 椭圆的离心率 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）设 A， B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点，且直线 AF1 与直线 BF2 平行， AF2 与 BF1 交于点 P （ i）若 AF1 BF2 62 ，求直线 AF1 的斜率； （ ii）求证： PF1 PF2 是定值 解： （ 1）椭圆的方程为 x22 y2 1. （ 2） （ i） 延长 A
18、F1交椭圆于点 B1,设 A(x1， y1)， B1(x2， y2)，设 直线 AF1 的斜率 为 k(k 0) ， 由 y k(x 1)x2 2y2 1 (1 2k2)x2 4k2x 2k2 2 0 x1 x2 4k22k2 1， x1x22k2 22k2 1 ， (*) 由椭圆第二定义及对称性可知 AF1 BF2 AF1 B1F1 (x1 a2c )e (x2a2c )e22 (x1 x2) AF1 BF22 12(x1 x2)2 12(x1 x2)2 4x1x2 ( 62 )2 将 (*)代入解得 12k4 4k2 5 0 , k2 12 或 56 (舍 ), 又 k 0， 所以 k 2
19、2 . （ ii） 当直线 AF1 的斜率不存在时， A 1 22 ，直线 AF2:y 24 (x 1) ，得 P 点坐标为 (0， 24 ) ， PF1PF2 3 24 ,PF1 PF2 3 22 . 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 7 页 共 33 页 当 直线 AF1 的斜率存在时，因为 AF1 BF2 ,PF1PB AF1BF2, PF1PB PF1 AF1BF2 AF1,所以 PF1 AF1AB1 BF1AF1AB1 (2a BF2) ,同理可证 PF2BF2AB1 (2a AF1),所以 PF1 PF2AF1AB1 (2a BF2)BF2AB1 (2a AF1
20、) 2a2AF1 B1F1AB1 ,又AF1 B1F1AB1 (ex1 a)(ex2 a)ex1 a ex2 ae2x1x2 ea(x1 x2) a2e(x1 x2) 2a 12x1x2 (x1 x2) 222 (x1 x2) 2 2，将（ i） 中的 (*)代入上式得 AF1 B1F1AB1 24 ， PF1 PF2 3 22 . 综上 . PF1 PF2 是定值 3 22 . （第二问也可以利用向量共线转化为求 P 点轨迹是椭圆问题） 二、方法联想 方法 1 从特殊入手 ， 求出定值 ， 再证明这个值与变量无关 方法 2 直接推理、计算 ， 并在计算推理的过程中消去变量 ， 从而得到定值
21、（对于某些特殊问题注意 平面几何知识的应用） 三、 方法应用 例 1.已知抛物线 C： 2y =2px 经过点 P （ 1， 2）过点 Q（ 0， 1）的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N （ ）求直线 l 的斜率的取值范围； （ ）设 O 为原点， QM QO ， QN QO ，求证： 11 为定值 解： （ 1） 因为抛物线 2 2y px 经过点 1,2P ， 所以 42p ，解得 2p ，所以抛物线的方程为 2 4yx 由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0， 设直线 l 的方程为 10y kx k 由 2
22、4 1yxy kx 得 22 2 4 1 0k x k x 依题意 2 22 4 4 1 0kk ， 解得 0k 或 01k 又 PA ， PB 与 y 轴相交，故直线 l 不过点 1, 2 ， 从而 3k ， 所以直线 l 斜率的取值范围是 , 3 3, 0 0 ,1 （ 2）设 11,Ax y ， 22,Bx y 由（ 1）知12 224kxx k ，12 21xx k， 直线 PA 的方程为 112 211yyxx 令 0x ，得点 M 的纵坐标为 112122M y k xy xx 同理得点 N 的纵坐标为 221 21N kxy x 由 =QM QO ， =QN QO 得 =1 My
23、 ， 1 Ny 221 2 1 2121 2 1 2 22 2 42111 1 1 1 1 1211 1 1 1 1 1MNkx x x xxxkky y k x k x k x x kk ， 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 8 页 共 33 页 所以 11为定值 例 2.在平面直角坐标系 xOy 中 ，设中心在坐标原点的椭圆 C 的 左 、 右焦点分别为 F1、 F2， 右准线 l： x m 1 与 x 轴的交点为 B， BF2 m （ 1） 已知 点 ( 62 ， 1)在 椭圆 C 上 ，求实数 m 的值； （ 2） 已知 定点 A( 2， 0) 若 椭圆 C 上存在
