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2019高考数学二轮复习核心考点特色突破专题04:导数的概念与应用(含解析)

1、专题 04 导数的概念与应用【自主热身,归纳提炼】1、曲线 y xcos x在点 处的切线方程为_(2, 2)【答案】2 x y 0 2【解析】:因为 y1sin x,所以 k 切 2,所以所求切线方程为 y 2 ,即 2x y 0.2 (x 2) 22、在平面直角坐标系 xOy中,若曲线 yln x在 xe(e 为自然对数的底数)处的切线与直线 ax y30垂直,则实数 a的值为_【答案】e 【解析】:因为 y ,所以曲线 yln x在 xe 处的切线的斜率 k y xe .又该切线与直线1x 1eax y30 垂直,所以 a 1,所以 ae.1e3、若曲线 C1: y ax36 x212

2、x与曲线 C2: ye x在 x1 处的两条切线互相垂直,则实数 a的值为_【答案】 13e【解析】:因为 y3 ax212 x12, ye x,所以两条曲线在 x1 处的切线斜率分别为k13 a, k2e,即 k1k21,即 3ae1,所以 a .13e4、在平面直角坐标系 xOy中,记曲线 y2 x (xR, m2)在 x1 处的切线为直线 l.若直线 l在两mx坐标轴上的截距之和为 12,则实数 m的值为_【答案】3 或4【解析】: y2 , y x1 2 m,所以直线 l的方程为 y(2 m)(2 m)(x1),即 y(2 m)mx2x2 m.令 x0,得 y2 m;令 y0, x .

3、由题意得 2 m12,解得 m3 或 m4.2mm 2 2mm 25、设 f(x)4 x3 mx2( m3) x n(m, nR)是 R上的单调增函数,则实数 m的值为_【答案】6 【解析】:因为 f( x)12 x22 mx( m3),又函数 f(x)是 R上的单调增函数,所以 12x22 mx( m3)0 在 R上恒成立,所 以(2 m)2412( m3)0,整理得 m212 m360,即( m6) 20.又因为( m6)20,所以( m6) 20,所以 m6.6、已知函数 若函数 f(x)的图象与 x轴有且只有两个不同的交点,则实数m的取值范围为 【答案】 (5 ,0)【解析】由 ,所以

4、, ,所以, ()fx在 01,上单调递增,即至多有一个交点,要使函数 f(x)的图象与 x轴有且只有两个不同的交点,即 5m,从而可得 m(5,0)7、已知点 A(1,1)和 B(1,3)在曲线 C: y ax3 bx2 d(a, b, d均为常数)上若曲线 C在点 A, B处的切线互相平行,则 a3 b2 d_.【答案】:7【解析】 由题意得 y3 ax22 bx,因为 k1 k2,所以 3a2 b3 a2 b,即 b0.又a d1, d a3,所以 d1, a2,即 a3 b2 d7.8、已知函数 f(x)ln x (mR)在区间1,e上取得最小值 4,则 m_.mx【答案】:3e 9、

5、 曲线 f(x) ex f(0)x x2在点(1, f(1)处的切线方程为_f 1e 12【 答案 】 : ye x 12【解析】:因为 f( x) ex f(0) x,故有Error!即Error!原函数表达式可化为 f(x)f 1ee x x x2,从而 f(1)e ,所以所求切线方程为 y e( x1),即 ye x .12 12 (e 12) 12应注意“在某点处的切线”与“过某点处的切线”的区别,前者表示此点即为切点,后者表示此点不一定是切点,过此点可能存在两条或多条切线10、已知函数 在 3x时取得极值, 则 a的值等于 【答案】:3【解析】 ,根据题意 (3)0f,解得 3a,经

