1、专题 14 直线与圆（1）【自主热身，归纳总结】1、 在平面直角坐标系 xOy中，已知过点 A(2，1)的圆 C与直线 xy1 相切，且圆心在直线 y2x上，则圆 C的标准方程为_【答案】： (x1) 2(y2) 22 解法 1(几何法) 点 A(2，1)在直线 xy1 上，故点 A是切点过点 A(2，1)与直线 xy10 垂直的直线方程为 xy3，由 解得 所以圆心 C(1，2)x y 3，y 2x， ) x 1，y 2， )又 AC ，（ 2 1） 2 （ 1 2） 2 2所以圆 C的标准方程为(x1) 2(y2) 22.2、 在平面直角坐标系 xOy中，直线 x2 y30 被圆( x2)
2、 2( y1) 24 截得的弦长为 【答案】： .2555【解析】 圆心为(2，1)，半径 r2.圆心到直线的距离 d ，|2 2 1 3|1 4 355所以弦长为 2 2 .r2 d222 355 2 25553、 若直 线 与圆 始终有公共点，则实数 m的取值范围是 【答案】：0 m10.【解析】 因为 ，所以由题意得： ,化简得 5即 0 m10.4、 在平面直角坐标系 xOy中，以点 )0,1(为圆心且与直线 ( R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 【答案】：( x1) 2 y22.【解析】 由直线 mx y2 m10 得 m(x2)( y1)0，故直线过点(2，1)当切线与
3、过(1，0)，(2，1)两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有 r ，故所求圆的标准方程为( x1)1 1 22 y22.5、圆心在抛物线 y x2上，并且和该抛物线的准线及 y轴都相切的圆的标准方程为_12【 答案】： ( x1)2 21 (y12)思路分析 求圆的方程就是要确定它的圆心与半径，根据圆与抛物线的准线以及与 y轴都相切，得到圆心的一个等式，再根据圆心在抛物线上，得到另一个等式，从而可求出圆心的坐标，由此可得半径因为圆心在抛物线 y x2上，所以设圆心为( a， b)，则 a22 b.又圆与抛物线的准线及 y轴都相切，故12b | a| r，由此解得 a1， b ， r1，所以所
4、求圆的方程为( x1)2 21.12 12 (y 12)解后反思 凡涉及抛物线上点到焦 点的距离或到准线的距离时，一般运用定义转化为到准线的距离或到焦点的距离来进行处理，本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求圆心的坐标6、在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 C1：( x4) 2( y8) 21，圆 C2：( x6) 2( y6) 29，若圆心在x轴上的圆 C同时平分圆 C1和圆 C2的圆周，则圆 C的方程是_7、. 在平面直角坐标系 xOy中，已知过点 M(1,1)的直线 l与圆( x1) 2( y2) 25 相切，且与直线ax y10 垂直，则实数 a_.【答案】： 12思路分析 可
5、用过圆上一点的切线方程求解；也可用垂直条件，设切线方程( x1) a(y1)0，再令圆心到切线的距离等于半径因为点 M在圆上，所以切线方程为(11)( x1)(12)( y2)5，即 2x y10.由两直线的法向量(2，1)与( a,1)垂直，得 2a10，即 a .12思想根源 以圆( x a)2( y b)2 r2上一点 T(x0， y0)为切点的切线方程为( x0 a)(x a)( y0 b)(y b) r2.8、 若直线 l1： y x a和直线 l2： y x b将圆( x1) 2( y2) 28 分成长度相等的四段弧，则a2 b2_.【答案】： 18 9、 若直线 3x4ym0 与
