1、专题 08 三角形中的三角问题的探究【自主热身，归纳总结】1、在 ABC 中，若 9cos2A4cos2 B5，则 的值为_BCAC【答案】： 23【解析】：由题意得，9(12sin 2A)4(12sin 2B)5，即 9sin2A4sin 2B，所以 .BCAC sinAsinB 232、 在 ABC中，已知 边上的中线 5D，则 si的值为 .【答案】： 1470【解析】 设 E为 BC的中点，连接 DE，则 /AB，且 ,设 Bx，在 D中,由余弦定理可得 ，即 ,解得 71,3x（舍去） ，即 2BC，所以在 ABC中,由余弦定理可得 ，即 21A，又因为 30sin6，所以由正弦定理
2、，可得3、如图，测量河对岸的塔高 AB 时，选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D，测得 BCD30， BDC120， CD10 m，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60，则塔高 AB_m.【答案】： 30 【解析】：在 BCD 中，由正弦定理得 BC 1010 (m)在 Rt ABC 中， AB BCtan60sin120sin30 330(m)4、 在 ABC中，边 的垂直平分线交边 AC于 D，若 60， 8BC， 7D,则 ABC的面积为 .【答案】： 【解析】 在 BD中，由余弦定理可得 ，即 ，解得3CD或 5，所以 10AC或 12，所以 ABC的面积为 或 24
3、3. 5、在锐角 B中，角 ,的对边分别为 ,abc， 4， 6c，且 ,D为 BC的中点，则 A的长为 .【答案】： 19 （方法 2）由正弦定理 可得 ，又由 4b，可得 3sin2A， 又由锐角 ABC，可得 3,在 BC中, 由余弦定理可得 ,即 27BC，所以在 ABD中, 由余弦定理可得,即 19.6、在锐角三角形 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若 6cos C，则 的值 是ba ab tanCtanA tanCtanB_【答案】：. 4 【解析】：由 6cos C 及余弦定理，得 6 ，化简得 a2 b2 c2.又 6cos C 及ba ab ba
4、 ab a2 b2 c22ab 32 ba ab正弦定理，得 6cos C，故 sinAsinBcosC (sin2Bsin 2A)又 sinBsinA sinAsinB 16 tanCtanA tanCtanB sinCcosC ，所以 4.(cosAsinA cosBsinB) sin2CcosCsinAsinB tanCtanA tanCtanB 6sin2Csin2B sin2A 6c2a2 b27、在 中, 角 ,所对的边分别为 ,bc，且满足 ,则 2abc的最大值为 【答案】： 32.【解析】 由 ，得 ， 由正弦定理可得 ，由余弦定理可得，化简得 223abc，又因为 ，当且仅
5、当 ab时等号成立，可得 23abc ，所以 2bc的最大值为 .8、已知在 ABC中， ， 4BC， D为 B的中点，当 AD最小时， ABC 的面积为 . （2）设 的角 ,所对的边分别为 ,abc，若 ()2f， 3c，求 面积的最大值.解：（1）由题意，得 ， 当 ()fx取最大值时，即 ，此时 ，所以 的取值集合为 .【关联 2】 、在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c若 4， 8BAC（1）求 2ac的值； （2）求函数 的值域【解析】：（1）因为 8BAC，所以 cos8aB 由余弦定理得 因为 4b，所以 23ac （2）因为 ，所以 16ac ，
6、所以 因为 0,B，所以 3B 因为又因为 ，所以 ，所以 ()fB的值域为 31,2 易错警示 第（2）问中易忽略 B的范围而出错【关联 3】 、在 ABC 中，三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 a(sin Bsin C，sin Csin A)，b(sin Bsin C，sin A)，且 a b.(1) 求角 B 的大小；(2) 若 b ccosA， ABC 的外接圆的半径为 1，求 ABC 的面积【解析】：(1) 因为 a b，所以 ab0，即 sin2Bsin 2Csin A(sinCsin A)0，即 sinAsinCsin 2Asin 2Csin 2B，
