1、2019 年山东省潍坊市安丘市、诸城市、五莲县、兰山区高考数学模拟试卷（理科）（4 月份）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5 分）设集合 Ax| x240，Bx|x+20，则 AB（ ）A x|x2 Bx|x2 C x|x2 或 x2 D2（5 分）若复数 z ，其中 i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）Az 的虚部为i B|z|2Cz 2 为纯虚数 Dz 的共轭复数为 1i3（5 分）已知函数 f（x ） ，则 f（f（2）（ ）A2 B2 C1 D14（5 分）如图，在矩形区域 ABCD 的 A，C 两
2、点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）A B C D5（5 分）如图，在ABC 中，ABBC 4，ABC30 ，AD 是边 BC 上的高，则的值等于（ ）A2 B4 C6 D86（5 分）某城市收集并整理了该市 2017 年 1 月份至 10 月份各月最低气温与最高气温（单位：）的数据，绘制了下面的折线图已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A最低气温与最高气温为正相关B10 月的最高气温不低于
3、5 月的最高气温C月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在 1 月D最低气温低于 0的月份有 4 个7（5 分）如图正方体 AC1，点 M 为线段 BB1 的中点，现用一个过点 M，C，D 的平面去截正方体，得到上下两部分，用如图的角度去观察上半部分几何体，所得的侧视图为（ ）A B C D8（5 分）周髀算经中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是 37.5 尺，芒种的日影子长为 4.5 尺，则冬至的日影子长为（ ）A15.5 尺 B12.5 尺 C10.5 尺 D9.
4、5 尺9（5 分）已知函数 f（x ）x4+ ，x（0，4），当 xa 时，f（x）取得最小值b，则函数 g（x ）a |x+b|的图象为（ ）A BC D10（5 分）已知函数（x）Asin （ x+）（A0，0，| | ）的最大值为 ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，且 f（x ）的图象关于点（ ，0）对称，则下列判断正确的是（ ）A函数 f（x）在 ， 上单调递增B函数 f（x ）的图象关于直线 x 对称C当 x ， 时，函数 f（x ）的最小值为D要得到函数 f（x）的图象，只需将 y cos2x 的图象向右平移 个单位11（5 分）已知双曲线 C： 1（a0，b0）的左、右焦点分
5、别为 F1、F 2，实轴长为 4，渐近线方程为 y ，|MF 1|MF 2|4 ，点 N 在圆 x2+y24y0 上，则|MN|+|MF1|的最小值为（ ）A2 B5 C6 D712（5 分）已知函数 f（x ） ，若当方程 f（x）m 有四个不等实根 x1，x 2，x 3， x4（x 1x 2x 3x 4）时，不等式 kx3x4+x12+x22k+11 恒成立，则实数 k的最小值为 （ ）A B2 C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13（5 分）若实数 x，y 满足条件 ，则 z 3xy 的最大值为 14（5 分）（x 2+x+y） 5 的展开式中，x 3y
6、3 的系数为 15（5 分）已知点 A（0，2），抛物线 C：y 22px（p0）的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点 N，若 ，则 p 的值等于 16（5 分）已知 f（n）表示正整数 n 的所有因数中最大的奇数，例如：12 的因数有1，2，3，4，6，12，则 f（12）3；21 的因数有 1，3， 7，21，则 f（21）21，那么 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题考生根据要求作答17（12 分）ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 所对的
7、边，且满足 a bsin（C +）（1）求角 B：（2）求 sinAsin C 的取值范围18（12 分）如图所示，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，PA2，ABC90，AB ，BC1，AD2 ，CD4，E 为 CD 的中点求证：（1）AE平面 PBC；（2）求二面角 BPCD 的余弦值19（12 分）已知椭圆 C： + 1（ab0）的左、右焦点分别为 F1（1，0），F2（1， 0），且椭圆上存在一点 M，满足|MF 1| ，F 1F2M120（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）过椭圆 C 右焦点 F2 的直线 1 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B ，求F 1AB 的内切圆的半径
8、的最大值20（12 分）某保险公司对一个拥有 20000 人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为 A， B，C 三类工种，从事这三类工种的人数分别为 12000，6000，2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如表（并以此估计赔付概率）：工种类别 A B C赔付频率已知 A，B ，C 三类工种职工每人每年保费分别为 25 元、25 元、40 元，出险后的赔偿金额分别为 100 万元、100 万元、50 万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年 10 万元（1）求保险公司在该业务所或利润的期望值；（