6、圆 x2y 22x4y40 始终有公共点，则实数 m的取值范围是_【答案】： 0,10【解析】： 圆的标准方程为( x1) 2( y2) 21，故圆心到直线距离 d 1.| 3 8 m|32 42即| m5|5，解得 0 m10.10、在平面直角坐标系 xOy中，过点 P(2,0)的直线与圆 x2 y21 相切于点 T，与圆( x a)2( y )323 相交于点 R， S，且 PT RS，则正数 a的值为_【答案】： 4【解析】： 因为 PT与圆 x2 y21 相切于点 T，所以在 Rt OPT中， OT1， OP2， OTP ，从而2 OPT ， PT ，故直线 PT的方程为 x y20，
7、因为直线 PT截圆( x a)2( y )23 得弦长6 3 3 3RS ，设圆心到直线的距离为 d，则 d ，又 2 ，即 d ，即| a32|3，解3|a3 2|2 3 3 d2 32得 a8，2,4，因为 a0，所以 a4.11、定义：点 0(,)Mxy到直线 的有向距离为 已知点 (1,0)A,(1,0)B，直线 m过点 3,P，若圆 上存在一点 C，使得 ,B三点到直线 m的有向距离之和为 0，则直线 l的斜率的取值范围为 【答案】： (,4【思路分析】由“ ,ABC三点到直线 m的有向距离之和为 0”知，动点 C在一条直线上，又因为点 C在圆上，故问题转化为该直线与圆有公共点，此时
8、圆心 (0,18)到该直线的距离小于等于半径 9.【解析】：设直线 m的斜率为 k，则直线 m的方程为 (3)ykx，即 ，设点 0(,)Cxy，则点 ,ABC三点到直线 的有向距离分别为 ， ，由 得，即 ，又因为点在 C圆上，故，即 34k.12、 已知圆 O： x2 y24，若不过原点 O的直线 l与圆 O交于 P， Q两点，且满足直线 OP， PQ， OQ的斜率依次成等比数列，则直线 l的斜率为_【答案】： 1 思路分析 由直线 PQ的方程与圆的方程联立成方程组，将点 P， Q的坐标用直线方程中的参数 k， b表示出来，进而将 OP， OQ的斜率用 k， b表示，再根据 OP， PQ，
9、 OQ的斜率成等比数列求出 k的值当直线 PQ垂直于 x轴时，显然不成立，所以设直线 PQ为 y kx b(b0)，将它与圆方程联立并消去 y得(k21) x22 kbx b240，设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，则 x1x2 ， x1 x2 ，因为b2 4k2 1 2kbk2 1y1y2( kx1 b)(kx2 b) k2x1x2 kb(x1 x2) b2 k2 b2 ，故b2 4k2 1 2k2b2k2 1 4k2 b2k2 1kOPkOQ k2，即 b2(k21)0，因为 b0，所以 k21，即 k1. y1y2x1x2 4k2 b2b2 4解后反思 本题可推广到椭圆中：已
10、知椭圆 C： 1( ab0)，若不过原点 O的直线 l与椭圆 C交于x2a2 y2b2P， Q两点，且满足直线 OP， PQ， OQ的斜率依次成等比数列，则直线 l的斜率为 .ba13、已知线段 AB的长为 2，动点 C满足 ( 1.当两圆外切或外离时， OB1 ，解得 ；圆 B内切或内含 112 34于圆 C时， OB1 ，解得 (舍)，故负数 的最大值是 . 112 54 34【问题探究，变式训练】 例 1、已知圆 C：( x a)2( y a)21( a0)与直线 y3 x相交于 P， Q两点，则当 CPQ的面积最大时，实数 a的值为_【答案】52【解析】： 因为 CPQ的面积等于 si
11、n PCQ，所以当 PCQ90时， CPQ的面积最大，此时圆心到12直线 y3 x的距离为 ，因此 ，解得 a .22 22 |3a a|10 52【变式 1】 、. 已知直线 l过点 P(1,2)且与圆 C： x2 y22 相交于 A， B两点， ABC的面积为 1，则直线l的方程为_【答案】3 x4 y50 或 x1当直线斜率存在时，设直线的方程为 y k(x1)2，即 kx y k20.因为S CACBsin ACB1，所以 sin ACB1，所以 sin ACB1，即 sin ACB90，所以12 122 2圆心 C到直线 AB的距离为 1，所以 1，解得 k ，所以直线方程为 3x4