24、点 T，使得 TATF1 2， 求椭圆 C 的离心率的取值范围； 当 m 1 时，记 M 为椭圆 C 上 的 动点，直线 AM， BM 分别与椭圆 C 交于另一点 P， Q， 若 AM AP ， BM BQ ， 求证： 为定值 解： （ 1）设椭圆 C 的方程为 x2a2y2b2 1(a b 0) 由题意，得a2c m 1，(m 1) c m，解得a2 m 1，b2 m，c 1所以椭圆方程为 x2m 1y2m 1 因为椭圆 C 过点 ( 62 ， 1)，所以 32(m 1) 1m 1， 解得 m 2 或 m 12 (舍去） 所以 m 2 （ 2） 设点 T(x， y) 由 TATF1 2，得
25、(x 2)2 y2 2(x 1)2 y2， 即 x2 y2 2 由x2 y2 2，x2m 1y2m 1，得 y2 m2 m 因此 0 m2 m m，解得 1 m 2 所以 椭圆 C 的 离心率 e 1m 1 33 ， 22 （方法一） 设 M(x0， y0)， P(x1， y1)， Q(x2， y2) 则 AM (x0 2， y0)， AP (x1 2， y1) 由 AM AP， 得 x0 2 (x1 2)，y0 y1从而 x0 x1 2( 1)，y0 y1因为 x022 y02 1，所以x1 2( 1)22 (y1)2 1 x y A O B M P Q （第 18 题图） F2 F1 l
26、南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 9 页 共 33 页 即 2(x122 y12) 2( 1)x1 2( 1)2 1 0 因为 x122 y12 1，代入得 2 ( 1)x1 32 4 1 0 由题意知， 1， 故 x1 3 12 ，所以 x0 32 同理可得 x0 32 因此 32 32 ， 所以 6 （方法 二 ） 设 M(x0， y0)， P(x1， y1)， Q(x2， y2) 直线 AM 的方程为 y y0x0 2(x 2) 将 y y0x0 2(x 2)代入 x22 y2 1，得 (12(x0 2)2 y20)x2 4y20x 4y20 (x0 2)2 0(*)
27、 因为 x022 y02 1，所以（ *）可化为 (2x0 3)x2 4y20x 3x20 4x0 0 因为 x0x1 3x20 4x02x0 3 ，所以 x13x0 42x0 3 同理 x2 3x0 42x0 3 因为 AM AP， BM BQ ， 所以 x0 2x1 2 x0 2x1 2 x0 2 3x0 42x0 3 2 x0 23x0 42x0 3 2 (x0 2)(2x0 3)x0 2 (x0 2)(2x0 3) x0 2 6 即 为定值 6 (考查离心率范围，定值问题及计算能力 ) 例 3.如图， 椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)的离心率为22 ，焦点到相应准线的距离为 1，点
28、 A,B,C 分 别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点 C 的直线 l 交椭圆于点 D,交 x 轴于点 1( ,0)Mx ，直线 AC 与直线 BD 交于点 22( , )N x y （ 1）求椭圆的方程； （ 2）若 2CM MD ，求直线 l 的方程 ； （ 3）求证： 12xx 为定值 . 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 10 页 共 33 页 解（ 1）由椭圆的离心率为 22 ，焦点到对应准线的距离为 1. 得 2221caa cc 解得 2, 1ac 所以，椭圆的标准方程为 2 2 12x y. （ 2）由（ 1）知 (0,1)C ，设 00( , )Dx y
29、 ， 因为 2CM MD ， 得 021y ，所以0 12y ， 代入椭圆方程得0 62x ，所以 61( , )22D ， 所以 l 的方程为： 6 12yx或 6 12yx . （ 3）设 D 坐标为 (x3， y3） ,由 (0,1)C ， M(x1， 0)可得直线 CM 的方程11 1yxx ， 联立椭圆方程得： 1221 112yxxx y 解得 21133221142,22xxxyxx. 由 ( 2,0)B ，得直线 BD 的方程： 212112 ( 2 )2 4 2 2xyxxx ， 直线 AC 方程为 2 12yx， 联立 得2 12x x， 从而 12xx =2 为定值 .