6、检验满足题意,所以 a的值等于 311已知三次函数 在 (,)x是增函数,则 m的取值范围是 【答案】: 24m 【解析】 ,由题意得 恒成立, , 24m 12、 若函数 在开区间 2(6)a, 既有最大值又有最小值,则实数 a的取值范围是 【答案】: 2【解析】 :函数 ()gx在 1处取得极小值 (1)2g,在 1x处取得极大值 (1)2g,又因为函数在开区间 2(6)a, 内既有最大值又有最小值,所以 即 a的取值范围是 【问题探究,开拓思维】例 1、若直线 2yxb为曲线 exy的一条切线,则实数 b的值是 【答案】:1 【解析】: 设切点的横坐标为 0,由曲线 xye,得 1xye

7、,所以依题意切线的斜率为,得 0x,所以切点为 (,1),又因为切线 2b过切点 (0,),故有 20b,解得 1b. (3) 当 a1 时,记 h(x) f(x)g(x),是否存在整数 ,使得关于 x的不等式 2 h(x)有解?若存在,请求出 的最小值;若不存在,请说明理由(参考数据:ln20.693 1,ln31.098 6)思路分析 第(2)问,由于问题中含有参变量 a,因此,函数的单调性及单调区间就随着 a的变化而变化,因此,就需要对参数 a进行讨论,要讨论时,注意讨论的标准的确定方式:一是导函数是何种函数;二是导函数的零点是否在定义域内;三是导函数的零点的大小关系如何第(3)问,注意

8、到 2 h(x)有解等价于 h(x)min2 ,因此,问题归结为求函数 h(x)的最小值,在研究 h(x)的最小值时,要注意它的极值点是无法求解的,因此,通过利用极值点所满足的条件来进行消去 lnx来解决问题另一方面,我们还可以通过观察,来猜测 的最小值为 0,下面来证明当 1 时 2 h(x)不成立,即 h(x)2 则可【解析】:(1) 当 a2 时,方程 g(ex)0 即为 2ex 30,去分母,得1ex2(ex)23e x10,解得 ex1 或 ex ,(2 分)12故所求方程的根为 x0 或 xln2.(4 分)综上所述,当 a0 时, (x)的单调递增区间为 ;(0,a 1a )当

9、0 a1 时, (x)的单调递增区间为(0,);当 a1 时, (x)的单调递增区间为 .(10分)(a 1a, )(3) 解法 1 当 a1 时, g(x) x3, h(x)( x3)ln x,所以 h( x)ln x1 单调递增, h ln 120, h(2)ln21 0,所以存在唯一 x03x (32) 32 32,使得 h( x0)0,即 lnx01 0,(12 分)(32, 2) 3x0当 x(0, x0)时, h( x)0;当 x( x0,)时, h( x)0,所以 h(x)min h(x0)( x03)lnx0( x03) 6 .(3x0 1) x0 3 2x0 (x0 9x0)

10、记函数 r(x)6 ,则 r(x)在 上单调递增,(14 分)(x9x) (32, 2)所以 r h(x0) r(2),(32)即 h(x0) ,(32, 12)由 2 ,且 为整数,得 0,32所以存在整数 满足题意,且 的最小值为 0.(16分) 解法 2 当 a1 时, g(x) x3,所以 h(x)( x3)ln x,由 h(1)0,得当 0 时,不等式 2 h(x)有解,(12 分)下证:当 1 时, h(x)2 恒成立,即证( x3)ln x2 恒成立显然当 x(0,13,)时,不等式恒成立,只需证明当 x(1,3)时,( x3)ln x2 恒成立即证明 lnx 0.令 m(x)ln x ,2x 3 2x 3所以 m( x) ,由 m( x)0,得 x4 ,(14 分)1x 2 x 3 2 x2 8x 9x x 3 2 7当 x(1,4 )时, m( x)0;当 x(4 ,3)时, m( x)0.7 7所以 m(x)max m(4 )ln(4 ) ln(42) ln210.7 77 13 2 13所以当 1 时, h(x)2 恒成立综上所述,存在整数 满足题意,且 的最小值为 0.(16分)解后反思 研究恒成立问题、存在性问题,其本质就是研究相关函数的最值问题,这样就可以让问题的研究目标具体化同时,在研究此类问题时,经常可以采用从特殊到一般的方式来帮助我们进行思考