12、 y50；当直线斜率| k 2|k2 1 34不存在时，直线方程为 x1，经检验符合题意综上所述，直线方程为 3x4 y50 或 x1.【变式 2】 、在平面直角坐标系 xOy中，圆 C1：( x1) 2 y22，圆 C2：( x m)2( y m)2 m2，若圆 C2上存在点 P满足：过点 P向圆 C1作两条切线 PA， PB，切点为 A， B， ABP的面积为 1，则正数 m的取值范围是_【答案】： 1， 3 23注意到ABP 的面积是定值，从而点 P的位置应该具有某种确定性，故首先由ABP 的面积来确思 路 分 析定点 P所满足的条件，进而将问题转化为以 C1为圆心的圆与以 C2为圆心的
13、圆有公共点的问题来加以处理如图，设 P(x，y)，设 PA，PB 的夹角为 2.ABP 的面积 S PA2sin2PA 2sin cosPA 2 1，即 PA3PC PA 22，解得12 2PC1 PAPC1 2 21PA ，2所以 PC12，所以点 P在圆(x1) 2y 24 上所以 m2，解得 1m32 .|m 2| m 1 2 m 2 3本题的本质是两个圆的位置关系问题，要解 决这个问题，首先要确定点 P所满足的条件，为此，解 后 反 思由ABP 的面积来确定点 P所满足的条件是解决本题的关键所在【变式 3】 、已知点 A(1，0)和点 B(0，1)，若圆 x2y 24x2yt0 上恰有
14、两个不同的点 P，使得PAB的面积为 ，则实数 t的取值范围是_12【关联 1】 、过圆 x2y 216 内一点 P(2，3)作两条相互垂直的弦 AB和 CD，且 ABCD，则四边形 ACBD的面积为_【答案】： 19【解析】：设 O到 AB的距离为 d1，O 到 CD的距离为 d2，则由垂径定理可得 d r 2 ，d r 221 (AB2)2 2，由于 ABCD，故 d1d 2，且 d1d 2 OP ，所以 r 2d 16 ，得 AB ，(CD2)2 22 262 (AB2)2 21 132 192 38从而四边形 ACBD的面积为 S ABCD 19.12 12 38 38解决直线与圆的综
15、合问题时，需要充分利用圆的几何性质进行转化本题结合条件，利用垂径解 后 反 思定理，通过整体计算，实现了简化的目的【关联 2】 、 已知圆 O： x2 y24，点 M(4,0)，过原点的直线(不与 x 轴重合)与圆 O交于 A， B 两点，则 ABM的外接圆的面积的最小值为_【答案】： 254【解析】：设 ABM的外接圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F0( D2 E24 F0)， A(x1， y1)，则B( x1， y1)，所以 x y Dx1 Ey1 F0 ， x y Dx1 Ey1 F0 ，由得 Dx1 Ey10 21 21 21 21，又 x y 4 ，由得 F4，所以外接圆方 程为
16、 x2 y2 Dx Ey40.又圆过点(4,0)，21 21所以 424 D40，解得 D3，所以圆方程为 x2 y23 x Ey40.所以半径 R 129 E2 16 12，当 E0 时， R最小，为 ，所以 ABM的外接圆的面积的最小值为 .25 E252 254【关联 3】 、在平面直角坐标系 xOy中，已知点 (3,0)P在圆 内，动直线AB过点 P且交圆 C于 ,AB两点，若 ABC的面积的最大值为 16，则实数 m的取值范围为 【答案】 【解析】圆 C的标准方程为( x m)2( y2) 232，圆心为 C(m,2)，半径为 4 ，当 ABC的面积的最大2值为 16时， ACB90
