1、专题 11 基本不等式及其应用【自主热身，归纳总结】1、已知 a0, b0，且 ，则 ab的最小值是_2a 3b ab【答案】：2 6【解析】 利用基本不等式，化和的形式为积的形式因为 2 ，所以 ab2 ，当且仅当 时，取等号ab2a 3b 2a3b 6 2a 3b 62、已知正数 ,xy满足 y，则 8xy的最小值为 【答案】9【解析】： =93、已知正实数 x， y满足 ，则 x y 的最小值为 【答案】： 263 4、已知 a， b为正数，且直线 ax by60 与直线 2x( b3) y50 互相平行，则 2a3 b的最小值为_ 【答案】25 【解析】：由于直线 ax by60 与直
2、线 2x( b3) y50 互相平行，所以 a(b3)2 b，即 1( a， b均为正数)，所以 2a3 b(2 a3 b) 136 1362 25(当且仅2a 3b (2a 3b) (ba ab) baab当 即 a b5 时取等号)ba ab5、已知正实数 ,xy满足 ，则 xy的最小值为 【答案】8【解析】：因为 ,0xy，所以 10y又因为 ，所以 10x，所以，当且仅当 ，即 5,3y时等号成立易错警示 在应用基本不等式时，要注意它使用的三个条件“一正二定三相等” 另外，在应用基本不等式时，要注意整体思想的应用6、设实数 x， y满足 x22 xy10，则 x2 y2的最小值是_【答
3、案】 5 12思路分析 1 注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值注意中消去 y较易，所以消去 y.解法 1 由 x2 2xy10 得 y ，从而 x2 y2 x2 2 2 ，当且1 x22x (1 x22x ) 5x24 14x2 12 516 12 5 12仅当 x 时等号成立415思路分析 2 由所求的结论 x2 y2想到将条件应用基本不等式，构造出 x2 y2，然后将 x2 y2求解出来解法 2 由 x22 xy10 得 1 x22 xy mx2 ny2，其中 mn1( m， n0)，所以( m1) x2 ny
4、21，令m1 n，与 mn1 联立解得 m ， n ，从而 x2 y2 .5 12 5 12 15 12 5 127、若正实数 xy， 满足 ，则 4yx的最小值是 【答案】 、8 【解析】： 因为正实数 xy， 满足 1，所以 ，当且仅当 4yx，即 2yx，又1xy，即 ，等号成立，即 4yx取得最小值 8.8、若实数 x， y满足 xy3 x3 ，则 的最小值为_(0 x12) 3x 1y 3【答案】： 8 解法 1 因为实数 x， y满足 xy3 x3 ，所以 y 3( y3)，(0 x12) 3x所以 y3 y3 62 68，当且仅当 y3 ，即 y43x 1y 3 1y 3 1y
5、3 y 3 1y 3 1y 3时取等号，此时 x ，所以 的最小值为 8.37 3x 1y 3解法 2 因为实数 x， y满足 xy3 x3 ，所以 y 3( y3)， y3 60，(0 x12) 3x 3x所以 6 62 68，当且仅当 6 ，即 x 时取等号，3x 1y 3 3x 13x 6 3x 13x 6 (3x 6)13x 6 3x 13x 6 37此 时 y4，所以 的最小值为 8.3x 1y 3解后反思 从消元的角度看，可以利用等式 xy3 x3 消“实数 x”或消“实数 y”，无论用哪种消元方式，消元后的式子结构特征明显，利用基本不等式的条件成熟9、 已知正数 a， b满足 5
6、，则 ab的最小值为_1a 9b ab【答案】. 36 【解析】：因为正数 a， b满足 5，所以 52 ，当且仅当 9a b时等号成立，即 ab51a 9b ab ab 9ab 60，解得 6 或 1(舍去)，因此 ab36，从而( ab)min36.ab ab ab10、已知 ， 均为锐角，且 cos( ) ，则 tan 的最大值是_sinsin【答案】 2411、 已知正数 x， y满足 1，则 的最小值为_1x 1y 4xx 1 9yy 1【答案】25 【解析】：因为 1 ，所以 9 x4 9( x1)1y 1x 4xx 1 9yy 1 4xx 1 91 1y 4xx 1 4x 191
7、3 9( x1)13 9( x1)又因为 1 0，所以 x1，同理 y1，所以4x 1 4x 1 1y 1x13 9( x1)132 25，当且仅当 x 时取等号，所以 的最小值为 25.4x 1 49 53 4xx 1 9yy 112、 已知 a b2， b0，当 取最小值时，实数 a的值是_12|a| |a|b【答案】： 2解法 1 2 ，当且仅当 a0，且12|a| |a|b a b4|a| |a|b a4|a| b4|a| |a|b 14 b4|a|a|b 34 ，即 a2， b4 时取等号b4|a| |a|b解法 2 因为 a b2， b0，所以 (a2)12|a| |a|b 12|
