1、专题 12 立体几何中的平行与垂直问题【自主热身，归纳总结】1、 设 ， 为互不重合的平面，m，n 是互不重合的直线，给出下列四个命题：若 mn，n，则 m；若 m，n，m，n，则 ；若 ，m，n，则 mn；若 ，m，n，nm，则 n.其中正确命题的序号为_【答案】. 【解析】：对于，直线 m 可能在平面 内，故错误；对于，没有 m 与 n 相交的条件，故错误；对于，m 与 n 也可能异面，故错误2、已知平面 ，直线 m，n，给出下列命题：若 m，n，mn，则 ；若 ，m，n，则 m n；若 m，n，mn，则 ；若 ，m，n，则 mn.其中是真命题的是_(填序号)【答案】 如图，在正方体 AB
2、CDA1B1C1D1中，CD平面 ABC1D1，BC平面 ADC1B1，且 BCCD，又因为平面 ABC1D1与平面 ADC1B1不垂直，故不正确；因为平面 ABCD平面 A1B1C1D1，且 B1C1平面 ABCD，AB平面 A1B1C1D1，但 AB 与 B1C1不平行，故不正确同理，我们以正方体的模型来观察，可得正确3、若 ， 是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)若直线 m，则在平面 内，一定不存在与直线 m 平行的直线；若直线 m，则在平面 内，一定存在无数条直线与直线 m 垂直；若直线 m，则在平面 内，不一定存在与直线 m 垂直的直线；若直线 m
3、，则在平面 内，一定存在与直线 m 垂直的直线【答案】：4、已知 ， 是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，l，m.给出下列命题：lm； lm；ml； lm.其中正确的命题是_(填写所有正确命题的序号)【答案】： 【解析】：由 l，得 l，又因为 m，所以 lm；由 l，得 l 或 l，又因为 m，所以 l 与 m 或异面或平行或相交；由 l，m，得 lm.因为 l 只垂直于 内的一条直线 m，所以不能确定 l 是否垂直于 ；由 l，l，得 .因为 m，所以 m. 5、 设 b， c 表示两条直线， 表示两个平面，现给出下列命题：若 b，c，则 bc；若 b，bc，则 c；若 c，则 c
4、；若 c，c，则 .其中正确的命题是_(写出所有正确命题的序号)【答案】： 【解析】：b 和 c 可能异面，故错；可能 c，故错；可能 c，c，故错；根据面面垂直判定 ，故正确6、在所有棱长都相等的三棱锥 P-ABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，下列四个命题：(1) BC平面 PDF； (2) DF平面 PAE；(3) 平面 PDF平面 ABC； (4) 平面 PDF平面 PAE.其中正确命题的序号为_【答案】：(1)(4)【解析】 由条件可证 BCDF，则 BC平面 PDF，从而(1)正确；因为DF 与 AE 相交，所以(2)错误；取 DF 中点 M(如图)，则 PMD
5、F，且可证 PM 与 AE 不垂直，所以(3)错误；而 DMPM，DMAM，则 DM平面 PAE.又 DM平面 PDF，故平面 PDF平面 PAE，所以(4)正确综上所述，正确命题的序号为(1) (4)7、在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 M，N 分别在 AB1，BC 1上(M，N 不与 B1，C 1重合)，且 AMBN，那么AA 1MN；A 1C1MN；MN平面 A1B1C1D1；MN 与 A1C1异面以上 4 个结论中，正确结论的序号是_【答案】：【解析】 过 M 作 MPAB 交 BB1于 P，连接 NP，则平面 MNP平面 A1C1，所以 MN平面 A1B1C1D1，又 AA