17、 o，此时 C到 AB的距离为 4，所以 4 CP4 ，即 16( m3) 2(02) 232，解2得 2 | m3|2 ，3 7即 m 例 1、 在平面直角坐标 系 xOy中，已知点 A(4，0)，B(0，4)，从直线 AB上一点 P向圆 x2y 24 引两条切线 PC，PD，切点分别为 C，D.设线段 CD的中点为 M，则线段 AM长的最大值为_【答案】： 3 2P在直线 AB：yx4 上，设 P(a，a4)，可以求出切点弦 CD的方程为 ax(a4)y4，易知思 路 分 析CD过定点，所以 M的轨迹为一个定圆，问题转化为求圆外一点到圆上一点的距离的最大值解法 1(几何法) 因为直线 AB
18、的方程为 yx4，所以可设 P(a，a4)，设 C(x1，y 1)，D(x 2，y 2)，所以PC方程为 x1xy 1y4，PD：x 2xy 2y4，将 P(a，a4)分别代入 PC，PD 方程，则直线 CD的方程为 ax(a4)y4，即 a(xy)44y，所以直线 CD过定点ax1 （ a 4） y1 4，ax2 （ a 4） y2 4， )N(1，1)，又因为 OMCD，所以点 M在以 ON为直径的圆上(除去原点)，又因为以 ON为直径的圆的方程为 (x12)2 ，(y12)2 12所以 AM的最大值为 3 .( 4 12)2 (12)2 22 2解法 2(参数法) 因为直线 AB的方程为
19、 yx4，所以可设 P(a，a4)，同解法 1可知直线 CD的方程为ax(a4)y4，即 a(xy)44y，得 a .又因为 O，P，M 三点共线，所以 ay(a4)x0，得4 4yx ya .因为 a ，所以点 M的轨迹方程为 (除去原点)，所以 AM的最大4xy x 4 4yx y 4xy x (x 12)2 (y 12)2 12值为 3 .( 4 12)2 (12)2 22 2此类问题往往是求出一点的轨迹方程，转化为定点到曲线上动点的距离的最值问题，而求轨迹解 后 反 思方程，解法 1运用了几何法，解法 2运用了参数法，消去参数 a得到轨迹方程另外要熟练记住过圆上一点的切线方程和圆的切点
20、弦方程的有关结论【变式 1】 、在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 ，点 (20)A， ，若圆 C上存在点 M，满足 ，则点 M的纵坐标的取值范围是 【答案】： 7,2 思路分析：根据条件可得动点 的轨迹是圆，进而可以将问题转化为圆与圆的位置关系进行处理.解题过程：设 ),(yx，因为 所以 ，化简得，则圆 与圆有公共点，将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直 线方程为 21x，代入 可得 ，所以点 M的纵坐标的取值范围是7,解后反思：在解决与圆相关的综合问题时，要注意充分利用圆的几何性质或一些简单的轨迹知识将问题转化为直线与圆或圆与圆的位置关系问题.【变式 2】 、在平面直角坐标系 xOy中，已
21、知 B， C为圆 x2 y24 上两点，点 A(1,1)，且 AB AC，则线段BC的长的取值范围为_【答案】. ， 6 2 6 2思路分析 本题考查圆的方程和性质，考查等价转化和运算求解能力，借助直角三角形的性质，把求 BC的长转化为求 2AM的长，而 A为定点，思路 1，求出 M的轨迹方程，根据圆的性质及直角三角形的性质不难求得，其轨迹为一个圆，问题就转化为一定点到圆上一点的距离，这是一个基本题型，求解即得；思路2，设出 AM x， OM y，寻找到 x， y之间的关系式，通过线性规划的知识去处理解法 1 设 BC的中点为 M(x， y)因为 OB2 OM2 BM2 OM2 AM2，所以
22、4 x2 y2( x1) 2( y1) 2，化简得 2 2 ，(x12) (y 12) 32所以点 M的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，(12， 12) 62所以 AM的取值范围是 ，6 22 ， 6 22 所以 BC的取值范围是 ， 6 2 6 2解法 2 设 BC的中点为 M，设 AM x， OM y.因为 OC2 OM2 CM2 OM2 AM2，所以 x2 y24.因为 OA ，所以 x y ， x y， y x.2 2 2 2如图所示，可得 x ，6 22 ， 6 22 所以 BC的取值范围是 ， 6 2 6 2解后反思 求线段 的长度范围，如果一个端点为定点，这时可以考虑运用轨迹法，
