1、专题 13 概率小题部分【训练目标】1、 理解概率的定义，能正确区分概率与频率；2、 理解互斥事件和相互独立事件的定义及运算公式；3、 掌握古典概型的概念及计算；4、 掌握几何概型的概念及计算；5、 掌握两个计数原理及简单的排列组合，及列举法求概率。6、 理解随机变量的概念，掌握随机变量分布列的性质；7、 掌握随机变量分布列的求法，及期望计算公式。8、 掌握条件概率的计算公式，掌握正态分布，二项分布的期望和方差公式。【温馨小提示】 概率在高考中有一道小题一道大题，17 分左右，对于理科生来讲，只要掌握了基本的概念及公式，这是属于送分题，因此在练习时要注意总结方法。【名校试题荟萃】1、袋中装有
2、3 个白球，4 个黑球，从中任取 3 个球，则恰有 1 个白球和全是白球；至少有 1 个白球和全是黑球；至少有 1 个白球和至少有 2 个白球；至少有 1 个白球和至少有 1 个黑球在上述事件中，是对立事件的为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】至少有 1 个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生中两事件是对立事件2、 张卡片上分别写有数字 ，从这 张卡片中随机抽取 2 张，则取出 张卡片上数字之和为偶数的概率为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题知基本事件总数为 ，如果 2 张卡片上数字之和为奇数，需 1 奇 1 偶，共有种，取出 2 张卡片上数字之和为奇数的概
3、率为 ，因此取出 2 张卡片上数字之和为偶数的概率为 .3、从 5 张 100 元，3 张 200 元，2 张 300 元的奥运会决赛门票中任取 3 张，则所取 3 张中于至少有 2 张价格相同的概率为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】先求三张价格均不相同的概率所求概率为 。4、国庆期间，甲去某地的概率为 ，乙和丙二人去此地的概率为 、 ，假定他们三人的行动相互不受影响，这段时间至少有 人去此地旅游的概率为（ ）A. B. C. D.【答案】B5、已知 3 件次品和 2 件正品混在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则在第一次取出次品的条件下，第二次取
4、出的也是次品的概率是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】记“第一次取出次品”为事件 ，“第二次取出次品”为事件 ，则 ，所以6、设随机变量 服从正态分布 ，若，则函数没有极值点的概率是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】由 无相异实根得 ，因此函数 没有极值点的概率是，选 C.7、将 本不同的书全发给 名同学,每名同学至少有一本书的概率是( )A. B. C. D.【答案】A8、已知是球面上的五个点，其中 在同一圆周上，若 不在 所在的圆周上，则从这五个点的任意两点的连线中取出 条，这两条直线是异面直线的概率是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，得是四棱锥
5、的五个顶点，任取两点，共有 条直线，从 条直线中任取两条直线，共有对，其中异面直线对是一条侧棱与地面上三条相等（如侧棱 与）共有 对异面直线，由古典概型的概率公式，得这两条直线是异面直线的概率是9、某 车间共有 6 名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人从该车间 6 名工人中，任取 2 人，则至少有 1 名优秀工人的概率为（ ）A. B. C. D.【答案】C10、一个射箭运动员在练习时只记射中 环和 环的成绩，未击中 环或 环就以 环记该运动员在练习时击中 环的概率为 ，击中 环的概率为 ，既未击中 环也未击中 环
6、的概率为 （ ， ，），如果已知该运动员一次射箭击中环数的期望为 环，则当 取最小值时 ， 的值为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】由运动员一次射箭击中环数的期望为 环，可知 ，即 ，则，当 ，即时取等号，此时，则.11、在区间 内随机取两个实数 ， ，则满足 的概率是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意知表示的区域为边长为 2 的正方形，面积为 4，满足 的区域即为图中阴影部分， 面积为，所以所求概率为，12、若 是从区间 中任取的一个实数， 是从区间 中任取的一个实数，则 的概率是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试验的全部结果构成的区域（如图）为边
7、长分别为 2 和 3 的矩形，面积为 其中满足 的结果构成的区域为图中阴影部分，其面积为则所求概率为 13、如图，将半径为 的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内 （阴影部分）现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为( )A. B. C. D.【答案】A14、在如图所示的正方形中随机投掷 个点，则落入阴影部分（曲线 为正态分布 的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）附：若，则,A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意得，设落入阴影部分点的个数为 ，则，则 .15、有一批产品，其中有 件正品和 件次品，有放回地任取 件，若 表示取到次品的件数，则_.【答案】【解析】由题意
