1、专题 11 立体几何小题部分【训练目标】1、 掌握三视图与直观图之间的互换，会求常见几何体的体积和表面积；2、 掌握空间点线面的位置关系，以及位置关系的判定定理和性质定理；并能依此判断命题的真假；3、 掌握空间角即异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角的求法；4、 掌握等体积法求点面距；5、 掌握几 何体体积的几种求法；6、 掌握利用空间向量解决立体几何问题。7、 掌握常见几何体的外接球问题。【温馨小提示】立体几何素来都是高考的一个中点，小题，大题都有，一般在 17 分到 22 分之间，对于大多数人来说，立体几何就是送分题，因为只要有良好的空间感，熟记那些判定定理和性质定理，然后熟练空间角和
2、距离的求法，特别是掌握了空间向量的方法，更觉得拿分轻松。【名校试题荟萃】1、某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）A. B. C. D.【答案】A2、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.【答案】A3、如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分 别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，该多面体为如下几何体，其中 BD,ED,CD 两两互相垂直，最长的棱长为，故选 C4、如图，在棱长为 的正方体中，给出以下结论： 直线 与 所成的角为 ； 若 是线段
3、 上的动点，则直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围是 ； 若 是线段 上的动点，且 ，则四面体 的体积恒为 .其中，正确结论的个数是( )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个【答案】D连接 ，设 到平面 的距离为 ，则 ， 到直线 的距离为 ，则四面体 的体积，正确正确的命题是5、一个直棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为 的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表面积为( )A. B. C. D.【答案】A6、某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件
4、的体积）（ ）A. B. C. D.【答案】A7、一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削，打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B8、如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示，还原几何体的直观图是棱长为 3 的正方体中的四棱锥 ，因此该几何体的外接球的半径，该几何体的外接球的表面积为，选 C.9、九章算术商功章有题:一圆柱形谷仓 ，高 丈 尺，容纳米 斛（ 丈= 尺，斛为容积单位， 斛 立方尺， ），则圆柱底面周长约为（ ）A. 丈 尺 B. 丈 尺 C. 丈 尺 D.
5、 丈 尺【答案】B10、已知四面体 的四个顶点都在球 的球面上，若 平面 ， ，且 ，则球 的表面积为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】 平面 ， ，在四面体的基础上构造长方体如图，可知长方体的外接球与四面体的外接球相同，长方体的对角线就是外接球的直径，即， ，球 的表面积。11、如上右图是某几何体的三视图，则该几何体的内切球的表面积为（ ）A. B. C. D.【答案】B12、九章算术是我国古代的数学名著，书中提到一种名为 “刍甍”的五面体，如图所示，四边形是矩形，棱 ， ， ， 和 都是边长为 的等边三角形，则这个几何体的体积是( )A. B. C. D.【答案】C 13、如图
6、，正三棱柱的各条棱长都相等， 是侧棱 的中点，则异面直线 和 所成角的大小是（ ）A. B. C. D.【答案 】D【解析】补一个相同的正三棱柱，如图所示，把正三棱柱补成直四棱柱，设棱长为 ，取 中点，则 ，所以 为异面直线 和 所成的角，在 中，,在 中，由余弦定理得：，所以。14、在四棱锥中，底面 是菱形， 底面 ， 是棱 上一点若，则当 的面积为最小值时，直线 与平面 所成的角为（ ）A. B. C. D.【答案】B15、已知三棱锥 的底面是以 为斜边的等腰直角三角形, ，则三棱锥的外接球的球心到平面 的距离是（ ）A. B. C. D.【答案】A16、如图，在棱长为 的正方体中，给出以