9、2）现有如下两个方案供企业选择：方案 1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年 12 万元；方案 2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的 70%，职工个人负责保费的 30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议21（12 分）已知函数 f（x）（ax1）e x+x2（1）当 a1 时，求函数 f（ x）的极值；（2）证明：当 a0 时，f（ x）ln （ax1）+x 2+x+1请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计
10、分选修 4-4:坐标系与参数方程22（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 1 的参数方程为 ，（t为参数， 为直线 l 的倾斜角），点 P 和 F 的坐标分别为（ 1，3）和（1，0）；以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 （1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，（2）设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且 2 ，求 的值选修 4-5:不等式选讲 23（10 分）已知函数 f（x）|x|+| x1|，g（x ）f（x）+f （x+1）（1）求证：g（x）2；（2）若 g（a）g（2a），求实数 a 的取值
11、范围2019 年山东省潍坊市安丘市、诸城市、五莲县、兰山区高考数学模拟试卷（理科）（4 月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5 分）设集合 Ax| x240，Bx|x+20，则 AB（ ）A x|x2 Bx|x2 C x|x2 或 x2 D【分析】运用二次不等式和一次不等式的解法，化简集合 A，B，再由交集的定义，即可得到所求【解答】解：集合 Ax| x240x|x2 或 x2 ，B x|x+20x |x2 ，则 ABx|x2，故选：B【点评】本题考查集合的运算，注意运用交集的定义，考查解不
12、等式的运算能力，属于基础题2（5 分）若复数 z ，其中 i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）Az 的虚部为i B|z|2Cz 2 为纯虚数 Dz 的共轭复数为 1i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案【解答】解：z ，z 的虚部为1，| z| ， z2（1i ） 22i 为纯虚数，z 的共轭复数为 1+i正确的选项为 C故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3（5 分）已知函数 f（x ） ，则 f（f（2）（ ）A2 B2 C1 D1【分析】利用分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可【解答】解：由分段函数的表达式得
13、f（2） ，则 f（ ）log 2 2，即 f（f（2）2，故选：B【点评】本题主要考查函数的计算，利用代入法是解决本题的关键4（5 分）如图，在矩形区域 ABCD 的 A，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）A B C D【分析】根据题意，算出扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF 的面积之和为 ，结合矩形ABCD 的面积为 2，可得在矩形 ABCD 内且没有信号的区域面积为 2 ，再用几何概型计算公式即可算出所求的概率【解答】解：扇形 A
14、DE 的半径为 1，圆心角等于 90扇形 ADE 的面积为 S1 12同理可得，扇形 CBF 的在，面积 S2又长方形 ABCD 的面积 S212在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是P 1故选：A【点评】本题给出矩形 ABCD 内的两个扇形区域内有无线信号，求在区域内随机找一点，在该点处没有信号的概率，着重考查了几何概型及其计算方法的知识，属于基础题5（5 分）如图，在ABC 中，ABBC 4，ABC30 ，AD 是边 BC 上的高，则的值等于（ ）A2 B4 C6 D8【分析】由题意， （ + ） + ； ； | | |cosBAD | |sin30| |cos60；从而求得
15、【解答】解： （ + ） + | | |cosBAD| |sin30| |cos6044 4；故选：B【点评】本题考查了向量的数量积的运算，同时考查了线性运算，属于中档题6（5 分）某城市收集并整理了该市 2017 年 1 月份至 10 月份各月最低气温与最高气温（单位：）的数据，绘制了下面的折线图已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A最低气温与最高气温为正相关B10 月的最高气温不低于 5 月的最高气温C月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在 1 月D最低气温低于 0的月份有 4 个【分析】由该市 2017 年 1 月份至 10 月份
