1、专题 11 直线和圆的方程测试题【高频考点】本知识涉及直线的倾斜角与斜率，两直线的位置关系，圆的方程，直线与圆的位置关系，弦长计算以及对称问题，直线过定点问题。【考情分析】本阶段是高考考查重点内容之一，涉及题型主要选择题与填空题,考察两直线的垂直平行关系，以及直线与圆的位置关系以及圆与圆锥曲线的综合交汇，注意利用平面几何的性质求解。【重点推荐】第 22 题，涉及证明定值问题以及最值问题，考察综合能力，第 8 题数学文化题，第 20 题考察三角函数恒等变换与 直线的交汇，命题角度新颖，考察综合解决问题的能力。一选择题1. 直线 x+y1=0 的倾斜角等于（ ）A45 B60 C120 D135【
2、答案】：D【解析】直线 x+y1=0 的斜率为1，设其倾斜角为 （0135） ，tan=1，则 =135故选：D2. （2018资阳模拟）已知直线 l1：ax+（a+2）y+2=0 与 l2：x+ay+1=0 平行，则实数 a 的值为（ ）A1 或 2 B0 或 2 C2 D1【答案】：D【解析】由 aa（a+2）=0，即 a2a2=0，解得 a=2 或1经过验证可得：a=2 时两条直线重合，舍去a=1故选：D3. （2018北京模拟）直线 l：3x+4y+5=0 被圆 M：（x2） 2+（y1） 2=16 截得的弦长为（ ）A B5 C D10【答案】：C【解析】圆（x2） 2+（y1） 2
3、=16，圆心（2，1） ，半径 r=4，圆心到直线的距离d= =3，直线 3x+4y+5=0 被圆（x2） 2+（y1） 2=16 截得的弦长 l=2 故选：C4.已知点（1，2）和（ ，0） 在直线 l：axy+1=0（a0）的同侧，则直线 l 倾斜角的取值范围是（ ）A （ ， ） B （0， ）（ ，） C （ ， ） D （ ， ）【答案】D【解析】：点（1，2） ， （ ，0）在直线 axy+1=0 的同侧，（a2+1） （ a+1）0，解不等式可得， a1，故选：D5（2018武汉模拟）已知圆 C1：，x 2+y2=r2，圆 C2：（xa） 2+（yb） 2=r2（r0）交于不同的
4、A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）两点，给出下列结论：a（x 1x 2）+b（y 1y 2）=0；2ax 1+2by1=a2+b2；x 1+x2=a，y 1+y2=b其中正确结论的个数是（ ）A0 B1 C2 D3【答案】：D6. （2018丹东二模）圆心为（2，0）的圆 C 与圆 x2+y2+4x6y+4=0 相外切，则 C 的方程为（ ）Ax 2+y2+4x+2=0 Bx 2+y24x+2=0 Cx 2+y2+4x=0 Dx 2+y24x=0【答案】：D【解析】圆 x2+y2+4x6y+4=0 的圆心为 M（2，3） ，半径为 r=3，CM=5，圆 C 的半径为 53=2，圆 C
5、 的标准方程为：（x2） 2+y2=4，即 x2+y24x=0故选：D 7. （2018房山区一模）圆 x2+y2=4 被直线 y= 截得的劣弧所对的圆心角的大小为 120，则 b 的值（ ）A2 B C2 D【答案】A【解析】：根据题意，圆 x2+y2=4 的圆心为（0，0） ，半径 r=2，若圆 x2+y2=4 被直线 y= 截得的劣弧所对的圆心角的大小为 120，则圆心到直线的距离 d= =1，即 =1，解可得 b=2，故选：A8. 已知点 P 在直线 x+3y2=0 上，点 Q 在直线 x+3y+6=0 上，线段 PQ 的中点为 M（x 0，y 0） ，且 y0x 0+2，则 的取值范
6、围是（ ）A ，0） B （ ，0） C （ ，+） D （， ）（0，+）【答案】：D【解析】点 P 在直线 x+3y2=0 上，点 Q 在直线 x+3y+6=0 上，线段 PQ 的中点为 M（x 0，y 0） ，化为x0+3y0+2=0又 y0x 0+2，设 =kOM，当点位于线段 AB（不包括端点）时，则 kOM0，当点位于射线BM（不包括端点 B）时，k OM 的取值范围是（， ）（0，+） 故选：D 9. 一条光线从点（2，3）射出，经 x 轴反射后与圆（x3） 2+（y2） 2=1 相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）A 或 B 或 C 或 D 或【答案】：D【解析】由题意可知：