7、由正弦定理得 ac a2 c2 b2，所以 cosB ，a2 c2 b22ac 12因为 B(0，)，所以 B . 3(2) 因为 ccosA b，所以 ，bc b2 c2 a22bc即 b2 c2 a2，又 ac a2 c2 b2， b2 RsinB ，3解得 a1， c2.(12 分)所以 S ABC acsinB .12 32例 2、在 ABC中，三个内角 A， B， C的对边分别为 abc， ， ，设 ABC的面积为 S，且.（1）求 的大小；（2）设向量 ， ，求 mn的取值范围（2）由向量 ， ，得由（1）知 3B，所以 23AC，所以 203A所以 所以 所以 即取值范围是 【变
8、式 1】 、在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，且 A， B， C 成等差数列(1) 若 ， b ，求 a c 的值；BA BC 32 3(2) 求 2sinAsin C 的取值范围【解析】：(1) 因为 A， B， C 成等差数列，所以 B . 3因为 ，所以 accosB ，BA BC 32 32所以 ac ，即 ac3.12 32因为 b ， b2 a2 c22 accosB，3所以 a2 c2 ac3，即( a c)23 ac3，所以( a c)212，所以 a c2 .3(2) 2sinAsin C2sin sin C(23 C)2 sin C cosC
9、.(32cosC 12sinC) 3因为 0 C ，所以 cosC .23 3 ( 32， 3)所以 2sinAsin C 的取值范围是 .(32， 3)【变式 2】 、在 ABC 中，角 A， B， 所对的边分别为 a， b， c已知 （1）求角 B的大小；（2）设 ，求 T 的取值范围【解析】 （1）在 ABC 中，因为 sin0C，所以 ，所以 ，因为 sin0A，所以 1cos2B，因为 B，所以 3（2）因为 203A，所以 4023A，故 ，因此 ，所以 924T 方法总结：原条件利用“化边为角”或“化角为边”两种思路均可求解，若对等式两边同时加 1，再进行转化，更为便捷；第二问中
10、可利用均值代换，不妨设 A， C， 03 求解，可简化求解过程【关联 1】 、已知 ABC 三个内角 ， B， C的对应边分别为 a， b， c，且 ， 2c当AC取得最大值时， ba的值为 【答案】 32 【解析】： 设 BAC（ 320） ，则 ，因为 3， 2c，所以由正弦定理得： ，所以 ， ，由 320得 ，从而当 062，即 12时， ABC取最大值，此时 ，所以 。点评：为了研究 ABC，所以可以考虑以 AC和 B的夹角 为参数，并利用正弦定理将 ba,表示出来，特 别是将 用 表示时，三角恒等变换是关键，然后求出 12时， ABC取最大值，这时再取 ab就不困难了。【关联 2】
11、 、 在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 ABC 为锐角三角形，且满足b2 a2 ac，则 的取值范围是_1tanA 1tanB【答案】 (1，233)思路一，根据题意可知，本题可以从“解三角形和三 角恒等变换”角度切入，又因已知锐角和思 路 分 析边的关系，而所求为正切值，故把条件化为角的正弦和余弦来处理即可；思路二，本题所求为正切值，故可以构造直角三角形，用边的关系处理解法 1 原式可化为 .由 b2 a2 ac 得，1tanA 1tanB cosAsinA cosBsinB sinBcosA cosBsinAsinAsinB sin B AsinAsi
12、nBb2 a2 ac a2 c22 accosB，即 a c2 acosB，也就是 sinAsin C2sin AcosB，即 sinAsin( A B)2sin AcosBsin( B A)，由于 ABC 为锐角三角形，所以有 A B A，即 B2 A，故 ，1tanA 1tanB 1sinB在锐角三角形 ABC 中易知， a，即 1，在锐角三角形 ABCc a2 ca中有 b2 a2c2，则 a2 a2 acc2，即 2 20，则 cos ， f( )是2 4cossin2 12 12减函数故当 cos 时，sin ，此时 f( )max2 ，则 2有最小值，为 2 .12 32 3 PC PB BC 3【关联 4】 、满足条件 AB2， AC BC 的三角形 ABC 的面积的最大值是_2【答案】： 2 2解法 1 以 AB 所在直线为 x 轴， AB 的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系 xOy，则由 AB2 得A(1,0)， B(1,0)设 C(x， y)，由 AC BC 得 ，即( x3)2 x 1 2 y2 2 x 1 2 y22 y2(2 )2，所以点 C 在以(3,0)为圆心，半径为 2 的圆上(去掉与 x 轴的交点)，从而三角形 ABC 的2 2面积的最大值为 22 2 .12 2 2