30、解法 2：设 D 坐标为 (x3， y3）， 由 C,M,D 三点共线得 31 3 11 yx x x，所以 3131xx y ， 由 B,D,N 三点共线得 3 23222y yxx，将 222 12yx 代入可得 332332 2 222xyx yx ， 和 相乘得， 23 3 3 3 3 3 312 23 3 3 3 3 3 32 2 2 2 2 21 2 2 2 2x x y x x y xxx y y x y x y x 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 11 页 共 33 页 23 3 3 3233 3 32 2 2=22 (1 ) 22x x y xx x y
31、 x . 四 、归类 研究 1 如图 ， 在直角坐标系 xOy 中 ， O 为直角坐标系的原点 ， 椭圆 T:x2a2y2b2 1(a b 0)过点 P( 3，12)，且椭圆 T 的离心率为 32 ， 已知椭圆 T 的内接四边形 ABCD(逆时针排列 )的对角线 ACBD 均过坐标原点 ，且 AC BD * (1) 求椭圆 T 的方程 ； * (2) 求证 : 1OA2 1OB2 1OC2 1OD2为定值 ， 并求出这个定值 ； 解 :在椭圆 T 中 ， 3a2 14b2 1， 又 ca 32 c 32 a， b a2 32 a 2 12a， 代入 解得 a 2， b 1 椭圆 T 的方程为
32、x24 y2 1 (2) 证明 :由于点 A 与 CB 与 D 关于原点对称 ， 故 OA OC， OB OD， 从而 1OA2 1OB2 1OC2 1OD22 1OA2 1OB2 ， 设直线 OA 的斜率为 k， 则直线 OA:y kx， 代入椭圆的方程得 x2 41 4k2， OA2 x2 k2x2 (1 k2)x2 4(1 k2)1 4k2 ， 用 1k代替 k， 可得 OB24 1 1k 21 4 1k 2 4(k2 1)k2 4 ， 1OA2 1OB2 1 4k24(1 k2)k2 44(k2 1)5(k2 1)4(k2 1)54 又当 k 0 或 k 不存在时 ， OAOB 分别是
33、椭圆的长半轴 短半轴的长 (可交换 )， 1OA2 1OB2 122 11254 综上所述 ， 1OA2 1OB2 1OC2 1OD2为定值 52 （本题考查简单的定值计算问题，也可以设点坐标利用椭圆方程求解） 2 如图 ， 已知椭圆 C:x212y24 1， 点 B 是其下顶点 ， 过点 B 的直线交椭圆 C 于另外一点 A(点 A 在 x轴下方 )， 且线段 AB 的中 点 E 在直线 y x 上 * (1) 求直线 AB 的方程 ； *(2) 若点 P 为椭圆 C 上异于 A， B 的动点 ， 且直线 AP， BP 分别交直线 y x 于点 M， N， 证明 :OMON南京市 2019
34、届高三 数学 二轮专题复习资料 第 12 页 共 33 页 为定值 解 : (1)设点 E(m， m)， 由 B(0， 2)得 A(2m， 2m 2) 代入椭圆方程得 4m212 (2m 2)24 1， 即m23 (m 1)2 1， 解得 m 32或 m 0(舍 ) 所以 A( 3， 1)， 故直线 AB 的方程为 x 3y 6 0 (2) 证明 :设 P(x0， y0)， 则 x2012y204 1， 即 y20 4x203 设 M(xM， yM)， 由 A， P， M 三点共线 ， 即 AP AM ， (x0 3)(yM 1) (y0 1)(xM 3) 又点 M 在直线 y x 上 ， 解
35、得 M 点的横坐标 xM 3y0 x0x0 y0 2 设 N(xN， yN)， 由 B， P， N 三点共线 ， 即 BP BN ， x0(yN 2) (y0 2)xN， 点 N 在直线 y x 上 ， 解得 N 点的横坐标 xN 2x0x0 y0 2 OMON 2|xM 0| 2|xN 0| 2|xM|xN| 2| 3y0 x0x0 y0 2| 2x0x0 y0 2| 2| 2x20 6x0y0(x0 y0)2 4| 2|2x20 6x0y0x20 2x0y0 x203| 2|x20 3x0y0x203 x0y0| 6 (本题考查利用椭圆方程进行消元化简求最值问题 ，利用向量共线知识避免斜率
