1、南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 1 页 共 18 页 专题二：函数的图像与性质 目录 问题归类篇 . 2 类型一：函数的值域和最值 . 2 类型二：函数的单调性 . 5 类型三：函数的奇偶性和周期性 . 7 类型四：函数图像 . 9 综合应用篇 . 12 一、例题分析 . 12 二、反馈巩固 . 14 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 2 页 共 18 页 问题 归类 篇 类型一： 函数的值域 和最值 一、前测回顾 1求下列函数的值域： （ 1） y sin(2x 3)， x 0， 6的值域是 _； （ 2） y 1 x21 x2的值域是 _； （ 3
2、） y x 1 x的值域是 _； （ 4） f(x) (12)x x， x 1， 2 的值域是 _； （ 5） f(x) x2 2x2 1的值域是 _ 答案：（ 1） 32 ， 1；（ 2） ( 1， 1；（ 3） ( ， 54；（ 4） 74， 3；（ 5） 2 2 1， ) 2 函数 f(x) xlnx 的值域是 _ 答案： 1e， ) 二、方法联想 值域求法： 1 初等方法： （ 1）图象法；（ 2）复合函数法；（ 3）分离常数或反解法；（ 4）换元法；（ 5）单调性法； （ 6）基本不等式法；（ 7）配方法 2 高等方法 （终极方法） ： 导数法 三、 方法 应用 例 1 函数 y x
3、 2 x 2的值域是 _ 解析 设 x 2 t，则 x t2 2， t 0， )，此时 y t2 2t 2 (t 1)2 3 3，故所求值域是 3， ) 例 2 若函数 f(x) x 6， x2，3 logax， x 2(a 0，且 a1)的值域是 4， )，则实数 a 的取值范围是 _ 解析 函数 f(x)的大致图像如图所示 当 x2 时， f(x) 4， )， 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 3 页 共 18 页 要使 f(x)在 R 上的值域是 4， )， 只需当 x2 时， f(x) 4， )， a1，3 loga24， 解得 10. (1)求 f(x)的单调区间
4、和极值； (2)当 x 1， e时，求 f(x)的 最小值 解 (1)函数的定义域为 (0， ) 由 f(x) x22 kln x(k0)得 f(x) xkxx2 kx . 由 f(x) 0 解得 x k(负值舍去 ) f(x)与 f(x)在区间 (0， )上的变化情况如下表： x (0， k) k ( k， ) f(x) 0 f(x) k(1 ln k)2 所以， f(x)的单调递减 区间是 (0， k)，单调递增区间是 ( k， ) f(x)在 x k处取得极小值 f( k) k(1 ln k)2 . (2)由 (1)知，当 k e即 ke 时， f(x)min f( e) e2 k2.
5、当 1 k e即 1ke 时， f(x)min f( k) k(1 ln k)2 . 当 ke.南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 4 页 共 18 页 四、归类巩固 *1 函数 y 16 4x的值域是 _ 答案： 0,4) *2 函数 y x x(x0)的最大值为 _ 解析： y x x ( x)2 x x 12 2 14， ymax 14 答案： 14 *3设函数 f(x) 12(x |x|)，则函数 ff(x )的值域为 _ 解析： 先去绝对值， 当 x0 时， f(x) x，故 ff(x) f(x) x， 当 x 0 时， f(x) 0，故 ff(x) f(0) 0，
6、 即 ff(x) x， x0， x 易知其值域为 0， ) 答案： 0， ) *4 已知函数 f(x)满足 2f(x) f 1x 3x2，则 f(x)的值域为 _ 解析： 由 2f(x) f 1x 3x2 令 式中的 x 变为 1x可得 2f 1x f(x) 3x2 由 可解得 f(x) 2x2 x2，由于 x2 0， 因此由基本不等式可得 f(x) 2x2 x22 2x2x2 2 2， 当 x2 2时取等号，因此其最 小值为 2 2，值域为 2 2， ) 答案： 2 2， ) *5 若函数 f(x)23 2x， x9，4logax 3， x 9 (a 0 且 a1)的值域是 5， )，则实数