6、1平面 A1B1C1D1，所以 AA1MN.当 M 与 B1重合，N 与 C1重合时，则 A1C1与 MN 相交，所以正确【问题探究，变式训练】 :例 1、如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC，E 是 BC 的中点，求证：(1) 平面 AB1E平面 B1BCC1；(2) A1C平面 AB1E.【解析】： (1) 在直三棱柱 ABCA1B1C1中，CC 1平面 ABC.因为 AE平面 ABC，所以 CC1AE因为 ABAC，E 为 BC 的中点，所以 AEBC.因为 BC平面 B1BCC1，CC 1平面 B1BCC1，且 BCCC 1C，所以 AE平面 B1BCC1.因为 AE平面
7、AB1E，所以平面 AB1E平面 B1BCC1(2) 如图，连结 A1B，设 A1BAB 1F，连结 EF.在直三棱柱 ABCA1B1C1中，四边形 AA1B1B 为平行四边形，所以 F 为 A1B 的中点又因为 E 是 BC 的中点，所以 EFA 1C因为 EF平面 AB1E，A 1C平面 AB1E，所以 A1C平面 AB1E.【变式 1】 、 【如图，在三棱锥 PABC 中，ABPC，CACB，M 是 AB 的中点，点 N 在棱 PC 上，点 D 是 BN 的中点求证：(1) MD平面 PAC； 又因为 CE平面 BEC，所以 AHCE.(14 分) 【变式 6】 、如图，正三棱柱 ABC
8、A1B1C1的高为 ，其底面边长为 2.已知点 M，N 分别是棱 A1C1，AC 的中点，6点 D 是棱 CC1上靠近 C 的三等分点求证：(1) B1M平面 A1BN；(2) AD平面 A1BN.【解析】： (1) 如图，连结 MN，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，四边形 A1ACC1是矩形因为 M，N 分别是棱 A1C1，AC 的中点，所以四边形 A1ANM 也是矩形，从而 MNA 1A.(2 分) 又因为 A1AB 1B，所以 MN B 1B.所以四边形 B1BNM 是平行四边形，则 B1MBN.(4 分) 因为 B1M平面 A1BN，BN平面 A1BN, 所以 B1M平面 A1BN.
9、(6 分) (2) 在正三棱柱 ABCA1B1C1中，AA 1平面 ABC，BN平面 ABC，所以 AA1BN.因为 N 是正三角形 ABC 的边 AC 的中点，所以 ACBN.又因为 A1AACA，A 1A，AC平面 A1ACC1，所以 BN平面 A1ACC1.因为 AD平面 A1ACC1，所以 BNAD.(10 分) 在平面 A1ACC1中，tanA 1NAtanDAC 1，所以A 1NA 与DAC 互余，得 ADA 1N.(12 分) 61 632因为 ADBN，ADA 1N，BNA 1NN，且 A1N，BN平面 A1BN，所以 AD平面 A1BN.(14 分) 【关联 1】 、 如图，
10、正三棱柱 A1B1C1-ABC 中，点 D，E 分别是 A1C，AB 的中点(1) 求证：ED平面 BB1C1C；(2) 若 AB BB1，求证：A 1B平面 B1CE.2【解析】 (1) 连结 AC1，BC 1，因为 AA1C1C 是矩形，D 是 A1C 的中点，所以 D 是 AC1的中点(2 分)在ABC 1中，因为 D，E 分别是 AC1，AB 的中点，所以 DEBC 1.(4 分)因为 DE平面 BB1C1C，BC 1平面 BB1C1C，所以 ED平面 BB1C1C.(6 分)(2) 因为ABC 是正三角形，E 是 AB 的中点，所以 CEAB.又因为正三棱柱 A1B1C1ABC 中，
11、平面 ABC平面 ABB1A1，平面 ABC平面 ABB1A1AB，CE平面 ABC，所以 CE平面 ABB1A1.从而 CEA 1B.(9 分)在矩形 ABB1A1中，因为 ，所以 RtA 1B1BRtB 1BE，A1B1B1B 2 B1BBE从而B 1A1BBB 1E.因此B 1A1BA 1B1EBB 1EA 1B1E90，所以 A1BB 1E.又因为 CE，B 1E平面 B1CE，CEB 1EE，所以 A1B平面 B1CE.(14 分)例 2、如图，在四棱锥 PCD中， ， CD，点 为棱 PB的中点（1）若 ，求证： ；（2）求证： E/平面 A【解析】： 证明：（1）取 BD的中点