36、讨论问题 ) 3 在平面直角坐标系 xOy 中 ， 已知椭圆 C:x2a2y2b2 1(a b 0)的离心率为22 ， 且过点 1， 62 ， 过椭圆的左顶点 A 作直线 l x 轴 ， 点 M 为直线 l 上的动点 (点 M 与点 A 不重合 )， 点 B 为椭圆右顶点 ， 直线 BM交椭圆 C 于点 P * (1) 求椭圆 C 的方程 ； *(2) 求证 :AP OM； *(3) 试问 OP OM 是否为定值 ?若是定值 ， 请求出该定值 ； 若不是定值 ， 请说明理由 解 : 椭圆 C:x2a2y2b2 1(a b 0)的离心率为22 ， a2 2c2， 则 a2 2b2 又椭圆 C 过
37、点 1， 62 ， 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 13 页 共 33 页 1a2 32b2 1 a2 4， b2 2， 则椭圆 C 的方程为 x24y22 1 (2) 证明 :设直线 BM 的斜率为 k， 则直线 BM 的方程为 y k(x 2)， 设 P(x1， y1)， 将 y k(x 2)代入椭圆 C 的方程 x24y22 1 中并化简 ， 得 (2k2 1)x2 4k2x 8k2 4 0， 解得 x1 4k2 22k2 1， x2 2， y1 k(x1 2) 4k2k2 1， 从而 P4k2 22k2 1， 4k2k2 1 令 x 2， 得 y 4k， M( 2
38、， 4k)， OM ( 2， 4k) 又 AP 4k2 22k2 1 2， 4k2k2 1 8k22k2 1， 4k2k2 1 ， AP OM 16k22k2 116k22k2 1 0， AP OM (3) 解 :OP OM 4k2 22k2 1， 4k2k2 1 ( 2， 4k) 8k2 4 16k22k2 1 8k2 42k2 1 4 OP OM 为定值 4 (考查简单的定值问题 ) 4.已知椭圆 E:x2a2y2b2 1(a b 0)过点 (0， 1)，且离心率为32 *（ 1）求椭圆 E 的方程； *（ 2）设直线 l:y 12x m 与椭圆 E 交于 A、 C 两点，以 AC 为对角
39、线作正方形 ABCD，记直线 l 与 x 轴的交点为 N，问 B、 N 两点间距离是否为定值？如果是， 求出定值；如果不是，请说明理由 解（ 1）设椭圆的半焦距为 c 因为点 (0， 1)在椭圆 C 上，所以 b 1故 a2 c2 1 又因为 e ca 32 ，所以 c 3， a 2 所以椭圆 C 的标准方程为 : x24 y2 1 （）设 A(x1， y1)， C(x2， y2)，线段 AC 中点为 M(x0， y0) 联立 y 12x m 和 x2 4y2 4 0，得 : x2 2mx 2m2 2 0 由 (2m)2 4(2m2 2) 8 4m2 0，可得 2 m 2 所以 x1 x2 2
40、m， x1x2 2m2 2 所以 AC 中点为 M( m， 12m) 弦长 |AC| (x1 x2)2 (y1 y2)2 54(x1 x2)2 4x1x2 10 5m2， 又直线 l 与 x 轴的交点 N( 2m， 0)， 所以 |MN| ( m 2m)2 (12m)2 54m2 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 14 页 共 33 页 所以 |BN|2 |BM|2 |MN|2 14|AC|2 |MN|2 52 所以 B、 N 两点间距离为定值 102 (考查弦长公式，勾股定理求定值问题 ) 5.已知椭圆 C： x225y29 1 的右焦点为 F，过 F 作与坐标轴不垂直的
41、直线 l，交椭圆于 A， B 两点，线段 AB的中垂线 l交 x 轴于点 M *（ 1）若 BF 2，求 B 点坐标； *（ 2） 问： ABFM是否为定值 答案：（ 1）（ 154 ， 3 74 ） （ 2） ABFM是定值 为 52 （直接计算求定值，考查圆锥曲线的统一定义、点差法及 平面几何性质 等） 6 如图 ， 在平面直角坐标系 xOy 中 ， 椭圆 C: x2a2y2b2 1(a b 0)的离心率为63 ， 直线 l 与 x 轴交于点 E， 与椭圆 C 交于 AB 两点 当直线 l 垂直于 x 轴且点 E 为椭圆 C 的右焦点时 ， 弦 AB 的长为 2 63 * (1) 求椭圆 C 的方程 ； *(2) 若点 E 的坐标为 32 ， 0 ， 点 A 在第一象限且横坐标为 3， 连结点 A 与原点 O 的直线交椭圆 C于另一点 P， 求 PAB 的面积 ； *(3) 是否存在点 E， 使得 1EA2 1