16、各月最低气温与最高气温（单位：）的数据的折线图，得最低气温低于 0的月份有 3 个【解答】解：由该市 2017 年 1 月份至 10 月份各月最低气温与最高气温（单位：）的数据的折线图，得：在 A 中，最低气温与最高气温为正相关，故 A 正确；在 B 中，10 月的最高气温不低于 5 月的最高气温，故 B 正确；在 C 中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在 1 月，故 C 正确；在 D 中，最低气温低于 0的月份有 3 个，故 D 错误故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题7（5 分）如图正方体 AC1，点 M 为线
17、段 BB1 的中点，现用一个过点 M，C，D 的平面去截正方体，得到上下两部分，用如图的角度去观察上半部分几何体，所得的侧视图为（ ）A B C D【分析】画出几何体的直观图，然后判断侧视图即可【解答】解：上半部分的几何体如图：由此几何体可知，所得的侧视图为故选：B【点评】此题命题灵感来源于书本，考查几何体的三视图8（5 分）周髀算经中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是 37.5 尺，芒种的日影子长为 4.5 尺，则冬至的日影子长为（ ）A15.5 尺 B12.5 尺
18、C10.5 尺 D9.5 尺【分析】设此等差数列a n的公差为 d，由已知可得a1+a4+a73a 1+9d37.5，a 1+11d4.5，联立解得：d，a 1【解答】解：设此等差数列a n的公差为 d，则 a1+a4+a73a 1+9d37.5， a1+11d4.5，解得：d1，a 115.5故选：A【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9（5 分）已知函数 f（x ）x4+ ，x（0，4），当 xa 时，f（x）取得最小值b，则函数 g（x ）a |x+b|的图象为（ ）A BC D【分析】先根据基本不等式求出 a，b 的值，再结合指数函数的性质
19、及函数的图象的平移可求【解答】解：x（0，4），x+11f（x）x4+ x+1+ 52 51，当且仅当 x2 时取等号，此时函数有最小值 1a2，b1，此时 g（x）2 |x+1| ，此函数可以看成函数 y 的图象向左平移 1 个单位结合指数函数的图象及选项可知 A 正确故选：A【点评】本题主要考察了基本不等式在求解函数的最值中的应用，指数函数的图象及函数的平移的应用是解答本题的关键10（5 分）已知函数（x）Asin （ x+）（A0，0，| | ）的最大值为 ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，且 f（x ）的图象关于点（ ，0）对称，则下列判断正确的是（ ）A函数 f（x）在 ， 上单
20、调递增B函数 f（x ）的图象关于直线 x 对称C当 x ， 时，函数 f（x ）的最小值为D要得到函数 f（x）的图象，只需将 y cos2x 的图象向右平移 个单位【分析】根据题意求出函数 f（x ）的解析式，再判断四个选项中的命题是否正确即可【解答】解：函数 f（x ）Asin（x+）中，A ， ，T ， 2，又 f（x）的图象关于点（ ，0）对称， x+2（ ）+k，解得 k + ，kZ， ；f（x） sin（2x+ ）；对于 A，x ， 时，2x+ ， ，f（x ）是单调递减函数，错误对于 B，x 时，f（ ） sin（2 + ） 0，f （x）的图象不关于 x对称，错误；对于 C，
21、x ， 时，2x+ ， ，sin（2x+ ） ，1，f（x）的最小值为 ，C 错误；对于 D，y cos2x 向右平移 个单位，得 y cos2（x ） cos（2x ）的图象，且 y cos（ 2x ） cos（ 2x） sin（2x+ ），正确；故选：D【点评】本题考查了由 yAsin （ x+）的部分图象确定其解析式，以及正弦函数的图象和性质的应用问题，是中档题11（5 分）已知双曲线 C： 1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，实轴长为 4，渐近线方程为 y ，|MF 1|MF 2|4 ，点 N 在圆 x2+y24y0 上，则|MN|+|MF1|的最小值为（ ）A2 B5
22、C6 D7【分析】求得双曲线的 a，b，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接 CF2，交双曲线于 M，圆于 N，计算可得所求最小值【解答】解：由题意可得 2a4，即 a2，渐近线方程为 y x，即有 ，即 b1，可得双曲线方程为 y 21，焦点为 F1（ ，0），F 2，（ ，0），由双曲线的定义可得|MF 1|2a+|MF 2|4+|MF 2|，由圆 x2+y24y0 可得圆心 C（0，2），半径 r2，|MN|+|MF1|4+|MN|+|MF 2|，连接 CF2，交双曲线于 M，圆于 N，可得|MN |+|MF2|取得最小值，且为 |CF2| 3，则则|
23、MN |+|MF1|的最小值为 4+325故选：B【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的方程的运用，以及三点共线取得最值，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题12（5 分）已知函数 f（x ） ，若当方程 f（x）m 有四个不等实根 x1，x 2，x 3， x4（x 1x 2x 3x 4）时，不等式 kx3x4+x12+x22k+11 恒成立，则实数 k的最小值为 （ ）A B2 C D 【分析】画出函数 f（x ） 的图象，结合对数函数的图象和性质，可得 x1x21，x 1+x2 2，（4x 3）（4x 4）1，且 x1+x2+x3+x48，则不等式 kx3x4+x12+x22