12、O，连结 CP， ，因为 CD，所以 C为等腰三角形，所以 BD因为 PB，所以 P为等腰三角形，所以 又 ，所以 平面 因为 平面 O，所以 （2）由 E为 PB中点，连 E，则 PD ，又 平面 AD，所以 平面 A 由 ，以及 C，所以 O ，又 CO平面 P，所以 平面 PD 又 ，所以平面 E 平面 A， 而 E平面 ，所以 C 平面 【变式 1】 、如图，在三棱锥 ABCD 中，E，F 分别为棱 BC，CD 上的点，且 BD平面 AEF（1）求证：EF平面 ABD； （2）若 BDCD，AE平面 BCD，求证：平面 AEF平面 ACD【解析】：（1）因为 BD平面 AEF，BD 平
13、面 BCD，平面 AEF平面 BCDEF，所以 BDEF 因为 BD 平面 ABD，EF 平面 ABD，所以 EF平面 ABD （2）因为 AE平面 BCD，CD 平面 BCD，所以 AECD 因为 BDCD，BDEF，所以 CDEF， 又 AEEFE，AE 平面 AEF，EF 平面 AEF，所以 CD平面 AEF 又 CD 平面 ACD，所以 平面 AEF平面 ACD 【变式 2】 、如图，在四棱锥 PABCD中，底面 AB是矩形，点 E在棱 PC上(异于点 ， C)，平面ABE与棱 PD交于点 F（1）求证： ；（2）若平面 平面 ，求证： FE【变式 3】 、如图，在四棱锥 PABCD中
14、，底面 ABCD 是矩形，平面 PAD平面 ABCD，AP=AD， M，N 分别为棱 PD，PC 的中点A BCDEFP(第 16 题)求证：（1）MN平面 PAB； （2）AM平面 PCD【解析】 （1）因为 M，N 分别为棱 PD，PC 的中点，所以 MNDC， 又因为底面 ABCD 是矩形，所以 ABDC，所以 MNAB 又 AB平面 PAB， MN平面 PAB，所以 MN平面 PAB （2）因为 AP=AD，M 为 PD 的中点，所以 AMPD 因为平面 PAD平面 ABCD， 又平面 PAD平面 ABCD= AD，又因为底面 ABCD 是矩形，所以 CDAD，又 CD平面 ABCD，
15、所以 CD平面 PAD 又 AM平面 PAD，所以 CDAM 因为 CD， PD平面 PCD， ， 所以 AM平面 PCD 【易错警示】立几的证明必须严格按教材所给的公理、定理、性质作为推理的理论依据，严禁生造定理，在运用定理证明时必须在写全定理的所有条件下，才有相应的结论，否则会影响评卷得分.【变式 4】 、 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，E 为侧棱 PA 的中点(1) 求证：PC平面 BDE；(2) 若 PCPA，PDAD，求证：平面 BDE平面 PAB.易错警示 在立体几何中，一定要用课本中允许的有关定理进行推理论证，在进行推理论证时，一定要将定理的条件写
16、全，不能遗漏，否则，在评分时将予以扣分，高考阅卷对立体几何题证明的规范性要求较高【关联 1】 、如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，ACBD，AC 与 BD 交于点 O，且平面 PAC平面 ABCD，E为棱 PA 上一点(1) 求证：BDOE；(2) 若 AB2CD，AE2EP，求证：EO平面 PBC. 【解析】(1) 因为平面 PAC 平面 ABCD，平面 PAC 平面 ABCDAC，BDAC，BD平面 ABCD，所以 BD平面 PAC.又因为 OE平面 PAC，所以 BDOE.(6 分)(2) 因为 ABCD，AB2CD，AC 与 BD 交于点 O，所以 COOACDAB12.又因为
17、 AE2EP，所以 COOAPEEA，所以 EOPC.又因为 PC平面 PBC，EO平面 PBC，所以 EO平面 PBC.(14 分)【关联 2】 、如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，CACB，AA 1 AB，D 是 AB 的中点2(1) 求 证：BC 1平面 A1CD；(2) 若点 P 在线段 BB1上，且 BP BB1，求证：AP平面 A1CD.14【解析】 (1)连结 AC1，交 A1C 于点 O，连结 OD.因为四边形 AA1C1C 是矩形，所以 O 是 AC1的中点. (2 分)在ABC 1中， O，D 分别是 AC1，AB 的中点，所以 ODBC 1. (4 分)又因为 O