23、求出另外一个端点的轨迹，问题迎刃而解【变式 3】 、在平面直角坐标系 xOy中，直线 l1： kx y20 与直线 l2： x ky20 相交于点 P，则当实数 k变化时，点 P到直线 x y40 的距离的最大值为_【答案】：3 2思路分析 因为直线 l1， l2分别经过定点 A(0,2)， B(2,0)，且 l1 l2，所以点 P在以 AB为直径的圆 C上解法 1 当 k0 时，点 P(2,2)到直线 x y40 的距离为 2 ；当 k0 时，解方程组Error!得两直线交2点 P的坐标为 ，所以点 P到直线 x y40 的距离为 ，为(2 2k1 k2， 2 2k1 k2) |2 2k1
24、k2 2 2k1 k2 4|2 4| k1 k2 1|2求得最大值，考虑正数 k，则有 ，所以 3 .k1 k2 11k k 12 4| k1 k2 1|2 4322 2解法 2 圆 C的圆心为 C(1,1)，半径 r .因为圆心 C到直线 l： x y40 的距离为 d 22|1 1 4|2，所以点 P到直线 l的距离的最大值为 d r3 .2 2解后反思 直接求出 l1， l2的交点 P的坐标(用 k表示)虽然也能做，但计算量较大找出点 P变化的规律性比较好【关联 1】 、如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 C： x2 y24 x0 及点 A(1，0)， B(1,2)(1) 若直线
25、l AB，与圆 C相交于 M， N两点， MN AB，求直线 l的方程；(2) 在圆 C上是否存在点 P，使得 PA2 PB212？若存在，求点 P的个数；若不存在，请说明理由规范解答 (1) 圆 C的标准方程为( x2) 2 y24，所以圆心 C(2,0)，半径为 2.因为 l AB， A(1,0)， B(1,2)，所以直线 l的斜率为 1，设直线 l的方程为2 01 1x y m0，(2 分)则圆心 C到直线 l的距离为 d .(4分)|2 0 m|2 |2 m|2因为 MN AB 2 ，22 22 2而 CM2 d2 2，所以 4 2，(6 分)(MN2) 2 m 22解得 m0 或 m
26、4，故直线 l的方程为 x y0 或 x y40.(8 分)(2) 假设圆 C上存在点 P，设 P(x， y)，则( x2) 2 y24，PA2 PB2( x1) 2( y0) 2( x1) 2( y2) 212，即 x2 y22 y30，即 x2( y1) 24.(10 分)因为|22| 22，(12 分) 2 0 2 0 1 2所以圆( x2) 2 y24 与圆 x2( y1) 24 相交，所以点 P的个数为 2.(14分)【关联 2】 、在平面直角坐标系 xOy中，圆 若圆 C存在以 G为中点的弦 AB，且2ABGO，则实数 m的取值范围是 【关联 3】 、在平面直角坐标系 xOy中，点
27、 A(1,0)， B(4,0)若直线 x y m0 上存在点 P使得PA PB，则实数 m的取值范围是_12【答案】 2 ，2 2 2思路分析 本题旨在考查直 线与圆的位置关系 A， B为定点，满足 AP PB的点 P的轨迹是一个圆，要求12m的范围只要使得动直线 x y m0 与该圆有公共点解法 1 设满足条件 PB2 PA的点 P坐标为( x， y)，则( x4) 2 y24( x1) 24 y2，化简得 x2 y24，要使直线 x y m0 有交点，只需要 2，即2 m2 .|m|2 2 2解法 2 设在直线 x y m0 上有一点( x， x m)满足 PB2 PA，则( x4) 2( x m)24( x1) 24( x m)2，整理得，2 x22 mx m240，(*)因为方程(*)有解，则 4 m28( m24)0，解得2 m2 .2 2