1、专题 06 三角函数的图像与性质【自主热身，归纳总结】1、已知锐角 满足 tan cos，则 _6sin cossin cos【答案】： 32 2【解析 】： 由 tan cos 得 sin cos2，即 sin (1 sin2)，解得 sin (负值6 6 663已舍去)， cos ，代入 ，可得结果为 32 .33 sin cossin cos 22、在平面直角坐标系 xOy 中，已知角 ， 的始边均为 x 轴的非负半轴，终边分别经过点 A(1，2)，B(5，1)，则 tan()的值为_【答案】： 97【解析】：由三角函数的定义可知 tan 2， tan ，故 tan() 21 15 ta
2、n tan1 tan tan .2 151 215 973、 函数 y3 sin 的图像两相邻对称轴的距离为_(2x 4)【答案】： 2【解析】：由题知函数最小正周期 T .图像两相邻对称轴间的距离是最小正周期 的一半即 .22 24、若函数 f(x)A sin(x)(A0，0)的图像与直线 ym 的三个相邻交点的横坐标分别是 ， ， 6 3，则实数 的值为_23【答案】： 4 【解析】：由题意得函数 f(x)的最小正周期 T ，从而 4.23 6 25、若函数 f(x)A sin(x)(A0，0，| )的部分图像如图所示，则 f( )的值为_【答案】： 1 【解析】：由题意，A2，T 43
3、，即 ，解得 2k ，kZ，即( 4) 2 23 23 2 2 k ， kZ，因为| |，所以 ，所以 f()2sin( )1. 6 6 23 6依图求函数 yA sin(x)的【解析】式的难点在于确定初相 ，其基本方法是利用特殊点，解 后 反 思通过待定系数法、五点法或图像变换法来求解6 函数 f(x)cos 的最小正周期为_x2(sinx2 3cosx2)【答案】2 【解析】：因为 f(x)cos sinx sin ，所以最小正周期为x2(sinx2 3cosx2) 12 3 1 cosx2 (x 3) 322.7、将函数 y3sin 的图像向右平移 个单位长度后，所得函数为偶函数，则(2
4、x 3) (0 2) _.【答案】：. 5128、 若函数 f(x)sin ( 0)的最小正周期为 ，则 f 的值是_( x 6) ( 3)【答案】： 12【解析】：因为 f(x)的最小正周期为 ，所以 ，故 2，所以 f(x)sin ，从而2 (2x 6)f si n sin .( 3) 23 6 56 129、 已知 ， ，cos ，sin( ) ，则 cos _.(0， 2) ( 2， ) 13 35【答案】：4 6215【解析】： 因为 ，cos ，所以 sin .又 ， ，sin( )(0， 2) 13 223 232 0，所以 ，故 cos( ) ，从而 cos cos( )cos
5、( )35 ( ， 32) 45cos sin( )sin .45 13 35 223 4 621510、 若 tan 2tan ，且 cos sin ，则 sin( )的值为_23【答案】： 13【解析】：因为 tan 2tan ，所以 ，即 cos sin 2sin cos .又因为sincos 2sincoscos sin ，所以 sin cos ，从而 sin( )s in cos cos sin .23 13 13 23 1311若函数 的图象过点 (0,3，则函数 ()fx在 0,上的单调减区间是 【答案】： 127,（或 )127,(） 12、在同一直角坐标系中，函数 ysin(
6、 x ) （ x0，2）的图象和直线 y 的交点的个数是 3 12【答案】 2 解法 1 令 ，可得即 ，又 x0，2，所以 16x或 2，故原函数图象与 12y的交点个数为 2.解法 2 在同一个坐标系下画出这两个函数图象，可得交点个数为 213、 已知 是第三象限角，且 sin 2cos ，则 sin cos _.25【答案】： 3125思路分析 首先试试能否猜出【答案】 ，猜出的【答案】是否正确观察得 sin ，cos 满足方程，45 35但此时 是第一象限角，不合题意由Error! 得 5cos2 cos 0，解得 cos 或 .因为 是第三象限角，所以 cos ，85 2125 35