24、k +11 恒成立，可化为： k 恒成立，求出的最大值，可得 k 的范围，进而得到实数 k 的最小值【解答】解：函数 f（x ） 的图象如下图所示：当方程 f（x） m 有四个不等实根 x1，x 2，x 3，x 4（x 1x 2x 3x 4）时，|lnx1|lnx 2|，即 x1x21，x 1+x2 2，|ln（ 4 x3）| | （4x 4）|，即（ 4x 3）（4x 4）1，且 x1+x2+x3+x48，若不等式 kx3x4+x12+x22k +11 恒成立，则 k 恒成立，由 （x 1+x2）4+82故 k2 ，故实数 k 的最小值为 2 ，故选：B【点评】本题考查的知识点是分段函数的应
25、用，对数函数的图象和性质，函数的最值，函数恒成立问题，综合性强，转化困难，属于难题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13（5 分）若实数 x，y 满足条件 ，则 z 3xy 的最大值为 7 【分析】画出不等式组表示的可行域，函数 z3xy 的几何意义是直线 y3xz 的纵截距的相反数，平移直线 y3xz，根据图形可得结论【解答】解：画出实数 x，y 满足条件 表示的平面区域，如图所示；目标函数 y3x z 的几何意义是直线 z3x y 的纵截距的相反数，由 ，可得交点坐标为（3，2），平移直线 y3x z，根据图形可知，当直线 y3xz 在经过（3，2）时，y 3xz
26、 取得最大值，最大值为 7故答案为：7【点评】本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合应用问题，是基础题14（5 分）（x 2+x+y） 5 的展开式中，x 3y3 的系数为 20 【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出【解答】解：（x 2+x+y） 5 的展开式中，通项公式 Tr+1 y5r （x 2+x） r，令 5r3，解得 r2（x 2+x） 2x 4+2x3+x2，x 3y3 的系数为 2 20，故答案为：20【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题15（5 分）已知点 A（0，2），抛物线 C：y 22px（p0）的焦点为 F，射线 FA
27、 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点 N，若 ，则 p 的值等于 2 【分析】作出 M 在准线上的射影，根据 |KM|：| MN|确定|KN|：|KM| 的值，进而列方程求得 a【解答】解：依题意 F 点的坐标为（ ，0），设 M 在准线上的射影为 K由抛物线的定义知|MF | MK|， ，则|KN |：|KM|2：1，kFN ， 2，求得 p2，故答案为：2【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质抛物线中涉及焦半径的问题常利用抛物线的定义转化为点到准线的距离来解决16（5 分）已知 f（n）表示正整数 n 的所有因数中最大的奇数，例如：12 的因数有1，2，3，4，6，12，则 f（
28、12）3；21 的因数有 1，3， 7，21，则 f（21）21，那么 1656 【分析】f（n）表示正整数 n 的所有因数中最大的奇数，可得 f（n）f（2n），且 n 为奇数时，f（n）n，其中 n1，100 ；f （n） maxf（99）99，f （n） minf（64）f（2）f（4）f（8）f （16）f（32）1；进而得出【解答】解：f（n）表示正整数 n 的所有因数中最大的奇数，f（n）f（2n），且 n 为奇数时，f（n）n，其中 n1，100 ；f（n） maxf（99）99，f（ n） minf（64）f （2）f（4）f （8）f（16）f（32）1；那么 f（51）+
29、f（52）+ f（53）+ f（100）51+13+53+27+55+7+57+29+59+15+61+31+63+1+65+33+67+17+69+35+71+9+73+37+75+19+77+39+79+5+81+41+83+21+85+43+87+11+89+45+91+23+93+47+95+3+97+49+99+251+3+5+7+9+11+992500那么 1+1+3+1+5+3+7+1+9+5+11+3+13+7+15+1+17+9+19+5+21+11+23+3+25+13+27+7+29+15+31+1+49+25（1+3+5+29+31+49）+（4+9+10+14+9+1
30、1+13+15+1+17+9+19+5+21+11+23+1+25） +219844那么 25008441656故选：D【点评】本题考查了数列递推关系等差数列的通项公式求和公式、归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于难题三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题考生根据要求作答17（12 分）ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 所对的边，且满足 a bsin（C +）（1）求角 B：（2）求 sinAsin C 的取值范围【分析】（1）由两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式可得co
