1、专题 04 导数的概念与应用【自主热身，归纳提炼】1、曲线 y xcos x在点 处的切线方程为_(2， 2)【答案】2 x y 0 2【解析】：因为 y1sin x，所以 k 切 2，所以所求切线方程为 y 2 ，即 2x y 0.2 (x 2) 22、在平面直角坐标系 xOy中，若曲线 yln x在 xe(e 为自然对数的底数)处的切线与直线 ax y30垂直，则实数 a的值为_【答案】e 【解析】：因为 y ，所以曲线 yln x在 xe 处的切线的斜率 k y xe .又该切线与直线1x 1eax y30 垂直，所以 a 1，所以 ae.1e3、若曲线 C1： y ax36 x212
2、x与曲线 C2： ye x在 x1 处的两条切线互相垂直，则实数 a的值为_【答案】 13e【解析】：因为 y3 ax212 x12， ye x，所以两条曲线在 x1 处的切线斜率分别为k13 a， k2e，即 k1k21，即 3ae1，所以 a .13e4、在平面直角坐标系 xOy中，记曲线 y2 x (xR， m2)在 x1 处的切线为直线 l.若直线 l在两mx坐标轴上的截距之和为 12，则实数 m的值为_【答案】3 或4【解析】： y2 ， y x1 2 m，所以直线 l的方程为 y(2 m)(2 m)(x1)，即 y(2 m)mx2x2 m.令 x0，得 y2 m；令 y0， x .
3、由题意得 2 m12，解得 m3 或 m4.2mm 2 2mm 25、设 f(x)4 x3 mx2( m3) x n(m， nR)是 R上的单调增函数，则实数 m的值为_【答案】6 【解析】:因为 f( x)12 x22 mx( m3)，又函数 f(x)是 R上的单调增函数，所以 12x22 mx( m3)0 在 R上恒成立，所 以(2 m)2412( m3)0，整理得 m212 m360，即( m6) 20.又因为( m6)20，所以( m6) 20，所以 m6.6、已知函数 若函数 f(x)的图象与 x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围为 【答案】 （5 ，0）【解析】由 ，所以
4、， ，所以， ()fx在 01,上单调递增，即至多有一个交点，要使函数 f(x)的图象与 x轴有且只有两个不同的交点，即 5m，从而可得 m(5,0)7、已知点 A(1,1)和 B(1，3)在曲线 C： y ax3 bx2 d(a， b， d均为常数)上若曲线 C在点 A， B处的切线互相平行，则 a3 b2 d_.【答案】：7【解析】 由题意得 y3 ax22 bx，因为 k1 k2，所以 3a2 b3 a2 b，即 b0.又a d1， d a3，所以 d1， a2，即 a3 b2 d7.8、已知函数 f(x)ln x (mR)在区间1，e上取得最小值 4，则 m_.mx【答案】：3e 9、
5、 曲线 f(x) ex f(0)x x2在点(1， f(1)处的切线方程为_f 1e 12【 答案 】 ： ye x 12【解析】：因为 f( x) ex f(0) x，故有Error!即Error!原函数表达式可化为 f(x)f 1ee x x x2，从而 f(1)e ，所以所求切线方程为 y e( x1)，即 ye x .12 12 (e 12) 12应注意“在某点处的切线”与“过某点处的切线”的区别，前者表示此点即为切点，后者表示此点不一定是切点，过此点可能存在两条或多条切线10、已知函数 在 3x时取得极值， 则 a的值等于 【答案】：3【解析】 ，根据题意 (3)0f，解得 3a，经