18、D平面 A1CD，BC 1平面 A1CD，所以 BC1平面 A1CD.(6 分)(2) 因为 CACB，D 是 AB 的中点，所以 CDAB又因为在直三棱柱 ABCA 1B1C1中，底面 ABC侧面 AA1B1B，交线为 AB，CD平面 ABC，所以 CD平面 AA1B1B (8 分)因为 AP平面 A1B1BA，所以 CDAP. (9 分)因为 BB1AA 1 BA ，BP BB1，214所以 ，所以 RtABPRtA 1AD，BPBA 24 ADAA1从而AA 1DBAP，所以AA 1DA 1APBAPA 1AP90，所以 APA 1D.(12 分)又因为 CDA 1DD，CD平面 A1C
19、D，A 1D平面 A1CD，所以 AP平面 A1CD.(14 分)【关联 3】 、如图，在三棱锥 PABC 中，平面 PAB平面 ABC，PAPB，M，N 分别为 AB，PA 的中点(1) 求证：PB平面 MNC；(2) 若 ACBC，求证：PA平面 MNC.【解析】 (1) 因为 M，N 分别为 AB，PA 的中点，所以 MNPB.(2 分)因为 MN平面 MNC，PB平面 MNC, 所以 PB平面 MNC.(4 分)(2) 因为 PAPB，MNPB，所以 PAMN. (6 分)因为 ACBC，AMBM，所以 CMAB. (8 分)因为平面 PAB平面 ABC，CM平面 ABC，平面 PAB
20、平面 ABCAB，所以 CM平面 PAB. (12 分)因为 PA平面 PAB，所以 CMPA. 因为 PAMN，MN平面 MNC，CM 平面 MNC，MNCMM，所以 PA平面 MNC. (14 分)【关联 4】 、如图，已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，PA平面 ABCD，M 是 AD 的中点，N 是 PC的中点(1) 求证：MN平面 PAB；(2) 若平面 PMC平面 PAD，求证：CMAD.【解析】 (1) 如图，取 PB 的中点 E，连结 AE，NE.因为 E，N 分别是 PB，PC 的中点，所以 ENBC 且 EN BC.12因为底面 ABCD 是平行四边形，
21、M 是 AD 的中点，所以 AMBC 且 AM BC，(3 分)12所以 ENAM 且 ENAM，四边形 AMNE 是平行四边形，所以 MNAE，(5 分)因为 MN平面 PAB，AE平面 PAB，所以 MN平面 PAB.(7 分)(2) 如图，在平面 PAD 内，过点 A 作 AHPM，垂足为 H.因为平面 PMC平面 PAD，平面 PMC平面 PADPM，因为 AH平面 PAD，AHPM，所以 AH平面 PMC，从而 AHCM.(10 分) 因为 PA平面 ABCD，CM平面 ABCD，所以 PACM.(12 分)因为 PAAHA，PA，AH平面 PAD，所以 CM平面 PAD，因为 AD
22、平面 PAD，所以 CMAD.(14 分)例 3、如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，D 为棱 BC 上一点(1) 若 ABAC，D 为棱 BC 的中点，求证：平面 ADC1平面 BCC1B1；(2) 若 A1B平面 ADC1，求 的值BDDC【解析】： (1) 因为 ABAC，点 D 为 BC 中点，所以 ADBC.(2 分)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱，所以 BB1平面 ABC.因为 AD平面 ABC，所以 BB1AD.(4 分)因为 BCBB 1B，BC平面 BCC1B1，BB 1平面 BCC1B1，所以 AD平面 BCC1B1. 因为 AD平面 ADC1，所以平面 AD
