1、专题 08 数列大题部分【训练目标】1、 理解并会运用数列的函数特性；2、 掌握等差数列，等比数列的通项公式，求和公式及性质；3、 掌握根据递推公式求通项 公式的方法；4、 掌握常用的求和方法；5、 掌握数列中简单的放缩法证明不等式。【温馨小提示】高考中一般有一道小题，一道大题，小题侧重于考等差数列与等比数列的性质，熟练的灵活的使用数列的性质会大大减少计算量；大题则侧重于考查根据递推公式求通项公式，求和的方法。总之，此类题目难度中等，属于必拿分题。【名校试题荟萃】1、 （宁夏长庆高级中学 2019 届高三上学期第四次月考数学（理）试卷）设数列 na的前 项和，且23,a成等差数列.（1）求数列
2、 n的通项公式；（2）记数列 1na的前 n 项和 T，求使得成立 的 n 的最小值.【答案】 （1） 2 （2）10（2）由（1）可得 1nna，所以，由，即 0n，因为，所以 0，于是使得成立的 n 的最小值为 10.2、 （宁夏长庆高级中学 2019 届高三上学期第四次月考数学（理）试卷）设等差数列 na的公差为 d，点(,)nab在函数 ()2xf的图象上（ *nN） 。（1）若 1，点 87,4)ab在函数 ()fx的图象上，求数列 na的前 项和 nS；（2）若 a，函数 (fx的图象在点 2,ab处的切线在 x轴上的截距为 12l，求数列 nab的前 项和 nT.【答案】 （1）
3、 （2）（2）由函数 ()fx的图象在点 2(,)ab处的切线方程为所以切线在 轴上的截距为 1ln，从而，故 2a从而 na， 2nb， 所以故。3、 （辽宁省辽河油田第二高级中学 2019 届高三上学期期中考试数学（文）试题）设 nS为数列 na的前项和，已知 10a， nN（1）求 ， 2；（2）求数列 na的通项公式；（3）求数列 的前 项和【答案】 （1）1，2 （2）12na（3）（3）由（2）知1n，记其前 项和为 nT，于是 得从而4、 （湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东六校 2019 届高三 12 月联考数学（理）试题）已知数列 na的前n项和 S满足，且 1a。（1）求数列的
4、通项公式 na；（2）记， nT为 b的前 项和，求使 nT2成立的 的最小值.【答案】 （1） 12a （2）5（2）由（1）知，由 nT有 242，有 6)(2n，所以 5n，的最小值为 5.5、 （黑龙江省哈尔滨市第六中学 2019 届高三 12 月月考数学（理）试题）已知数列 na满足 12，且， *nN.（1）设 2nab，证明：数列 nb为等差数列，并求数列 nb的通项公式； （2）求数列 n的前 项和 S.【答案】（1）（2）【解析】（1）把 nab代入到，得，同除 2n，得 1n， nb为等差数列，首项 12ab，公差为 1，.（2）由，再利用错位相减法计算得：.。6、（安徽省
5、肥东县高级中学 2019 届高三 11 月调研考试数学（理）试题）已知数列 na满足： 1，.（1）设nab，求数列 nb的通项公式；（2）求数列 n的前 项和 S.【答案】（1）（2）（2）由（）可知，设数列12n的前 项和 nT则。7、 （广东省中山一中、仲元中学等七校 2019 届高三第二次联考（11 月）数 学（理）试题）已知数列na为公差不为 0的等差数列,满足 15a,且 2930,a成等比数列.（1）求 的通项公式；（2） 若数列 nb满足（ N）,且 13b,求数列1nb的前 项和 nT.【答案】（1） 3na（2）对 13b上式也成立,所以,即, 所以.8、 （江西 省玉山县
6、一中 2019 届高三上学期期中考试数学（理）试卷）数列 na中， 81， 24a，且满足， )(*Nn（1）设，求 S； （2）设， )(*， )(*n，是否存在最大的正整数 m，使得对任意 *Nn均有 32mTn成立？若存在求出 m的值；若不存在，请说明理由。【答案】（1）（2）7从而故数列 Tn是单调递增数列，又因 是数列中的最小项，要使 恒成立 ，故只需 成立即可，由此解得 m8，由于 mZ *，故适合条件的 m 的最大值为 79、 （辽宁省沈阳市东北育才学校 2019 届高三上学期第三次模拟数学（文）试题）已知数列 na满足 N（1）求数列 na的通项公式；（2）设以 为公比的等比数