6、检验满足题意，所以 a的值等于 311已知三次函数 在 (,)x是增函数，则 m的取值范围是 【答案】： 24m 【解析】 ，由题意得 恒成立， ， 24m 12、 若函数 在开区间 2(6)a, 既有最大值又有最小值，则实数 a的取值范围是 【答案】： 2【解析】 ：函数 ()gx在 1处取得极小值 (1)2g，在 1x处取得极大值 (1)2g，又因为函数在开区间 2(6)a, 内既有最大值又有最小值，所以 即 a的取值范围是 【问题探究，开拓思维】例 1、若直线 2yxb为曲线 exy的一条切线，则实数 b的值是 【答案】：1 【解析】： 设切点的横坐标为 0，由曲线 xye，得 1xye
7、，所以依题意切线的斜率为，得 0x，所以切点为 (,1)，又因为切线 2b过切点 (0,)，故有 20b，解得 1b. (3) 当 a1 时，记 h(x) f(x)g(x)，是否存在整数 ，使得关于 x的不等式 2 h(x)有解？若存在，请求出 的最小值；若不存在，请说明理由(参考数据：ln20.693 1，ln31.098 6)思路分析 第(2)问，由于问题中含有参变量 a，因此，函数的单调性及单调区间就随着 a的变化而变化，因此，就需要对参数 a进行讨论，要讨论时，注意讨论的标准的确定方式：一是导函数是何种函数；二是导函数的零点是否在定义域内；三是导函数的零点的大小关系如何第(3)问，注意
8、到 2 h(x)有解等价于 h(x)min2 ，因此，问题归结为求函数 h(x)的最小值，在研究 h(x)的最小值时，要注意它的极值点是无法求解的，因此，通过利用极值点所满足的条件来进行消去 lnx来解决问题另一方面，我们还可以通过观察，来猜测 的最小值为 0，下面来证明当 1 时 2 h(x)不成立，即 h(x)2 则可【解析】：(1) 当 a2 时，方程 g(ex)0 即为 2ex 30，去分母，得1ex2(ex)23e x10，解得 ex1 或 ex ，(2 分)12故所求方程的根为 x0 或 xln2.(4 分)综上所述，当 a0 时， (x)的单调递增区间为 ；(0，a 1a )当
9、0 a1 时， (x)的单调递增区间为(0，)；当 a1 时， (x)的单调递增区间为 .(10分)(a 1a， )(3) 解法 1 当 a1 时， g(x) x3， h(x)( x3)ln x，所以 h( x)ln x1 单调递增， h ln 120， h(2)ln21 0，所以存在唯一 x03x (32) 32 32，使得 h( x0)0，即 lnx01 0，(12 分)(32， 2) 3x0当 x(0， x0)时， h( x)0；当 x( x0，)时， h( x)0，所以 h(x)min h(x0)( x03)lnx0( x03) 6 .(3x0 1) x0 3 2x0 (x0 9x0)
10、记函数 r(x)6 ，则 r(x)在 上单调递增，(14 分)(x9x) (32， 2)所以 r h(x0) r(2)，(32)即 h(x0) ，(32， 12)由 2 ，且 为整数，得 0，32所以存在整数 满足题意，且 的最小值为 0.(16分) 解法 2 当 a1 时， g(x) x3，所以 h(x)( x3)ln x，由 h(1)0，得当 0 时，不等式 2 h(x)有解，(12 分)下证：当 1 时， h(x)2 恒成立，即证( x3)ln x2 恒成立显然当 x(0,13，)时，不等式恒成立，只需证明当 x(1,3)时，( x3)ln x2 恒成立即证明 lnx 0.令 m(x)ln x ，2x 3 2x 3所以 m( x) ，由 m( x)0，得 x4 ，(14 分)1x 2 x 3 2 x2 8x 9x x 3 2 7当 x(1,4 )时， m( x)0；当 x(4 ，3)时， m( x)0.7 7所以 m(x)max m(4 )ln(4 ) ln(42) ln210.7 77 13 2 13所以当 1 时， h(x)2 恒成立综上所述，存在整数 满足题意，且 的最小值为 0.(16分)解后反思 研究恒成立问题、存在性问题，其本质就是研究相关函数的最值问题，这样就可以让问题的研究目标具体化同时，在研究此类问题时，经常可以采用从特殊到一般的方式来帮助我们进行思考