31、sBsinCsinCsin B，结合 sinC0，可求 cosBsin B，结合范围 0B，可求 B 的值（2）由 B ，利用三角函数恒等变换的应用可求 sinAsin CcosC，由范围0C ，利用余弦函数的图象和性质可求其取值范围【解答】（本题满分为 12 分）解：（1）a bsin（C+ ）bsin C+bcosC，由正弦定理可得：sinAsinBcosC+sinC sinB，2 分sin（B+C） sinBcosC+sinCsinB，可得：cosBsinC sinC sinB，4 分sinC0，cosBsinB ，0B，B 6 分（2）B ， sinAsinC sin（ C）sin C
32、cosC，8 分又0C ，且 ycosC 在（0， ）上单调递减，10 分 sinAsinC 的取值范围是：（ ，1）12 分【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18（12 分）如图所示，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，PA2，ABC90，AB ，BC1，AD2 ，CD4，E 为 CD 的中点求证：（1）AE平面 PBC；（2）求二面角 BPCD 的余弦值【分析】（1）分别计算BCA 和CAE 得出两角相等，得出 AEBC ，故而 AE平面PBC；（2）建立空间坐标系，求出两个半平面
33、的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小【解答】（1）证明：AB ，BC1，ABC90，AC2，BCA60，又 AD2 ，CD4，AC 2+AD2CD 2，ACADE 是 CD 的中点，AE CDCE，tanACD ，ACD60，ACE 是等边三角形，CAE 60，BCACAE，BCAE，又 BC平面 PBC，AE 平面 PBC，AE平面 PBC（2）由（1）可知 ABAE ，以 A 为原点，以 AB，AE，AP 为坐标轴建立空间直角坐标系如图：则 P（0，0，2），B（ ，0，0），C（ ，1，0）， D（ ，3，0），E（0，2，0）， （ ，0，2）， （ ，1，2）， （ ，3，2）
34、，（0，2，2）设平面 PBC 的法向量为 （x 1，y 1，z 1），平面 PCD 的法向量为 （x 2，y 2，z 2），则 ， ， ， ，令 x11 得 （1，0， ），令 y21 得 （ ，1，1）cos 二面角 BPCD 的余弦值为 【点评】本题考查了线面平行的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题19（12 分）已知椭圆 C： + 1（ab0）的左、右焦点分别为 F1（1，0），F2（1， 0），且椭圆上存在一点 M，满足|MF 1| ，F 1F2M120（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）过椭圆 C 右焦点 F2 的直线 1 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B ，求F 1AB
35、的内切圆的半径的最大值【分析】（1）利用余弦定理和椭圆的定义即可求出 a，再根据 b2a 2c 23，可得椭圆的方程（2）设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），设F 1AB 的内切圆的半径为 R，表示出F 1AB 的周长与面积，设直线 l 的方程为 xmy +1，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，表示三角形面积，令 t ，利用函数的单调性求解面积的最大值，然后求解F 1AB内切圆半径的最大值为 【解答】解：（1）设|F 2M| x，在F 1F2M 中，由余弦定理可得 4+x22xcos120 （） 2，解得 x ，故 2a|MF 1|+|MF2|4，a2，b 2a 2c 23，椭圆
36、C 的标准方程 + 1（2）设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），设F 1AB 的内切圆的半径为 R，因为F 1AB 的周长为 4a8，F 1AB 的面积 S （| AB|+|F1A|+|F1B|）R4R，因此 S 最大，R 就最大，S |F1F2|y1y 2| y1y 2|，由题意知，直线 l 的斜率不为零，可设直线 l 的方程为 x my+1，由 得（3m 2+4）y 2+6my90，所以，y 1+y2 ，y 1y2 ，又因直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点，故0，即（6m） 2+36（3m 2+4）0，m R，则S|y 1y 2| 令 t ，则 t1，则 S 令 f（t）t+
37、 ，由函数的性质可知，函数 f（t）在 ，+）上是单调递增函数，即当 t1 时，f（t）在1，+）上单调递增，因此有 f（t）f（1） ，所以 S3即当 t1，m0 时，S 最大，此时 Rmax ，故当直线 l 的方程为 x1 时，F 1AB 内切圆半径的最大值为 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，分析问题解决问题的能力，属于中档题20（12 分）某保险公司对一个拥有 20000 人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为 A，B ，C 三类工种，从事这三类工种的人数分别为 1
