1、专题 17 选讲系列【训练目标】1、 掌握极坐标与直角坐标的转换公式及意义；掌握直线，圆，椭圆，双曲线的参数方程，能熟练的将参数方程转化为普通方程；2、 理解参数方程中参数的几何意义，并能利用参数解决简单的问题；3、 掌握极坐标中极径的几何意义，能正确使用它来求线段长度；理解极角的含义；4、 掌握极坐标与参数方程和解析几何的综合问题。5、 理解绝对值的含义，能解简单的绝对值不等式；6、 掌握几何意义法解绝对值不等式；能正确的将绝对值 函数化为分段函数，并根据分段函数解不等式；7、 掌握绝对值的三角不等式；理解恒成立问题和存在性问题；8、 初步掌握综合法和分析法证明不等式。【温馨小提示】高考中极
2、坐标与参数方程、绝对值不等式的解法及性质一般放在试卷的最后一题，二选一，共 10 分，属于容易题，必拿分题。题目的类型并不多，平时做题时多总结即可。【名校试题荟萃】1、在直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为31xty（t 为参数）.在以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线。（1）求直线 l的普通方程和曲线 C的直角坐标方程;（2）求曲线 C上的点到直线 l的距离的最大值.【答案】 （1） ， （2）【解析】（1）由 3,xty消去 得,所以直线 l的普通方程为.由,得.将代入上式,得曲线 C的直角坐标方程为,即.所以曲线 C上的点到直线 l的距离的最大值为 2.法 2:设
3、与直线 l平行的直线为,当直线 与圆 相切时,得, 解得 0b或 4（舍去）,所以直线 l的方程为 0xy.所以直线 与直线 l的距离为.所以曲线 C上的点到直线 l的距离的最大值为 2.2、在直角坐标系 xOy中，曲线 1C：（ 为参数） ，在以 O为极点， x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ：（1）写出曲线 1和 2的普通方程；（2）若曲线 C上有一动点 M，曲线 2C上有一动点 N，求使 M最小时 点的坐标【答案】（1）， （2）此时，结合可解得：，即所求 M的坐标为3、在直角坐标系 xoy中，已知曲线 1C、 2的参数方程分别为 1C：， 2：（1）求曲线 1C、 2的普通方程；
4、（2）已知点 ,0P，若曲线 1与曲线 2交于 A、 B两点，求 PBA的取值范围【答案】 （1）见解析 （2）【解析】（1）曲线 1C的普通方程为：1342yx，当 2k， Z时，曲线 2C的普通方程为：，当 2k， Z时，曲线 2C的普通方程为： 1x；（或曲线 C：）4、在直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为 tyx27（ 为参数）在以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C：.（1）求直线 l的普 通方程和曲线 的直角坐标方程；（2）设曲线 C与直线 l的交点为 QBA,是曲线 上的动点，求 ABQ面积的最大值【答案】 （1）， （2） 512【解析】（1）由 t
5、yx27消去 得，所以直线 l的普通方程为，由，得，化为直角坐标方程得：，所以曲线 C的直角坐标方程为.5、已知曲线 C的极坐标方程是 cos4.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l的参数方程是.（1）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线 l与曲线 相交于 .AB两点，且 |13，求直线 l的倾斜角 的值.【答案】 （1） （2）【解析】（1）由 cos4得. 曲线 C 的直角坐标方程为：. （2）将直线的参数方程代入圆的方程化简得. 设 A,B 两点对应的参数分别为 21,t，则 21,t是上述方程的两根，则有. ，0.6、已知直线
6、l 的参数方程为1423xty（t 为参数） ，以坐标原点 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 cos（1）求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的极坐标方程；（2）若直线与曲线 C 交于点 A（不同于原点） ，与直线 l 交于点 B，求 A的值【答案】（1），（2） 3（2）将 6代入曲线 C 的极坐标方程 2cos得 3，A 点的极坐标为 3,将 6代入直线 l 的极坐标方 程得，解得 43B 点的极坐标为 43,6， AB7、平面直角坐标系中，直线 l的参数方程为13xty（ t为参数） ，以原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程