8、知取到次品的概率为 ，.16、已知随机变量 ，若，则_.【答案】【解析】，所以，所以，解得 ，所以.17、设随机变量的分布列为，其中 为常数，则 _.【答案】 18、设随机变量 的概率分布律如下表所示：其中 成等差数列，若随机变量 的的均值为 ，则 的方差为_.【答案】【解析】由题意有， ， ，解得，则其方差为.19、有一种游戏规则如下：口袋里共装有 个红球和 个黄球，一次摸出 个，若颜色都相同，则得 分；若有 个球颜色相同，另一个不同，则得 分，其他情况不得分. 小张摸一次得分的期望是_.【答案】20、设随机变量 ，且，则实数 的值为_.【答案】3【解析】随机变量，正态曲线关于 对称， 与
9、关于 对称，所以 .21、某校高三一模理科参加数学考试学生共有 1016 人，分数服从，则估计分数高于 105 分的人数为_.【答案】508【解析】因为分数服从，所以由正态分布的性质可知，估计分数高于 105 分的人数为故，答案为 508.22、如图， 是以 为圆心，1 为半径的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地掷到圆内，用 表示事件“豆子落在正方形 内”， 表示事件“豆子落在扇形 （阴影部分）内”，则_【答案】【解析】故答案为 23、袋中有大小质地完全相同的 2 个红球和 3 个黑球,不放回地摸出黑球,设“第一次摸得红球”为事件 ,“摸得的两球同色”为事件 ,则概率 _.【答案】【解析】由 ,
10、 ,根据条件概率可知.24、设集合 , ,分别从集合 和 中随机取一个数 和 ,确定平面上一个点,设“点 落在直线 上”为事件,若事件 的概率最大,则 的值为_.【答案】2【解析】由题意知,点 的坐标的所有情况为 , , , , , , , , ,共种.当 时,落在直线 上的点的坐标为 ,共 种;当 时,落在直线 上的点的坐标为 和 ,共 种;当 时,落在直线 上的点的坐标为 , , ,共 种;当 时,落在直线 上的点的坐标为 , ,共 种;当 时,落在直线 上的点的坐标为 ,共 种.因此,当 的概率最大时, .25、 个男生， 个女生排成一排，其中有且只有两个女生相邻排在一起的排法总数有_
11、_. 【答案】288026、将 名新的同学分配到 、 、 三个班级中，每个班级至少安排 名学生，其中甲同学不能分配到班，那么不同的分配方案数为_.（请用数字作答）【答案】24【解析】将甲同学分配到 班或 班，有 种；剩下的 名同学分配方案为 种，所以不同的分配方案为种.27、某班组织文艺晚会，准备从 等 个节目中选出 个节目演出，要求： 两个节目至少有一个选中，且 同时选中 时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为_.【答案】1140【解析】分两类：第一类， 只有一个选中，则不同演出顺序有 种；第二类， 同时选中，则不同演出顺序有 种，共有故答案应填： 28、甲、乙两位高一学生进行
12、新高考“七选三”选科（即在物、化、生、政、史、地、技术等七门科中任选择三门学科），已知学生甲必选政治，学生乙必不选物理，则甲、乙两位学生恰好有两门选课相同的选法有_种.（用数字作答）【答案】110【解析】（1）甲选物理： ；（2）甲不选物理：；共有种.29、为了调查观众对央视某节目的关注度,现从某社区随机抽取 名青年人进行调查,再从中挑选 名做进一步调查,则这 名青年人中的小张、小李至少有 人被选中,而小汤没有被选中做进一步调查的不同选法有_种.【答案】149630、有 个大学报送名额,计划分别到 个班级,每班至少一个名额,则不同的分法种数为 种.【答案】6【解析】一共有 个保送名额,分到 个
13、班级,每个班级至少一个保送名额,即将名额分成 份,每份至少 个(定行数).将 个名额排成一列产生 个空,中间有 个空(定空位).即只需在中间 个空中插入 个隔板,隔板不同的方法共有 种.(插隔板)专题 13 概率（小题部分） （文）【训练目标】1、理解概率的定义，能正确区分概率与频率；2、理解互斥事件和相互独立事件的定义及运算公式；3、掌握古典概型的概念及计算；4、掌握几何概型的概念及计算；5、掌握两个计数原理，及列举法求概率。【温馨小提示】概率在高考中有一道小题一道大题，17 分左右，对于文科生来讲，只要掌握了基本的概念及公式，这是属于送分题，因此在练习时要注意总结方法。【名校试题荟萃】1、
14、袋中装有 3 个白球，4 个黑球，从中任取 3 个球，则恰有 1 个白球和全是白球；至少有 1 个白球和全是黑球；至少有 1 个白球和至少有 2 个白球；至少有 1 个白球和至少有 1 个黑球在上述事件中，是对立事件的为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】至少有 1 个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生中两事件是对立事件2、甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任想一数字，记为 ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为，且，若 ，则称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们 “心有灵犀”的概率为( )A. B. C. D.【答案】D3、连续投掷两次骰子得到的点数分别为
15、，向量与向量 的夹角记为 ，则 的概率为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】, ，, ，又满足 的骰子的点数有共 个故所求概率为.4、下列说法中正确的是（ ）A.若事件 与事件 是互斥事件，则；B.若事件 与事件 满足条件：，则事件 与事件 是对立事件；C.一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件；D.把红、橙、黄、绿 4 张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁 4 人，每人分得 1 张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件【答案】D5、已知函数，若 是从 三个数中任取的一个数， 是从 三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为