38、2000，6000，2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如表（并以此估计赔付概率）：工种类别 A B C赔付频率已知 A，B ，C 三类工种职工每人每年保费分别为 25 元、25 元、40 元，出险后的赔偿金额分别为 100 万元、100 万元、50 万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年 10 万元（1）求保险公司在该业务所或利润的期望值；（2）现有如下两个方案供企业选择：方案 1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年 12 万元；方案 2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的
39、 70%，职工个人负责保费的 30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议【分析】（1）分别计算保险公司在三种工种的利润的数学期望，从而可得出保险公司的总利润期望；（2）分别计算两种方案的企业支出费用，从而得出结论【解答】解：（1）设工种 A、B、C 职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X、Y、 Z，则 X、Y 、Z 的分布列为：X 25 2510010 4PY 25 2510010 4PZ 40 405010 4P1E（X）25（1 ）+（2510010 4） 15，E（Y） 25（1 ） +（2510010 4） 5，E（Z） 40（1
40、）+（405010 4） 10，保险公司的利润的期望值为 1200015+6000520001010000090000，保险公司在该业务所获利润的期望值为 9 万元 （2）方案 1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为：12000100104 +6000100104 +200050104 +1210446104，方案 2：企业与保 险公司合作，则企业支出保险金额为：（1200025+600025+200040）0.737.110 4，4610437.110 4，建议企业选择方案 2【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的计算，属于中档题21（12 分）已知函数 f
41、（x）（ax1）e x+x2（1）当 a1 时，求函数 f（ x）的极值；（2）证明：当 a0 时，f（ x）ln （ax1）+x 2+x+1【分析】（1）当 a1 时，f（x ）（x1）e x+x2f（ x）xe x+2xx（e x+2），令f（x）0，解得 x即可得出极值（2）令 h（x）f（x）ln （ax 1）x 2x1（ax1）e xln（ax1）x1xh（x）（ax 1+ a）e x 1（ax1+a）（e x ）令 u（x）e x ，利用导数研究其单调性极值即可得出【解答】（1）解：当 a1 时，f（x ）（x1）e x+x2f（x）xe x+2xx （e x+2），令 f（x）0
42、 ，解得 x0可得 x0 时，函数 f（x）取得极小值，f（0）1（2）证明：令 h（x）f（x）ln （ax 1）x 2x1（ax1）e xln（ax1）x1x h（x）（ax1+a）e x 1（ax1+a）（e x ）x ，a0，则 ax1+ a0， 0令 u（x）e x ，u（x）e x+ 0，函数 u（x）在区间（ ，+）上单调递增又 u（ ） 10，当 时，e x ，由 ，解得 x当 x 时，u（ x）0，故 u（x）有唯一零点 x0当 xx 0 时， h（x ）0当 xx 0 时，h（x）0且 h（x）h（x 0）（ax 0 1） ln （ax 01）x 011（x 0）x 010
43、当 a0 时，f（x ）ln（ax1）+x 2+x+1【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4:坐标系与参数方程22（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 1 的参数方程为 ，（t为参数， 为直线 l 的倾斜角），点 P 和 F 的坐标分别为（ 1，3）和（1，0）；以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 （1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐
44、标方程，（2）设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且 2 ，求 的值【分析】（1）两边同乘 ，利用互化公式可得；（2）利用参数的几何意义可得【解答】解：（1）由 ，得 2sin24cos，即 y24x，所以曲线 C 的直角坐标方程为 y24x（2）将 代入 y24x，得 t2sin2+（6sin 4cos）t+130（sin 20），由题意得（6sin4cos） 2413sin 20（*）设 A，B 对应的参数分别为 t1，t 2，则 t1t2 ，由点 P 在直线 l 上，得 | | |t 1t2| .2 22| |22（ ） 226，所以 26，即 sin ，结合 0 得 或 代入（
45、*）知 不合适， 适合，综上得 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5:不等式选讲 23（10 分）已知函数 f（x）|x|+| x1|，g（x ）f（x）+f （x+1）（1）求证：g（x）2；（2）若 g（a）g（2a），求实数 a 的取值范围【分析】（1）利用绝对值不等式的性质可证；（2）利用分段函数的单调性可得【解答】解：（1）证明 g（x）f （x）+f（x +1）|x |+|x1|+|x+1|+|x|2| x|+|x 1|+|x+1|，因为|x+1|+|x 1|x +1x +1|2（当且仅当1x1 时取等）；2|x|0（当且仅当 x0 时取等号），所以 2|x|+|x1|+|x+1|2（