1、专题 03 利用函数的图像探究函数的性质【自主热身，归纳提炼】1、作出下列函数的图象：(1)(1)y22 x；(2)ylog 3(x2)；(3)y|log ( x)|.【思路点拨】：搞清各个函数与基本函数之间的关系，然后用图象变换法画函数图象(3)作 ylog x 的图象关于 y 轴对称的图象，得 ylog ( x)的图象，再把 x 轴下方的部分翻折到 x 轴上12 12方，可得到y|log ( x)|的图象如图 3.121.作函数图象的一般步骤为：(1)确定函数的定义域(2)化简函数【解析】式(3)讨论函数的性质(如函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、极限等)以及图象上的特殊点(如极值点、与
2、坐标轴的交点、间断点等)、线(如对称轴、渐近线等)(4)选择描点法或图象变换法作出相应的函数图象2采用图象变换法时，变换后的函数图象要标出特殊的线(如渐近线)和特殊的点，以显示图象的主要特征，处理这类问题的关键是找出基本函数，将函数的【解析】式分解为只有单一变换的函数链，然后依次进行单一变换，最终得到所要的函数图象2、 若函数 的值域是 4,)，则实数 a的取值范围是 【答案】： 12a 【解析】 作出函数的图象，易知当 2x 时， ，要使 ()fx的值域为4,)，由图可知，显然 1a且 ，即 12a 3、 已知函 数 f(x) (x(1,2)，则函数 y f(x1)的值域为_|2x 2|【答
3、案】0,2) 解法 1 由于平移不改变值域，故只需要研究原函数的值域画出函数 f(x)|2 x2|的图像由下图易得值域为0,2)解法 2 因为 x(1,2)，所以 2x ，2 x2 ，所以|2 x2|0,2)因为 y f(x1)是由(12， 4) ( 32， 2)f(x)向右平移 1 个单位得到的，所以值域不变，所以 y f(x1)的值域为0,2)4、已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对于任意的 x0，)，满足 f(x2) f(x)若当 x0,2)时， f(x)| x2 x1|，则函数 y f(x)1 在区间2,4上的零点个数为_【答案】：7 【解析】：作出函数 f(x)的图像(如图)
4、，则它与直线 y1 在2,4上的交点的个数，即为函数 y f(x)1 在2,4的零点的个数，由图像观察知共有 7 个交点，从而函数 y f(x)1 在2,4上的零点有 7个5、已知函数 f(x)Error!若函数 g(x) f(x)2 x 恰有三个不同的零点，则实数 m 的取值范围是_【答案】(1,2 解法 1 问题转化为 g(x)0，即方程 f(x)2 x 有三个不同的解，即Error!或Error!解得Error!或Error!或Error!因为方程 f(x)2 x 有三个不同的解，所以Error!解得 10 时，要使它们有四个公共点，|x1x| |x 1x|则需 y kx1 与 y (x
5、1)有一个公共点，此时 kx1 ，即方程 kx2 x20 有两个相等的实2x 2x数解，从而 18 k0，解得 k ；当 k0，x3 3mx 2， x 0)m 的取值范围是_【答案】 (1，) 解法 1(直接法) 当 x0 时，令 f(x) ex 0，解得 x ln20，此时函数 f(x)有 1 个零点，因为要求12函数 f(x)在 R 上有 3 个不同的零点，则当 x0 时， f(x) x33 mx2 有 2 个不同的零点，因为 f( x)3 x23 m，令 f( x)0，则 x2 m0，若 m0，则函数 f(x)为增函数，不合题意，故 m0，所以函数f(x)在(， )上为增函数，在( ，0
6、上为减函数，即 f(x)max f( )m m m m 3 m 22 m 2 ， f(0)20，即 m1，故实数 m 的取值范围是(1，)m解法 2(分离参数) 当 x0 时，令 f(x) ex 0，解得 x ln20，此时函数 f(x)有 1 个零点，因为要12求函数 f(x)在 R 上有 3 个不同的零点，则当 x0 时， f(x) x33 mx2 有 2 个不同的零点，即x33 mx20，显然 x0 不是它的根，所以 3m x2 ，令 y x2 (x0，此时函数单2（ x3 1）x2调递增，故 ymin3，因此，要使 f(x) x33 mx2 在(，0)上有两个不同的零点，则需 3m3，
