1、专题 15 解析几何小题部分【训练目标】1、 理解斜率、倾斜角的概念，会利用多 种方法计算斜率，掌握斜率与倾斜角之间的变化关系；2、 掌握直线方程的 5 种形式，熟练两直线的位置关系的充要条件，并且能够熟练使用点到直线的距离，两点间的距离，两平行间的距离公式；3、 识记圆的标准方程和一般方程，掌握两个方程的求法；4、 掌握直线与圆的位置关系的判断，圆与圆的位置关系判断；5、 掌握圆的切线求法，弦长求法，切线长的求法。6、 掌握椭圆，双曲线，抛物线的定义及简单几何性质；7、 掌握椭圆，双曲线的离心率求法；8、 掌握直线与圆锥曲线的位置关系；9、 掌握圆锥曲线中的定值问题，定点问题，最值与范围问题
2、求法；【温馨小提示】 本专题在高考中属于压轴题，文科相对简单，只需掌握常见的方法，有一定的计算能力即可；对于理科生来讲，思维难度加大，计算量加大， 因此在复习时应该多总结，对于常见的一些小结论加以识记，并采用一些诸如特殊值法，特殊点法加以验证 求解。【名校试题荟萃】1、设 A，B 是抛物线 yx 2上的两点，O 是坐标原点，若 OAOB，则以下结论恒成立的结论个数为( )|OA|OB|2；直线 AB 过定点(1，0)；O 到直线 AB 的距离不大于 1. A0 B1 C2 D3【答案】C2、已知双曲线 1(a0，b0)，过 x 轴上点 P 的直线与双曲线的右支交于 M，N 两点(M 在第一象限
3、)，x2a2 y2b2直线 MO 交双曲线左支于点 Q(O 为坐标原点)，连接 QN.若MPO120，MNQ150，则该双曲线的渐近线方程为_ 。【答案】yx. 【解析】由题意可知：M，Q 关于原点对称，k MN kQN ，k MN ，k QN ， 1，渐近线方程为b2a2 3 33 b2a2yx.3、以下四个 关于圆锥曲线的命题中正确的个数为（ ）曲线与曲线有相同的焦点；方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；过椭圆的右焦点 作动直线 与椭圆交于 两点， 是椭圆的左焦点，则 的周长不为定值 过抛物线 的焦点作直线与抛物线交于 两点，则使它们的横坐标之和等于 的直线 有且只有两条A.1 个
4、B.2 个 C.3 个 D.4 个【答案】B 4、设 为坐标原点， 为抛物线 的焦点， 为抛物线上一点，若，则点 的坐标为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】由抛物线方程 可知其焦点 ，依题意可设 ， ,，解得 ， ， 5、双曲线上任意一点 可向圆作切线 ，若存在点 使得，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】C6、若直线 与圆的两个交点关于直线对称，则 的值分别为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为直线 与圆的两个交点关于直线对称，所以直线 和直线垂直，即 ,且直线过圆心，代入得 .7、已知 是定义在 上的增函数，函数的图象关于点 对称，若对
5、任意的 ，等式恒成立，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】C（舍去），故取值范围为.8、若椭圆上有 个不同的点， 为右焦点， 组成公差 的等差数列，则 的最大值为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】椭圆上的点到焦点的最大距离为 ，到右焦点最小距离为 ，即，所以，即，即，要使得 ，且 最大，则，所以 最大值为 9、已知 , 是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点 ，使得 ,则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】B10、如图， 为双曲线 的左右焦点，且 ，若双曲线 右支上存在点 ，使得 ，设直线 与 轴交于点 ，且 的内切圆半径为 ，则双曲线的离心率为（
6、 ）A. B.4 C. 3 D. 23【答案】A【解析】因为 ，且 的内切圆半径为 ，所以，所以，所以，因为图形的对称性可知，所以，又因为 ，所以，所以双曲线的离心率为 ，故选 A11、已知点 是抛物线 的对称轴与准线的交点，点 为该抛物线的焦点，点 在抛物线上且满足，当 取最小值时，点 恰好在以 ， 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.【答案】C代入 可得，即， 所以， ， ，所以双曲线的实轴长为，双曲线的离心率12、已知 是双曲线 ： 的左、右焦点，过点 的直线 与 的左支交于 两点，若，且，则 的离心率是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】设 ,则
7、 ,由双曲线的定义有, ,又 ,所以 都为直角三角形,由勾股定理有 ,代入有 ,解得 ,故离心率.13、已知双曲线的左,右焦点分别是 ，过 的直线与 的右支交于 两点， 分别是 的中点， 为坐标原点，若 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则 的离心率是（ ）A. B. C. D.【答案】D在 中：，整理计算可得： ，在 中：，即，计算可得：，所以 .14、已知 是椭圆的左右焦点， 是椭圆 上任意一点，过 作 的外角平分线 的垂线，垂足为 ，则点 的轨迹为（ ）A.直线 B.圆 C.椭圆 D.四条线段【答案】B15、已知抛物线 的焦点为 ，点 与 关于 轴对称，点 在抛物线上且，则 的周长为_.
