1、专题 20 不等式训练【训练目标】1、 掌握不等式的性质，能利用不等式的性质，特殊值法等判断不 等式的正误；2、 熟练的解一元二次不等式，分式不等式，绝对值不等式，对数不等式，指数不等式，含根式的不等式；3、 掌握分类讨论的思想解含参数的不等式；4、 掌握恒成立问题，存在性问题；5、 掌握利用基本不等式求最值的方法；6、 掌握线性规划解决最优化问题；7、 掌握利用线性规划，基本不等式解决实际问题。【温馨小提示】在高考中，不等式无处不在，不论是不等式解法还是线性规划，基本不等式，一般单独出现的是线性规划或基本不等式，而不等式的解法则与集合、函数、数列相结合。 【名校试题荟萃】1、若实数 且 ，则
2、下列不等式恒成立的是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据函数的图象与不等式的性质可知：当 时， 为正确选项，故选 C2、已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A3、，设，则下列判断中正确的是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，则，故选 B4、若 ，且 ，则下列不等式成立的是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】.5、袋子里有大小、形状相同的红球 个 ，黑球 个（ ）.从中任取 个球是红球的概率记为 .若将红球、黑球个数各增加 个，此时从中任取 个球是红球的概率记为 ；若将红球、黑球个数各减少个，此时从中任取 个球是红球的概率记为 ，则（ ）A. B.
3、C. D. 【答案】D6、若 ， ，则下列不等式错误的是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为 ， ，所以，故 A、B 正确；由已知得 ， ，所以，所以 C 错误；由，得 ， ，所以成立，所以 D 正确故选 C 7、已知直线恒过定点 A，点 A 也在直线上，其中 、 均为正数，则 的最小值为（ ）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D8、已知 ，直线与直线互相垂直，则 的最小值等于（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】，因为直线与直线互相垂直， 所以，当 时，等号成立9、若“ ”是“”的充分不必要条件，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】若
4、，则 ，符合题意，若 ，则，于是所以 10、点 在单位圆 上， 、 是两个给定的夹角为 的向量， 为单位圆上动点，设，且设的最大值为 ,最小值为 ,则 的值为( )A. B. C. F. 【答案】C11、在约束条件：下，目标函数的最大值为 ，则 的最大值等于( )A. B. C. D.【答 案】 D【解析】在直角坐标系中作出可行域如下图所示，又，由线性规划知识可知，当目标函数经过可行域中的点时有最大值，所以有 ，当且仅当时成立，故选 D.12、若 的内角满足，则 的最小值是（ ）A. B. C. D.【答案】D13、对一切实数 ,不等式恒成立, 则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D.
5、【答案】D【解析】1、当 时， 所以 取 任何实数皆可2、当 时，分离变量，所以 ，故本题的正确选项为 D14、设 均为正数，且，则 的最小值为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为 均为正数，且，所以，整理可得：，由基本不等式可得，整理可得，解得 或（舍去），所以 ，当且仅当 时取等号，故 的最小值为 ，故选 D.15、设实数 满足，则 的最大值为( )A. B. C. D.【答案】A 可知当曲线 与线段 相切时 取得最大值此时，故，当且仅当时取等号，对应点落在线段 上，故 的最大值为 ，选 A.16、已知正数 满足，则 的最大值为_.【答案】【解析】由，得，所以，从而，解得 1
6、7、设 为实数，若，则 的最大值是_.【答案】18、已知正数 满足，则 的最小值是_ _.【答案】【解析】因为，所以，所以，当且仅当 ，即 时， 取得最小值 .19、在 中，角 的对边分别是 ，若，则 _.【答案】【解析】因为，所以，即.20、给出平面区域如图所示，其中若使目标函数 仅在点 处取得最大值，则 的取值范围是_【答案】【解析】由题意得：只需.21、已知实数 满足，且数 列 为等差数列，则实数 的最大值是_.【答案】3【解析】因为数列 为等差数列，即，即目标函数为 ，画出可行域如图所示，由图可知，当目标函数过点 时取到最大值，最大值为.22、设实数 满足,则 的取值范围是_.【答案】
7、【解析】作出可行域，令 ，则由 的几何意义可知取点 时， 取得最大值 ，取点 时， 取得最小值 ，则，又 ，由 及 单调递增，可知 单调递增，故，所以 的取值范围是 23、设变量 满足约束条件，则 的取值范围是_ _.【答案】24、已知 满足约束条件 ，求的最小值是_ _.【答案】【解析】可行域表示一个三角形 及其内部，其中，而目标函数表示可行域内的点 到点 距离平方，因此所求最小值为点 直线 ：距离的平方：.25、在 上定义运算：，若不等式对任意实数 恒成立，则实数 的最大值为_.【答案】26、若不等式对一切 恒成立，则 的取值范围是_.【答案】【解析】由题意得，设则只要由于函数在 在 上单
8、调递增，所以，故 .27、若关于 的不等式对任意 在 上恒成立，则实常数 的取值范围是_【答案】【解析】不等式可化为，由 ，得 的最大值为 ，则，解得 或 ，又 ，故实常数的取值范围是 28、设则不等式 的解集为_.【答案】29.关于 的不等式在区间 上有解，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】要满足题意即 在区间 有解，设，则 的最大值因为 在区间 为减函数，所以 的最大值为 ，所以 ，选 A30、若不等式组的解集中所含的整数解只有 ，则 的取值范围是_【答案】【解析】的解集为当 时，的解集为又 此时若不等式组的解集中所含整数解只有则 ，即又 当 时，的解集为 ，不满足要求当 时，的解集为 ，不满足要求综上 的取值范围为 ，故答案为