7、即m1.已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：解 后 反 思(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法 2 就是此法它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题(3) 数形结合法：先对【解析】式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解这里采用方法是(1)和(3)的结合【关联 6】 、已知函数 的图象恰好经过三个象限，则实数 a的取值范围是 【 答案 】 ： a0 或 a2【思路
8、点拨】：由于是分段函数，当 a0和 时，一次函数的图象不同，故要分两种情况讨论，由函数【解析】式结构特点知 时，函数图象过三个象限，问题就变成了考虑 0a的情形，也就是 由题意的图象需经过第一、二象限，有两种思路：思路 1，分离参数后，转化两个函数图象在 y 轴右侧的图象有公共点（且不相切） ，找到临界切线位置；思路 2，转化不等式的存在性问题，分离参数后，转化求最值问题，最终求得 a 的取值范围.【解析】当 a0 时， 的图象经过两个象限，在（0，+）恒成立，所以图象仅在第一象限，所以 a0 时显然满足题意；当 a0 时， 的图象仅经过第三象限，由题 意 的图象需经过第一、二象限 【解法 1
9、】 （图像法） 与 yax在 y 轴右侧的图象有公共点（且不相切） 如图， =，设切点坐标为 ， 231yx-，则有，解得 01x,所以临界直线 0l的斜率为 2，所以 a2 时，符合综上， a0 或 a2（图 14（1） ）l0O xyP()gx在(0,1)单调递减，在（1，2）单调递增，又 2x时，函数为增函数，所以 函数的最小值为 2，所以 a2，则实数 a的取值范围为 a0 或 a2解后反思：填空题中的函数问题，可优先选择利用数形结合思想，通过分离参数、分离函数等途径转化为两函数图像的关系问题处理解法一中也可以转化为： 与 ya在 y 轴右侧的图象有公共点（且不相切） 易求出此时 a2
10、，则实数 a的取值范围为 a0 或 a2例 3、已知函数 ，若存在实数 a、 b、 c、 d，满足fd，其中 ，则 abcd的取值范围是 .【答案】： 21,4【思路点拨】：由存在实数 、 、 c、 ，满足 fd得，存在一条平行于 x轴的直线与函数 ()fx的图象有四个不同的交点，从而得到 ,abcd之间所存在的关系，利用这一关系来求得 的取值范围。【解析】：如图，由图形可知 01a， 3b，则，3log， ， 1ab，因为 ，所以 ，由 得34x或 67，由于 cd，且二次函数 的图象的对称轴为5，故 c且 10，故易错警示：本题中最容易忽略的是 c的取值范围，从而导致出错。【变式 1】 、
11、 已知函数 若存在实数abc，满足 ，则的最大值是 【答案】： 2e1 【思路点拨】：根据函数【解析】式，可以结合函数的图象得出 a， b， c的关系，利用消元思想将问题转化为一元函数问题，进而利用导数知识解决.解题过程：作函数 )(xf的图象如下：根据题意，结合图象可得 6ba， ，且2ec所以令 ， 2ec则 ，易得 )(g在 2,上递增，又因为， ，根据零点存在性定理可得存在唯一20,ex，使得 0)(xg，从而函数 )(c的减区间是 0,xe，增区间是 20,ex，又因 为 ，则所以 在 2,e上的最大值是 12e 解后反思：本题以分段函数为背景，考查了导数知识在解决函数综合问题中的应