8、【答案】【解析】由题意， ， ，作 垂直抛物线的准线 ，垂足为 ，记 ，则，故，即， ，代入解析式中有， ，所以 的周长为.16、过抛物线 上任意一点 向圆作切线，切点为 ，则 的最小值等于_.【答案】17、已知 是抛物线 上的点,则的最大值是_.【答案】【解析】,表示抛物线上的一点 到 的距离与 到准线的距离之差,如图所示,设抛物线 的焦点为,因此,故,当且仅当 , , 三点共线时等号成立.18、若曲线与曲线由四个不同的交点，则实数 的取值范围是_.【答案】当直线与圆相切时，圆心到直线的距离， 则直线与圆相交时，.19、在平面直角坐标系 中，圆 的方程为，若直线 上至少存在一点，使得以该点为
9、圆心，为半径的圆与圆 有公共点，则 的最大是_.【答案】【解析】圆 的方程为：，即圆 是以 为圆心， 为半径的圆；又直线 上至少存在一点，使得以该点为圆心， 为半径的圆与圆 C 有公共点，只需圆与直线 有公共点即可设圆心 到直线 的距离为 ，则，即， 的最大值是 20、在平面直角坐标系 中，点 ，直线，设圆 的半径为 ，圆心在 上，若圆 上存在点 ，使，则圆心 的横坐标的取值范围为 _.【答案】21、已知椭圆的离心率是 ，过椭圆上一点 作直线 交椭圆于 两点，且斜率分别为，若点 关于原点对称，则 的值为_.【答案】【解析】设，则由点差法得.因此，因为离心率是 ，所以 ，从而 .22、点 在椭圆
10、上运动， 分别在两圆和上运动，则的最小值为_.【答案】223、直线 与椭圆 : 相交于 , 两点, 与 轴、 轴分别相交于 , 两点,如果 , 是线段 的两个 三等分点,则直线 的斜率为_.【答案】【解析】由题意,设直线 的方程为, , ,则 , ,由方程组得,所以,由韦达定理,得, .由 , 是线段 的两个三等分点,得线段 的中点与线段 的中点重合.所以 , 解得 .24、过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为 ，延长 交抛物线 于点 ， 为坐标原点，若，则双曲线的离心率为_.【答案】设 ，根据焦半径公式可得： ，所以 ，代入抛物线方程，又 ， .根据勾股定理，整理为，整理为，解得25、已知双曲
11、线 的渐近线方程为 ,焦点为 ,若过双曲线上一点 分别作两条渐近线的平行线,与两条渐近线围成四边形 ,则四边形 的面积为_.【答案】【解析】由焦点为 可设双曲线 的标准方程为,则 .又双曲线 的渐近线方程为 ,所以 ,所以双曲线 的标准方程为 .过双曲线上一点 分别作两条渐近线的平行线,与两条渐近线围成四边形 ,则四边形 为平行四边形,又两条渐近线互相垂直,所以 为矩形,所以四边形 的面积.设 ,则,即,所以.26、已知 ， 是圆（ 为圆心）上一动点，线段 的垂直平分线交直线 于 ，则动点 的轨迹方程为_.【答案】27、过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 两点， 为坐标原点，若 ，则的面积为_.【答案】【解析】，由抛物线定义得，当 时，直线 的方程为，与抛物线 联立方程组可得 ，因此 的面积为，对于，可得 的面积为 .28、已知斜率为 的直线 与椭圆相交于 两点，且 的中点为 ，则椭圆的离心率为_.【答案】【解析】设 ， ，则，即 .29、过椭圆的右焦点 作两条互相垂直的弦 ，若弦 的中点分别为 ，则直线恒过定点_.【答案】30、如图， 是双曲线的左、右焦点，过 的直线 与双曲线的两支分别交于点 .若 为等边三角形，则双曲线的离心率为_.【答案】