8、a| |a|2 a设 f(a) (a2)，12|a| |a|2 a则 f(a)Error!当 a0 时， f(a) ，从而 f( a) ，故当 a2 时，12a a2 a 12a2 2 a 2 2 3a 2 a 22a2 a 2 2f( a)0；当2 a0 时， f( a)0，故 f(a)在(，2)上是减函数，在(2，0)上是增函数，故当 a2 时， f(a)取得极小值 ；同理，当 0 a2 时，函数 f(a)在 a 处取得极小值 .综上，当34 23 54a2 时， f(a)min .34【问题探究，变式训练】 :例 1、 已知正数 x，y 满足 xy1，则 的最小值为_4x 2 1y 1【
9、答案】： 94解法 1 令 x2 a， y1 b，则 a b4( a2， b1)， (a b) (54)4a 1b 14 (4a 1b) 14(5 4ba ab) 14，当且仅当 a ， b ，即 x ， y 时取等号94 83 43 23 13解法 2 (幂平均不等式)设 a x2， b y1，则 .4x 2 1y 1 4a 1b 22a 12b 1 2 2a b 94解法 3 (常数代换)设 a x2， b y1，则 ，当且仅当4x 2 1y 1 4a 1b a ba a b4b 54 ba a4b 94a2 b时取等号【变式 1】 、已知实数 x， y满足 xy0，且 x y2，则 的最
10、小值为_ 2x 3y 1x y【答案】 3 224设Error! 解得Error!所以 x y 2，即 m n4.设 t ，所以 4t (m n)m n2 2x 3y 1x y 2m 1n (2m 1n)3 32 .即 t ，当且仅当 ，即 m n时取等号2nm mn 2 3 224 2nm mn 2【变式 2】 、已知 x， y为正实数，则 的最大值为 4x4x y yx y.【答案】： 43【解析 1】：令 ，从而得 ，故，当且仅当 2ab，即 yx时等号成立。 解法 2 设 BD CD m， AD n，则由已知得 7(2m)22( m2 n2)4 ，所以 15m2 n22 2 mn，所以
11、3 3 15mn ，当且仅当 15m2 n2时取等号，此时 m2 ，所以面积的最大值为 .55 315 55例 3、 若实数 x， y满足 2x2 xy y21，则 的最大值为_x 2y5x2 2xy 2y2【答案】. 24【解析】： 在 2x2 xy y21 中，独立变量有两个，因为用 x表示 y或用 y表示 x均不方便，可引入第三个变量来表示 x， y.由 2x2 xy y21，得(2 x y)(x y)1，设 2x y t， x y ，其中 t0.则1tx t ， y t，从而 x2 y t ，5 x22 xy2 y2 t2 ，记 u t ，则 13 13t 23t 13 1t 1t2
12、1t x 2y5x2 2xy 2y2 ，当且仅当 u ，即 u 时取等号，即最大值为 .uu2 2 1u 2u 12u2u 24 2u 2 24【变式 1】 、 已知正实数 x，y 满足 5x24xyy 21，则 12x28xyy 2的最小值为_【答案】： 73解法 1(双变量换元) 因为 x0，y0，且满足 5x24xyy 21，由此可得(5xy)(xy)1，令u5xy，vxy，则有 u0，v0，uv1，并且 x ，y ，代入u v6 5v u612x28xyy 212 28 2 (u v6 ) u v6 5v u6 (5v u6 ) u2 9v2 22uv12 2u29v2 22uv12
13、28uv12 ，当且仅当 u3v，uv1，即 u ，v ，亦即 x ，y 时，12x 28xyy 2取得最28112 73 3 33 239 39小值 .73解法 2(常数 1的代换) 因为 x0，y0，且满足 5x24xyy 21，由此可得(5xy)(xy)1，因为x0，y0，xy0，所以 5xy0，即有 00，f(t)单调递增，所以当 t 时，(0，12) (12， 5) 12f(t)取极小值，也是最小值 f .(12) 73此时 x2y，结合 5x24xyy 21，解得 x ，y ，即当 x ，y 时，12x 28xyy 2取得最239 39 239 39小值 .73解法 3(基本不等式