16、（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】求导数可得要满足题意需有两不等实根， ，又 的取法共 种，其中满足 的有共 种，故所求的概率为 .6、从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】设另外三名学生分别为丙、丁、戊，从 5 名学生中随机选出 2 人，有（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（甲，戊）、（乙，丙）、（乙，丁）、（乙，戊）、（丙，丁）、（丙，戊）、（丁，戊），共 10 中情形，其中甲被选中的有（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（甲，戊），共 4 中情形，故甲被选中的概率.7、已知函数， 其中， ，则函数 在 上是
17、增函数的概率为（ ）A. B. C. D.【答案】D8、已知点 ， 为圆上的任意两点，且 ，若 中点组成的区域为 ，在圆 内任取一点，则该点落在区域 上的概率为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】中点组成的区域为 如图所示，那么在 内部任取一点落在 内的概率为.9、在区域内任意取一点 ，则的概率是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】区域，表示如图所示的正方形区域，而表示如图所示圆外的区域，由几何概型，概率为.10、在区间 上随机取一个实数 ，则方程表示焦点在 轴上的椭圆的概率为（ ）A. B. C. D.【答案】C11、在区间 上随机取一个数 ， 的值介于 到 之间的概率为
18、( )A. B. C. D.【答案】A【解析】，当时，在区间 上随机取一个数 ， 的值介于 到 之间的概率12、在正方形 之内随机选取一点 到点 的距离小于正方形的边长的概率是( )A. B. C. D.【答案】C13、如图，圆 内切于扇形 ，若向扇形 内随机投掷 个点，则落入圆内的点的个数估计值为( ) A.100 B.200 C.400 D.450 【答案】C【解析】如下图所示，设扇形半径为 ，圆 半径为 ，落入圆内的点的个数估计值为14、如图，在半径为 的圆内随机撒一粒黄豆，它落在圆的内接正三角形（阴影部分）内的概率是（ ）A. B. C. D.【答案】B15、采用简单随机抽样从含 个个
19、体的总体中抽取一个容量为 的样本，个体 前两次未被抽到，第三次被抽到的概率为_.【答案】【解析】不论先后，被抽取的概率都是 .16、将一颗骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为_.【答案】【解析】由题意可知基本事件的总数为 ，而符合向上的点数依次成等差数列的事件可分为三类，第一类，三数相同时，共有 种；第二类，连续三数时，即公差为 时，共 8 种；第三类，不连续三数即公差为 时，共 种；综上向上的点数依次成等差数列的概率为.17、从 中随机抽取一个数记为 ，从 中随机抽取一个数记为 ，则函数的图象经过第三象限的概率是_.【答案】18、如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在 5
20、 次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是_.【答案】【解析】设被污损的数字是 ，则甲的平均成绩为：，乙： ，设甲的平均成绩超过乙的平均成绩为事件 A，则此时有，解得 ，则事件 A 包含，共 8 个基本事件，则。19、一枚硬币连续抛掷 5 次，如果出现 次正面的概率等于出现 次正面的概率，那么 的值是_【答案】120、在棱长为 的正方体中，在正方体内随机取一点 ，则点 到点 的距离大于 的概率为_.【答案】【解析】所求概率为21、某水池的容积是 ，向水池注水的水龙头 和水龙头 的流速都是 ,它们在一昼夜内随机开放( 小时),水池不溢出水的概率为_.【答案
21、】【解析】设注水的水龙头 所用时间为 ，和注水水龙头 的时间为 ，要使它们在一昼夜内随机开放，水池不溢出水必须 ，并且 ， ， 由几何概型的公式可得在一昼夜内随机开放，水池不溢出水的概率。.22、已知函数，其中实数 随机选自区间 ，则对，都有 恒成立的概率是_.【答案】【解析】对，都有 恒成立，则解得，由几何概型的概率计算公 式得， 23、分别在区间 和 内任取一个实数，依次记为 和 ，则 的概率为_.【答案】24、小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆中投掷一点，若此点到圆心的距离大于 ，则周末看电影；若此点到圆心的距离小于 ，则周末打篮球；否则就在家看书那么小明周末在家看书的
22、概率是_.【答案】【解析】 设“看电影”、“打篮球”、“看书”三个事件分别为 ，则这三个事件互斥，而且，又，所以 .25、在单位正方形内随机取一点 ，则若在如图阴影部分的概率是_.【答案】【解析】空白区域可看作是由 8 部分组成，每一部分是由边长为 的正方形面积减去半径为 的四分之一圆的面积，故空白区域面积为，故阴影部分面积为，由几何概型概率计算公式得。26、为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为 的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷 个点，已知恰有 个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是_【答案】9【解析】根据几何概率的计算公式可求，向正方形内随机投掷点，落在阴影部分的概率，根据公式 可得.27、如图是 3 世纪我国汉代的赵爽在注解周髀 算经时给出的,人们称它为“赵爽弦图”,阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形, 在大正方形内随机取一点, 这一点落在小正方形内的概率为 ,若直角三角形的两条直角边的长分别为 ,则 _.【答案】【解析】