7、为（1）写出直线 l的普通方程与曲线 的直角坐 标方程;（2）已知与直线 l平行的直线 l过点 20M,，且与曲线 C交于 A， B两点，试求 MAB【答案】（1），2yx（2）将其代入曲线 C的直角坐标方程可得，设点 A， B对应的参数分别为 1t， 2由一元二次方程的根与系数的关系知163t， 243t8、在平面直角坐标系 xOy 中，曲 线 C1： （ 为参数， 实数 a0） ，曲线 C2：x a acos ，y asin )（ 为参数，实数 b0） 在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线x bcos ，y b bsin )l： 与 C1交于 O，A 两点，与 C2交于
8、 O，B 两点当 0 时，|OA|2；当 ( 0， 0 2)时，|OB|4. 2（1）求 a，b 的值；（2）求 2|OA|2|OA|OB|的最大值【答案】 （1）1，2 （2）4 42化为普通方程为 x2（yb） 2b 2，展开可得极坐标方程为 2bsin ，由题意可得当 时，|OB|4，b2. 2（2）由（）可得 C1，C 2的极坐标方程分别为 2cos ，4sin .2|OA| 2|OA|OB|8cos 28sin cos 4sin 24cos 244 sin 4，2 (2 4)2 ，4 sin 4 的最大值为 4 4， 4 4， 54 2 (2 4) 2当 2 ， 时 取到最大值. 4
9、 2 89、已知函数（1）当 a时，求不等式 3fx的解集；（2） 0xR， 03fx，求 a的取值范围【答案】 （1） （2） 5,1【解析】 （1）当 a时，当 2x时，令 3f，即 13x，解得 2x，当 2时， f，显然 3f成立， 21x，当 1x时， 21fx，令 3f，即 3，解得 x，综上所述，不等式的解集为（2）， 0xR，有 3fx成立，只需 23a，解得 51a， a的取值范围为 5,110、已知函数 .（1）求不等式的解集；（2）若函数的值域为 ，求实数的取值范围.【答案】 （1） 解集为 （2） 实数的取值范围是 .（2）设，则.因为当且仅当 时取等号，所以. 因为函
10、数的值域为 ，所以有解，即.因为，所以 ，即 .所以实数的取值范围是11、已知不等式的解集为 （1）若 ，求 ；（2）若 ，求实数 的取值范围【答案】 （1） （2）12、已知函数 （1）当时 ，求 的解集；（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围【答案】 （1） （2）【解析】（1）当 时，由 ，可得，或或解得：解得：解得：综上所述，不等式的解集为（2）若当 时， 成立，即故即对 时成立故13、已知函数（1）解不等式（2）若对任意的 ，任意的 ，使得 成立，求实数 a 的取值范围【答案】 （1） （2） 或14、已知（1）当 a1， b2 时，解不等式 f（ x）0；（2）若存在 a， b 的
11、值，使不等式 m 成立，求实数 m 的最小值【答案】 （1） （2）-2【解析】（1），解得 （2）由得，故，当 且 时取等号故 m 的最小值为 15、设，.（1）若 的最大值为 ，解关于 的不等式 ；（2）若存在实数 使关于 的方程 有解，求实数 的取值范围【 答案】（1） ；（2）16、在极坐标系中,曲线 C的极坐标方程为 cos4,曲线 C与曲线 D关于极点对称（1）以极点为坐标原点,极轴为 x轴的正半轴建立直角坐标系,求曲线 的极坐标方程；（2）设 P为曲线 D上一动点,记 P到直线 3sin与直线 2cos的距离分别为 1d, 2， 求 1+d的最小值【答案】 （1） （2）【解析】
12、（1）设 是曲线 上任意一点,则 关于原点的对称点 在曲线 上，且，将代入得，则，即曲线 的极坐标方程为。（2）由曲线 的极坐标方程为得直角坐标方程为，设，直线与直线的直角坐标方程分别为，从而，故 的最小值为 。17、在直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为（ t为参数）.以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为.（1）若曲线 上一点 Q的极坐标为 0,2，且 l过点 Q，求 l的普通方程和 C的直角坐标方程；（2）设点 23,1P， l与 C的交点为 ,AB，求 1PB的最大值.【答案】（1） 28xy （2） 43（2）把直线 l的参数方程代入曲线 C
13、的直角坐标方程得，化简得，可得，故 1t与 2同号，所以 6时，有最大值 43. 此时方程的 340，故 1PAB有最大值 43.18、已知函数（ 0a ）.（1）当 2时，解不等式 ()4fx；（2）若 1fx，求 的取值范围【答案】 （1） x|0x （2）2，）.83（2）若 a1，f （x）（a1）|x1|x1|xa|a1，当且仅当 x1 时，取等号，故只需 a11，得 a2. 若 a1，f （x）2|x1|，f （1）01，不合题意.若 0a1，f （x）a|x1|a|xa|（1a）|xa|a（1a） ，当且仅当 xa 时，取等号，故只需 a（1a）1，这与 0a1 矛盾. 综上所述