12、用，以及数形结合，化归与转化等重要数学思想.【变式 2】 、 已知函数 若存在 12,xR，当 时， ，则 12()xf的取值范围为 【解析】： 因为 时， ，画出函数()fx的图象，易知 13x ，则此时 ，所以，令 ，解得 183x，当 1取得最大值 2567，1x时取得最小值 3，所以 2()f的取值范围是 256,7【关联 1】 、设函数，若存在 1,0,21x，使成立，则实数 a 的取值范围为.【答案】： 4,1【思路点拨】：先分别求出函数 )(xf和 g的值域，再根据条件建立这两个函数值域之间的关系并求出实数 a的取值范围.【解析】：对于函数 )(xf，当21,0时， ；当1,2(
13、x时，从而当 1,0x，函数 )(xf的值域为 1,0D；对于函数 )(g，因为 1， ， ，所以，从而当 1,0x，函数 )(xg的值域为 （ 0a） ；因为存在 ,2，使 ，所以 ,若 ，则021a或 1，解之得 10a或 4，所以当 时， 4，即所求是实数 的取值范围是 ,.精彩点评：本题求函数 )(xf和函数 )(xg的值域并不困难，关键在于先求 时实数 a的取值范围，再用补集的思想 实数 a的取值范围，从而得到本题的最终【答案】 ，这种正难则反的思想希望同学们掌握.【关联 2】 、 已知函数 f(x)Error!若 abc 且 f f f ，则( ab1) c的取值范围是_.(a)
14、(b) (c)例 3、已知函数 f(x)是定义在1，)上的函数，且 f(x)Error!则函数 y2 xf(x)3 在区间(1,2 015)上的零点个数为_【答案】11 解法 1 由题意得当 1 x2 时， f(x)Error!设 x2 n1, 2n)(nN *)，则 1,2)，又 f(x) fx2n 1 12n 1，(12n 1x)当 时，则 x2 n1, 32n2 ，所以 f(x) f ，所以x2n 1 1， 32 12n 1( 12n 1x) 12n 1(212n 1x 2)2xf(x)32 x 30，整理得 x222 n2 x32 2n4 0.解得 x32 n2 或12n 1(212n
15、 1x 2)x2 n2 .由于 x2 n1, 32n2 ，所以 x32 n2 ；下面证明：当 x2 n1, 2n)时， y2 xf(x)3 只有一个零点当 x2 n1, 32n2 时， y f(x)单调递增， y g(x)单调递减， f(32n2 ) g(32n2 )，所以x2 n1, 32n2 时，有一零点 x32 n2 ；当 x(32 n2, 2n)时， y f(x) ， k1 f( x) ， g(x) ， k2 g( x) 12n 1 12n 1( x2n 2 3) 122n 3 32x 32x2，所以 k1k2.又因为 f(32n2 ) g(32n2 )，所以当 x2 n1, 2n)时
16、，(1322n 3， 322n 1)y2 xf(x)3 只有一个零点由 x32 n2 (1,2 015)，得 n11，所以函数 y2 xf(x)3 在区间(1,2 015)上零点的个数是 11.解法 3 分别作出函数 y f(x)与 y 的图像，如图，交点在 x1 ， x23， x36， xn32 n 2处取32x 32得由 x32 n2 (1,2 015)，得 n11，所以函数 y2 xf(x)3 在区间(1,2 015)上零点的个数是 11.【变式】 、. 已知函数 f(x)Error!当 x0,100时，关于 x 的方程 f(x) x 的所有解的和为15_【答案】10 000 【思路点拨
17、】 注意到方程 f(x) x 的解可以看做函数 y f(x)与 y x 的图像交点的横坐标，同时，15 15注意到 f(x) f(x1)1 具 有“周期性”的特点，由此可作出的图像，由图像来得到解的规律，进而得到所有解的和分别作出函数 y f(x)与 y x 的图像(如图)当 x0,1)时，令 f(x)( x1) 22( x1)1 x ，15 15即 x2 x 0，此时两根之和为 1；由图可知，当 x1,2)， x2,3)时，它们的两个根的和组成公15差为 2 的等差数列，从而当 x0,100时，所有的解的和为 10 000.1001 1 2 100 1 2应用数形结合的方法来研究解的个数或与解相关的问题，是一种常用的策略，也是简化问题求解 后 反 思解的一种手段，要熟练地掌握