7、 a 的取值范围是 答案： (1， 3 *6 定义 mina， b， c为 a， b， c 中的最小值，设 f(x) min2x 3， x2 1， 5 3x ，则 f(x)的最大值是 _ 答案： 2 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 5 页 共 18 页 类型 二 ： 函数 的 单调性 一、前测回顾 1 （ 1）函数 f(x) 2x 1x 1 的增区间为 ； （ 2） f(x) log12(x2 2x)的增区间为 ； 答案：（ 1） ( ， 1)和 ( 1， )； （ 2） ( ， 0) 2 f(x) lnx 2x2的减区间为 答案： (12， ) 二、方法联想 方法 1：
8、 图象法； 方法 2： 导数法； 方法 3： 定义法； 方法 4： 复合函 数法 判断函数的单调性优先考虑定义域，方法选择可先考虑图象法，再考虑复合函数法，关键时候用导数法，别忘了定义法 注意： 单调性证明只能用导数法和定义法 三、 方 法应用 例 1 (1)函数 f(x) |x 1| 2|x|的单调递增区间是 _ (2)函数 f(x) log2(x2 2x)的单调递减区间是 _ (1)去掉绝对值，利用一次函数的单调性求解； (2)利用复合函数的单调性求解 (1)(0， ) (2)( ， 0) 解析 (1)易知 f(x) 3x 1， x0，x 1， 0 1， 4x2 5x 23 253 ，所以
9、 f(x)在 ( 2， 2)上单调递减，而 f(0) 23，所以 01， x 1， 1 x0 得 x 12，由 g(x)12时， g(x)0，所以其大致图像如图所示 直线 y ax a 过点 (1， 0) 若 a 0，则 f(x)0. 结合函数图像可知，存在唯一的整数 x0，使得 f(x0)0 在 x 1， )上恒成立，只需 a 30，即 a 3， 30， a 3. 01 时， f(x)在 1， a上为减函数，在 ( a， )上为增函 数，所以 f(x)在 1， )上的最小值是 f( a) 2 a 2， 2 a 20，显然成立 综上所述， f(x)在 1， )上恒大于零时， a 的取值范围是
10、( 3， ) (考查函数的单调性 ,不等式恒成立 ). *17 设函数 f(x) kax a x (a 0 且 a1)是奇函数 (1)求 k 的值； (2)若 f(1) 0，解关于 x 的不等式 f(x2 2x) f(x 4) 0； (3)若 f(1) 32，且 g(x) a2x a 2x 2mf(x)在 1， )上的最小值为 2，求 m 的值 解 (1)因为 f(x)是奇函数，且 f(0)有意义，所以 f(0) 0，所以 k 1 0， k 1. 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 18 页 共 18 页 (2)因为 f(1) 0，所以 a 1a 0， a 1， f(x) a
11、x a x是 R 上的单调增函数 于是由 f(x2 2x) f(x 4) f(4 x)，得 x2 2x 4 x，即 x2 3x 4 0，解得 x 4 或 x 1. (3)因为 f(1) 32，所以 a 1a 32，解得 a 2(a 0)，所以 g(x) 22x 2 2x 2m(2x 2 x) (2x 2 x)2 2m(2x 2 x) 2.设 t f(x) 2x 2 x，则由 x1， 得 tf(1) 32， g(x) t2 2mt 2 (t m)2 2 m2. 若 m32，则当 t m 时， ymin 2 m2 2，解得 m 2. 若 m 32，则当 t 32时， ymin 174 3m 2，
12、解得 m 2512(舍去 )综上得 m 2. (考查函数的奇偶性和单调性 ). *18 定义在 D 上的函数 f(x)，如果满足： x D， 常数 M 0，都有 | f(x)|M 成立，则称 f(x)是 D上的有界函数，其中 M 称为函数 f(x)的上界 .已知函数 f(x) 1 x ax2. （ 1）当 a 1 时，求函数 f(x)在 ( ， 0)上的值域，判断函数 f(x)在 (， 0)上是否为有界函数，并说明理由； （ 2）若函数 f(x)在 1， 4上是以 3 为上界的有界函数，求实数 a 的取值范围 . 答案：（ 1）函数 f(x)在 ( ， 0)上不是有界函数 . （ 2）实数 a 的取值范 围为 12， 18 (考查转化的思想方法，不等式的恒成立与二次函数的最值问题，分离变量讨论参数范围 ).