7、下结论： 直线 与 所成的角为 ； 若 是线段 上的动点，则直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围是 ； 若 是线段 上的动点，且 ，则四面体 的体积恒为 .其中，正确结论的个数是( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个【答案】D【解析】 中，每条边都是 ，即为等边三角形， 与 所成角为 ，又，直线 与所成的角为 ，正确；由正方体可得平面 平面 ，当 点位于 上，且使平面 时，直线 与平面 所成角的正弦值最大为 ，当 与 重合时，连接 交平面 所得斜线最长，直线 与平面 所成角的正弦值最小等于 ，直线 与平面所成角的正弦值的取值范围是 ，正确；连接 ，设 到平面 的距离为 ，则 ， 到直
8、线 的距离为 ，则四面体 的体积为 26，正确正确的命题是17、如图，在矩形 中， ， ，点 为 的中点，现分别沿 将翻折，使得点 重合于 ，此时二面角的余弦值为（ ）A. B. C. D.【答案】B18、如图所示，在直三棱柱中， ， ， ， 分别是 ， 的中点，给出下列结论： 平面 ； ；平面 平面 ；其中正确结论的序号是_【答案】19、已知三条不重合的直线 ，两个不重合的平面 ，有下列命题：若且 ，则 ； 若且 ，则 ；若，则 ；若，则 .其中真命题的个数是_【答案】2 【解析】中 与 可能相交；对；中要求 与 为两异面直线时才成立；为面面垂直的性质定理，正确20、已知四边形 是矩形，.沿
9、 将 折起到 ，使平面 平面 ， 是的中点， 是 上一点，给出下列结论：存在点 ，使得 平面 ;存在点 ，使得 平面 ;存在点 ，使得 平面 ;存在点 ，使得 平面 ;其中正确的结论是_.（写出所以正确结论的序号）【答案】21、设 是不同的直线， 是不同的平面，有以下四个命题：； ； .其中，正确的命题是_.【答案】【解析】中平行于同一平面的两平面平行是正确的；中 可能平行，相交或直线在平面内；中由面面垂直的判定定理可知结论正确；中 可能线面平行或线在面内.22、如图，在直角梯形 中， ， ， 分别是 的中 点，将三角形沿 折起，下列说法正确的是_.（填上所有正确的序号）不论 折至何位置（不在
10、平面 内）都有 平面 ；不论 折至何位置都有 ；不论 折至何位置（不在平面 内）都有 ；在折起过程中，一定存在某个位置，使 . 【答案】【解析】将三角形 沿 折起后几何体如图所示：为 分别是 的中点，所以不论 折至何位置（不在平面 内）都有 ，平面 所以正确；,则 ，所以正确； 与 是异面直线，所以错；当 时，因为 , 平面 , ,所以存在某个位置，使 ，所以正确；故答案为23、已知空间四边形 中, , , ,若平面 平面 ,则该几何体的外接球表面积为_.【答案】24、设 、 、 是三个不同的平面， 、 、 是三条不同的直线，则 的一个充分条件为_. ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ，
11、 【答案】、【解析】中由已知条件可知 或 在 内或斜交或平行；由 可知 、 平行，由 可得 ；由面面垂直的性质可 得 成立；由 可知 、 平行或相交只有平行时才有 .25、如图，一竖立在水平对面上的圆锥形物体的母线长为 ，一只小虫从圆锥的底面圆上的点 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点 处，则该小 虫爬行的最短路程为 ，则圆锥底面圆的半径等于（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】作出该圆锥的侧面展开图，如下图所示：该小虫爬行的最短路程为 ，由余弦定理可得，设底面圆的半径为 ，则有， 故 项正确26、已知空间 个球，它们的半径均为 ，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这 个球都外切，
12、则这个小球的半径（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可知，小球球心 为正四面体的中心，到顶点的距离为 ，从而所求小球的半径 . 故选 . 27、 三棱锥 中, 底面 , ,点 分别是 的中点，则点 到平面 的距离为_.【答案】【解析】如图,以 所在直线为 轴, 所在直线 轴,建立空间直 角坐标系,则, ,设平面 的一个法向量,则取 ,则平面 的一个法向量,则点 到平面 的距离为28、如图，长方体的底面是边长为 1 的正方形，高为 2，则异面直线 与 的夹角的余弦值是_【答案】【解析】29、如图，在三棱柱中， 是正方形 的中心， ， 平面 ， ，则直线 与平面 所成角的正弦值为_.【答案】【解析】如图建立空间直角坐标系，由 ，得，则 ， ， ， ， ，设 ，则，由 ，可得：， ，设平面 的一个法向量为 ，则，取，则，故所求正弦值为 .30、棱长为 1 的正方体中, 为 的中点,则平面 与平面 所成二面角的余弦值为_.【答案】设平面 的一个法向量为 ,则.令 ,则 .又平面 的一个法向量为,所以.