23、C1平面 BCC1B1.(6 分)(2) 连结 A1C，交 AC1于 O，连结 OD，所以 O 为 AC1中点(8 分)因为 A1B平面 ADC1，A 1B平面 A1BC，平面 ADC1平面 A1BCOD，所以 A1BOD.(12 分)因为 O 为 AC1中点，所以 D 为 BC 中点，所以 1.(14 分)BDDC【变式 1】 、如图，在四面体 ABCD 中，ABACDBDC，点 E 是 BC 的中点，点 F 在线段 AC 上，且 .AFAC(1) 若 EF平面 ABD，求实数 的值；(2) 求证：平面 BCD平面 AED.【解析】 (1) 因为 EF平面 ABD，EF平面 ABC，平面 A
24、BC平面 ABDAB，所以 EFAB.(3 分)又 E 是 BC 的中点，点 F 在线段 AC 上，所以 F 为 AC 的中点由 得 .(6 分)AFAC 12(2) 因为 ABACDBDC，E 是 BC 的中点，所以 BCAE，BCDE.(9 分)又 AEDEE，AE，DE平面 AED，所以 BC平面 AED.(12 分)而 BC平面 BCD，所以平面 BCD平面 AED.(14 分)【变式 2】 、如图，在四棱锥 PABCD 中，ADCD AB，ABDC，ADCD，PC平面 ABCD.12(1) 求证：BC平面 PAC；(2) 若 M 为线段 PA 的中点，且过 C，D，M 三点的平面与
25、PB 交于点 N，求 PNPB 的值 【解析】 (1) 连结 AC.不妨设 AD1.因为 ADCD AB，所以 CD1，AB2.12因为ADC90，所以 AC ，CAB45.2在ABC 中，由余弦定理得 BC ，所以 AC2BC 2AB 2.2所以 BCAC.(3 分)因为 PC平面 ABCD，BC平面 ABCD，所以 BCPC.(5 分)因为 PC平面 PAC，AC平面 PAC，PCACC，所以 BC平面 PAC.(7 分)(2) 因为 ABDC，CD平面 CDMN，AB 平面 CDMN，所以 AB平面 CDMN.(9 分)因为 AB平面 PAB，平面 PAB平面 CDMNMN，所以 ABM
26、N.(12 分)在PAB 中，因为 M 为线段 PA 的中点，所以 N 为线段 PB 的中点，即 PNPB 的值为 .(14 分)12【关联 1】 、 如图，在三 棱锥 PABC 中，D 为 AB 的中点(1) 与 BC 平行的平面 PDE 交 AC 于点 E，判断点 E 在 AC 上的位置并说明理由；(2) 若 PAPB，且锐角三角形 PCD 所在平面与平面 ABC 垂直，求证：ABPC.【解析】(1) E 为 AC 的中点理由如下：平面 PDE 交 AC 于点 E，即平面 PDE平面 ABCDE，而 BC平面 PDE，BC平面 ABC，所以 BCDE.(4 分)在ABC 中，因为 D 为
27、AB 的中点，所以 E 为 AC 的中点(7 分)(2) 因为 PA PB，D 为 AB 的中点，所以 ABPD，如图，在锐角三角形 PCD 所在平面内过点 P 作 POCD 于点 O，因为平面 PCD平面 ABC，平面 PCD平面ABCCD，所以 PO平面 ABC.(10 分)因为 AB平面 ABC，所以 POAB.又 POPDP，PO，PD平面 PCD，所以 AB平面 PCD.又 PC平面 PCD，所以 ABPC.(14 分)【关联 2】 、 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，且 PBPD.(1) 求证：BDPC； (2) 若平面 PBC 与平面 PAD 的交线为 l
28、，求证：BCl.【解析】 (1) 如图，连结 AC，交 BD 于点 O，连结 PO.因为四边形 ABCD 为菱形，所以 BDAC.(2 分)又因为 O 为 BD 的中点，PBPD，所以 BDPO.(4 分)又因为 ACPOO，所以 BD平面 APC.又因为 PC平面 APC，所以 BDPC.(7 分)(2) 因为四边形 ABCD 为菱形，所以 BCAD.(9 分)因为 AD平面 PAD，BC平面 PAD，所以 BC平面 PAD.(11 分)又因为 BC平面 PBC，平面 PBC平面 PADl.所以 BCl.(14 分)【关联 3】 、如图，在三棱锥 PABC 中，已知平面 PBC平面 ABC.(1) 若 ABBC，CPPB，求证：CPPA：(2) 若过点 A 作直线 l平面 ABC，求证：l平面 PBC.