1、专题 02 二次函数及指、对数函数的问题的探究【自主热身，归纳提炼】1、已知 4a2， logax2a，则正实数 x 的值为_ 【答案】： 12【解析】：由 4a2，得 22a2 1，所以 2a1，即 a .由 log x1，得 x .12 12 (12)1 122、函数 的定义域为 【答案】： (,3【解析】：由题意， ，即 31x，即 031x，解得 23x.3、 函数 f(x)log 2( x22 )的值域为_2【答案】|、 ( ，32【解析】：由题意可得 x22 0，即 x22 (0,2 ，故所求函数的值域为 .2 2 2 ( ，324、 设函数 f(x) x23 x a.若函数 f(
2、x)在区间(1,3)内有零点，则实数 a 的取值范围为_【答案】 (0，94解法 1 由 f(x)0 得 a x23 x 2 .因为 x(1,3)，所以 2 ，所以 a(x32) 94 (x 32) 94 (0， 94.(0，94解法 2 因为 f(x) x23 x a 2 a，所以要使函数 f(x)在区间(1,3)内有零点，则需 f 0 且(x32) 94 (32)f(3)0，解得 00，得 2xa.显然 a0，所以 xlog2a.由题意，得 log2a ，即 a .2a2x 12 2解法 2 (秒杀解法)当 x 时 ，必有 1 0，解得 a .12 a2x 210、 已知 f(x)是定义在
3、2,2上的奇函数，当 x(0,2时， f(x)2 x1，函数 g(x) x22 x m.如果x12,2， x22,2，使得 g(x2) f(x1)，则实数 m 的取值范围是_【答案】5，2 【解析】：因为 x(0,2，函数 f(x)2 x1，所以 f(x)的值域为(0, 3又因为 f(x)是2,2上的奇函数，所以 x0 时， f(0)0，所以在2,2上 f(x)的值域为3,3而在2,2上 g(x)的值域为m1,8 m如果对于任意的 x12,2，都存在 x22,2，使得 g(x2) f(x1)，则有3，3m1,8 m，所以Error! 即Error!所以5 m2.11、已知函数 f(x) x ，
4、若存在 x ，使得 f(x)0 矛盾2x那么有 a1 或 a5，故原题【答案】为11换元 g(x)t，f(t)0，由 g(x)x 212at 得 x2t(12a)，因为函数有四个零点，所思 路 分 析以方程 f(t)0 有且仅有两个不相等的根 t1，t 2，且 t112a，t 212a，因为方程 f(t)0 的一个解为t1，故按照 12a 与1 的大小关系，分三种情况讨论得出 a 的取值范围设 g(x)t，因为函数 yf(g(x)有四个不同的零点，所以方程 f(t)0 有且仅有两个不相等的根t1，t 2，且由 g(x)x 212at，得 x2t(12a)，故 t112a，t 212a.当 t1
5、，所以 f(0)1，则 a12a，t 212a.因为 t0 时，f(t)t 22ata1，所以 a0，4a 24(a1)0，f(0)0，f(12a)(12a) 22a(12a)a10，解得 1，即a| 15 12 5 12本题考查复合函数的零点问题，处理 f(g(x)0 解的个数问题，往往通过换元令 tg(x)，解 后 反 思f(t)0，研究 t 的解的个数，再讨论每一个解对应的 g(x)t 的解 x 的个数，常用数形结合的方法来处理【变式 2】 、已知函数 f(x) x22 ax a21，若关于 x 的不等式 f(f(x)0 的解集为空集，则实数 a 的取值范围是_【答案】： (，2 注意到 f(f(x)0 是关于 x 的四次不等式，所以直接求解是有困难的，因此，首先得降次，由思 路 分 析于 f(x)可分解为 ，从而应用整体思想，可将问题转化为 a1 f(x)a1，此x a 1 x a 1 时再来研究不等式 a1 f(x)a1 的解集若直接解不等式组Error!则需要进行分类讨论，且情况众多，所以应用数形结合的思想来加以解决，考虑函数 y f(x)与 y a1， y a1 的图像关系，易得到问题【答案】