14、) 因为 x0，y0，设 u0，v0，则ux2vy 22 xy.12x28xyy 212x 28xyy 2(2 xyux 2vy 2)，即 12x28xyy 2(12u)uv uvx2(82 )xy(v1)y 2.令(12u)x 2(82 )xy(v1)y 2t(5x 24xyy 2)t，则uv uv12u5t，82 4t，v1t，解得 t ，u ，v ，uv73 13 43所以12x28xyy 2 2 x2 xy y2 (5x(353x2 8xy 73y2) (13x2 43y2) (353x2 8xy 73y2) 13x243y2 353 283 73 7324xyy 2) ，当且仅当 x
15、2y，结合 5x24xyy 21，解得 x ，y ，即当 x ，y 时，73 239 39 239 3912x28xyy 2取得最小值 .73【变式 2】 、 若正实数 x， y满足(2 xy1) 2(5 y2)( y2)，则 x 的最大值为_12y【答案】：. 1 322解法 1 令 x z，则 2xy2 yz1，代入(2 xy1) 2(5 y2)( y2)整理得(4 z25) y28( z1)12yy80 (*)，由题意得 y20，该方程在2，)应有解，故 0，即 64(z1) 232(4 z25)0，化简得 2z24 z70, 故 00， y1y2 4，故方程必有大于 2的实根，所以 x
16、 的最大值为122 1617 122 817 122 12y 1.322解法 2 (2xy1) 2(5 y2)( y2)，即 2 ，则 x ，所以(2x1y) (5 2y)(1 2y) (5 2y)(1 2y) 1y2x 12y 12 (5 2y)(1 2y) 1y 1 (1y 1)2 94 (1y 1) 12 (1y 1)2 94 (1y 1)2 1，322当且仅当 1，即 y 2时等号成立，所以 x 的最大值为 1. (1y 1)2 94 1y 432 4 12y 322解法 3 由(2 xy1) 2(5 y2)( y2)得 2 ，(2x1y) (5 2y)(1 2y)即 29 2，即 2
17、 29，(2x1y) (2y 2) (2x 1y) (2y 2)所以 9 2 2 2x 2 2，所以 x 1.(2x1y) (2y 2) 12 1y 2y 12y 322【变式 3】 、若实数 x， y满足 x24 xy4 y24 x2y24，则当 x2 y取得最大值时， 的值为_xy【答案】：2思路分析 设 x a,2y b，则问题变简单了设 x a,2y b，则实数 a， b满足( a b)2( ab)24.因为( a b)2( a b)24 ab 4( ab)24 ab8( ab2) 28，当且仅当 a b 时， a b取最大值 2 ，此时 x2 y，所以 2.2 2xy【关联 1】 、
18、 已知对满足 x y42 xy的任意正实数 x， y，都有 x22 xy y2 ax ay10，则实数 a的取值范围是_【答案】： ( ，174【解析】：对于正实数 x， y，由 x y42 xy得 x y42 xy ，解得 x y4， x y 22不等式 x22 xy y2 ax ay10 可化为( x y)2 a(x y)10，令 t x y(t4)，则该不等式可化为 t2 at10，即 a t 对于任意的 t4 恒成立，1t令 u(t) t (t4)，则 u (t)1 0对于任意的 t4 恒成立，从而函数 u(t) t (t4)1t 1t2 t2 1t2 1t为单调递增函数，所以 u(t
19、)min u(4)4 ，于是 a . 14 174 174【关联 2】 、 设实数 x， y满足 y21，则 3x22 xy的最小值是_x24【答案】. 64 2解法 1 因为 y21，所以 3x22 xy ，令 k ，则 3x22 xy x24 3x2 2xyx24 y23 2yx14 (yx)2 yx ( 12， 12) 3 2k14 k2，再令 t32 k(2,4)，则 k ，故4 3 2k1 4k2 3 t23x22 xy 64 ，当且仅当 t2 时等号成立4t t2 6t 8 4 (t 8t) 6 46 28 2 2解法 2 令 t3 x22 xy，则 y ，代入方程 y21 并化简得 8x4(46 t)x2 t20，令3x2 t2x x24u x24，则 8u2(46 t)u t20 在4，)上有解，从而由Error!得 t212 t40，解得 t 64，当取得最小值时， u2 满足题意2322解法 3 因为 y21 ，所以令 y t，则 y ，从而Error!则x24 (x2 y)(x2 y) x2 x2 1t3x22 xy62 t2 64 ，当且仅当 t2 时等号成立4t2 2 2