7、列 nb满足 N） ，求数列的前 n项和 nS【答案】 （1） 243na（2）【解析】 （1）由题知数列 3na是以 2为首项， 为公差的等差数列，.10、 （江西省南康中学 2019 届高三上学期第四次月考数学（理）试题）已知数列 na的前 项和为 nS，且 2naS.（1）求数列 的通项公式；（2）记，求数列 nb的前 项和 nT.【答案】（1） 1n（2） n【解析】（1）当 时，得 当 时，有，所以即 ，满足 时， ，所以 是公比为 2，首项为 1 的等比数列，故通项公式为 11、已知数列 an各项均不相同， a11，定义，其中 n， kN*（1）若 b）（ ，求 5；（2）若 bn
8、1 （ k）2 bn（ k）对 2,均成立，数列 an的前 n 项和为 Sn（i）求数列 an的通项公式；（ii）若 k， tN *，且 S1， Sk S1， St Sk成等比数列，求 k 和 t 的值【答案】（1） 95a（2） （i） 12n；（ii） k2， t3【解析】（1）因为，所以，所以 95a. （2） （i）因为 bn1 （ k）2 bn（ k） ，得， 令 k1,，k2， 由得，+得， +得 nna21，又 0，所以数列 n是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，所以 12na 12、 （江苏省盐城市 2019 届高三上学期期中考试）已知正项数列 na的首项 1，前 n项和
9、nS满足.（1）求数列 na的通项公式；（2）若数列 nb是公比为 4 的等比数列，且也是等比数列，若数列+nab单调递增，求实数 的取值范围；（3）若数列 n、 c都是等比数列，且满足 nnabc，试证明：数列 nc中只存在三项.【答案】（1） an （2） 3 （3）见解析【解析】（1），故当 时，两式作差得：， 由 na为正项数列知，即 na为等差数列，故 na 。（2）由题意，化简得 31b，所以，所以，由题意知恒成立，即 31n恒成立，所以 13，解得 23；13、 （浙江省诸暨中学 2019 届高三期中考试题）已知数列 na，满足 1， 23a，（1）证明：为等比数列并求 n的通项
10、公式；（2） nS为数列 na的前 项和，是否存在 Ntr, )(tr使得 trS,1成等差数列，若存在求 出tr,，不存在，请说明理由。【答案】（1） （2）不存在（2）, 1S,.等式的左边是一个偶数，右边是一个奇数，所以不存在这样的 tr,，使得 trS,1成等差数列.14、 （浙江省诸暨中学 2019 届高三期中考试题）设数列 na满足：（1）.求数列 na的通项公式；（2）.设，求数列 b的前 项和 nS.【答案】（1） na31（2）见解析（2） 当 n为奇数时，.当 n为偶数时，.15、 （河北省衡水中学 2019 届高三上学期三调考试数学（文）试卷）已知数列 中， ，.（1）求 的通项公式；（2）数列 满足，数列 的前 项和为 ，若不等式对一切 恒成立，求的取值范围.【答案】 （1）见解析 （2） .所以数列 是以 3 为公比，以 为首项的等比数列，从而；（2） ，.，两式相减得， .，若 为偶数，则 ， ，若 为奇数，则 ， ， ， .16、 （湖南省长沙市雅礼中学 2019 届高 三上学期月考（一）数学（理）试题）已知 是等比数列，满 足，且 成等差数列.（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，数列 的前项和为，求正整数 的值，使得对任意 均有 .【答案】 （1） （2）5.得：，所以，则 .由得：当 时，；当 时，；所以对任意 ，且 均有 故 k=5.