7、 725 725从而 sin ，所以 sin cos .2425 3125解后反思 虽然观察得到的结果不合题意，但是也很有用，在实际解方程时，利用“根与系数的关系”能很快找到我们需要的解本质上，Error!可看作是二元二次方程组，通常有两解一般地，由 Asin Bcos C 求 sin ，cos 可能有两组解14、 已知 sin(x ) ，则 sin(x )sin 2( x)的值为_ 6 13 56 3【答案】： 59【解析】：sin sin sin( x )(x56) (x 6 ) 6 ，sin 2 cos 2 1sin 2(x )1 ，所以 sin sin 2 13 ( 3 x) (x 6
8、) 6 19 89 (x 56) ( 3 x) 13 89.59解后反思 本题旨在考查角变换和函数名称变换，切不可以把已知和未知的括号打开，以免陷入繁杂的运算中，造成隐形失分【问题探究，变式训练】例 1、 设函数 f(x)sin( x ) cos(x ) 的最小正周期为 ，且满足3 ( 0， | |0)个单位长度后，所得到的图像关于 y3轴对称，则 m 的最小值是_【答案】 6解法 1 函数 y cosxsin x2sin 的图像向左平移 m(m0)个单位长度后所得图像的函数【解析】3 (x 3)式是 y2sin ，由于函数 y2sin x 的图像至少向左平移 个单位长度后可得到关于 y 轴对
9、称的(x m 3) 2图像，所以 m 的最小值是 ，故 m 的最小值是 . 3 2 6【关联 6】 、将函数 ysin2 x 的图像向左平移 ( 0)个单位长度，若所得图像过点（ ， )，则 的 6 32最小值为_. 【答案】： 6【解析】：将函数 ysin2 x 的图像向左平移 ( 0)个单位长度得 到 ysin(2 x2 )的图像，将点代入得 sin ，所以 2 2 k 或 2 2 k (kZ)，即 k( 6， 32) ( 3 2 ) 32 3 3 3 23或 k (kZ)，又因为 0，所以 的最小值为 . 6 6易错警示 错以为函数 ysin2 x 的图像向左平移 ( 0)个单位长度之后
10、变成了 ysin(2 x )的图像，从而导致了错误还有的考生的【答案】为 0，充分说明没看清题目条件例 2、设函数 f(x) Asin(x )A0， 0， 0，所以 T2 ，得 1.(4 分)T4 56 3 2 2所以 f(x)2sin( x )，将点 ，2 代入，得 2 k( kZ)，即 2 k( kZ)， 3 3 2 6又 0， 0， 0 2)(1) 求函数 f(x)的【解析】式； 【解析】：(1) 首先把函数化简为 f(x) Asin(x ) B 的形式，其中 A0， 0.(2) 利用正弦、余弦定理，列出关于边 a， b 的方程组规范解答 (1) 因为 f(x) sin2x (1cos2
11、 x)32 12 12sin 1(2x 6)所以函数 f(x)的最小值是2，此时 2x 2 k ， kZ，得 x k ， kZ，即 x 的取值集合为Error!. 6 2 6(2) 由 f(C)0，得 sin 1.又 C(0，)，所以 2C ，得 C(2C 6) 6 2 3由 sinB2sin A 及正弦定理，得 b2 a.(11 分)由余弦定理 c2 a2 b22 abcosC，得 a2 b2 ab3由Error! 解得Error!【关联】 、已知向量 a ， b(cos x，1)(1) 当 a b 时，求 tan 的值；(sinx，34) (x 4)(2) 设函数 f(x)2( a b)b，当 x 时，求 f(x)的值域0， 2【解析】 (1) 因为 a b，所以 cosxsin x0，所以 tanx ，34 34所以 tan 7.(x 4) tanx 11 tanx 34 11 34(2) f(x)2( a b)b2 (cosx，1)(sinx cosx， 14)2 (sinxcosx cos2x14) sin .2 (2x 4) 32因为 x ，所以 2 x ，所以 sin 1，0， 2 4 4 54 22 (2x 4)所以 f(x) ，即函数 f(x)的值域为 .12 32 2 12， 32 2