14、， a 的取值范围是2，）. 19、已知曲线 C的极坐标方程是 cos2，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l的参数方程是（ t为参数）.（1）求曲线 的直角坐标方程和直线 l的普通方程；（2）设点 P)0,(m，若直线 l与曲线 C交于 BA,两点，且，求实数 m的值.【答案】 （1） （2） 或 21或 .【解析】（1）由 cos，得：，即，曲线 C的直角坐标方程为.由，得，即，直线 l的普通方程为.，解得： 1m或 2，都符合 31m，因此实数 的值为 1或 2或 .20、在直角坐 标系 xOy中，直线 l的参数方程为（ t为参数） ，圆 C的
15、标准方程为.以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线 l和圆 C的极坐标方程；（2）若射线与 的交点为 M，与圆 的交点为 A， B，且点 M恰好为线段 AB的中点，求 a的值【答案】 （1） （2） 94a【解析】（1）在直线 l的参数方程中消去 t，可得，将 cosx， siny代入以上方程中，所以，直线 l的极坐标方程为.同理，圆 C的极坐标方程为.把代入，得， 所以 94a.21、已知函数 f（ x）| x1|.（1） 解不等式 f（2 x） f（ x4）8；（2） 若| a|1，| b|1， a0，求证：()fab (f.【答案】 （1）Error! （2）见解析
16、【解析】（） f（2 x） f（ x4）|2 x1| x3|Error!当 x3 时，由3 x28，解得 x ； 103当3 x 时， x48 无解；12当 x 时，由 3x28，解得 x2. 12所以不等式 f（2 x） f（ x4）8 的解集为Error!.（II）证明： ()ab (f等价于 f（ ab）| a| ()bf，即| ab1| a b|. 因为| a|1，| b|1，所以| ab1| 2| a b|2（ a2b22 ab1）（ a22 ab b2）（ a21） （ b21）0， 所以| ab1| a b|.故所证不等式成立10 分22、已知函数（1）求函数 ()fx的最小值
17、； （2）在（）的条件下，设 ,Rmn，且 1n，求证：【答案】 （1） 2a （2）见解析23、已知函数 f（x）|x2|ax2|（1）当 a2 时，求不等式 f（x）2x1 的解集；（2）若不等式 f（x）x2 对 x（0，2）恒成立，求 a 的取值范围【答案】 （1）x|x5 或 x1 （2）1，3【解析】（1）当 a2 时，当 x2 时，由 x42x1，解得 x5；当2x1 时，由 3x2x1，解得 x；当 x1 时，由x42x1，解得 x1综上可得，原不等式的解集为x|x5 或 x124、已知曲线 C的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为 x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l的参数
18、方程为（ t为参数）. （1）写出直线 l的一般方程与曲线 C的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；（2）将曲线 向左平移 2个单位长度，向上平移 3个单位长度，得到曲线 D，设曲线 经过伸缩变换,xy得到曲线 E，设曲线 上任一点为 ,Mxy，求 12xy的取值范围.【答案】 （1）见解析 （2） 4,8.【解析】（1）直线 l的一般方程为，曲线 C的直角坐标方程为.因为，所以直线 l和曲线 C相切.25、已知函数的定义域为 R；（1）求实数 m的取值范围；（2）设实数 t为 的最大值，若实数 a， b， c满足，求的最小值【答案】（1） （2）【解析】（1）由题意可知恒成立，令，去绝对值可
19、得：，画图可知 ()gx的最小值为-3，所以实数 m的取值范围为 3； （2）由（1）可知，所以， ，当且仅当，即等号成立，所以的最小值为35. 26、已知函数（1）当 a=时，求不等式 2xf的解集；（2）若 xf2的解集包含 1,，求 a的取值范围.【答案】 （1） （2）（2）因为 xf的解集包含 1,2不等式可化为 1ax解得，由已知得 1a，解得 302，所以 的取值范围是 3,02.27、在极坐标系中， 已知圆 C 的圆心 C（ ,4） ， 半径 r = 3（1） 求圆 C 的极坐标方程；（2） 若 0,4， 直线 l的参数方程为为参数） ， 直线 l交圆 C 于 A、 B 两点， 求弦长| AB|的取值范围【答案】 （1） （2） 32,【解析】（1）由 (,)4C得， 直角坐标 (1,),所以圆 C的直角坐标方程为, 由得，圆 的极坐标方程为