7、点（2，3）在反射光线上设反射光线所在的直线方程为：y+3=k（x+2 ） ，即kxy+2k3=0由相切的性质可得： =1，化为：12k 225k+12=0，解得 k= 或 故选：D10. （2018宜宾模拟）过点 P（2，3）并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）A2x3y=0 B3x2y=0 或 x+y5=0Cx+y5=0 D2x3y=0 或 x+y5=0【答案】：B【解析】当所求的直线与两坐标轴的截距不为 0 时，设该直线的方程为 x+y=a，把（2，3）代入所设的方程得：a=5，则所求直线的方程为 x+y=5 即 x+y5=0；当所求的直线与两坐标轴的截距为 0 时，设该直线的方程
8、为 y=kx，把（2，3）代入所求的方程得：k= ，则所求直线的方程为 y= x 即 3x2y=0综上，所求直线的方程为：3x2y=0 或 x+y5=0故选：B11. （2018红河州二模）已知方程 kx+32k= 有两个不同的解，则实数 k 的取值范围是（ ） A B C D【答案】：C12. （2018涪城区校级模拟）若圆 x2+y24x4y10=0 上至少有三个不同点到直线 l：ax+by=0 的距离为 2 ，则直线 l 的斜率的取值范围是（ ） A2 ，1 B2 ，2+ C ， D 0，+）【答案】：B【解析】圆 x2+y24x4y10=0 可化为（x2） 2+（y2） 2=18，则圆
9、心为（2，2） ，半径为 3 ；则由圆 x2+y24x4y10=0 上 至少有三个不同点到直线 l：ax+by=0 的距离为 2 可得，圆心到直线l：ax+by=0 的距离 d3 2 = ；即 ，则 a2+b2+4ab0，若 a=0，则 b=0，故不成立，故 a0，则上式可化为 1+（ ） 2+4 0，由直线 l 的斜率 k= ，则上式可化为 1+k24k0，则2 ，2+ ，故选：B二 填空题13. 已知两点 A（0，1） ，B（4，3） ，则线段 AB 的垂直平分线方程是 【答案】：2x+y6=0 【解析】两点 A（0，1） ，B（4，3） ，中点坐标为：（2，2） ，直线 AB 的斜率为：
10、 = ，AB 垂线的斜率为：2，线段 AB 的垂直平分线方程是：y2=2（x2） ，即：2x+y6=0，故答案为 2x+y6=014. （2018顺 义区二模）圆（x2） 2+（y1） 2=1 的圆心到直线 y=2x+2 的距离为 【答案】：【解析】圆（x2） 2+（y1） 2=1 的圆心为 C（2，1） ，直线 y=2x+2 化为一般形式是 2xy+2=0，则圆心到直线的距离为 d= 故答案为： 15. （2018铜山区三模）已知圆 O：x 2+y2=r2（r0）及圆上的点 A（r，0） ，过点 A 的直线 l 交 y 轴于点 B（0，1） ，交圆于另一点 C，若 AB=2BC，则直线 l
11、的斜率为 【答案】： 或 【解析】由题意直线 l 的方程为 = ，即 xry+r=0，联立直线与圆的方程：，得 C（ ， ） ，AB=2BC， =2，解得 r= 或 r= ，直线 l 的斜率 k= = 或 k= = 故答案为： 或 16 设 mR，过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的直线 mxym+3=0 交于点 P（x，y） ，则|PA|+|PB|的最大值是 【答案】：2 【解析】由题意可得动直线 x+my=0 过定点 A（0，0） ，直线 mxym+3=0 可化为（x1）m+3y=0，令可解得 ，即 B（1，3） ，又 1m+m（1）=0，故两直线垂直，|PA| 2+|PB
12、|2=|AB|2=10，由基本不等式可得 10=|PA|2+|PB|2=（|PA|+|PB|） 22|PA|PB|（|PA|+|PB|） 22（ ） 2= （|PA|+|PB|） 2，（|PA|+|PB|） 220，解得|PA|+|PB|2 ,当且仅当|PA|=|PB|= 时取等号故答案为：2 三.解答题17. （本题 10 分）直线 l的倾斜角为 450，在 x 轴上的截距为2，直线 l和 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，在线段 AB 为边在第二象限内作等边ABC，如果在第二象限内有一点 P(m， 1)使得ABP 和ABC 的面积相等，求 m 的值 （1）求圆的圆心 C 的坐标和半径长；（
13、2）直线 l 经过坐标原点且不与 y 轴重合，l 与圆 C 相交于 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2）两点，求证：为定值；（3）斜率为 1 的直线 m 与圆 C 相交于 D、E 两点，求直线 m 的方程，使CDE 的面积最大【解析】：（1）圆 C：x 2+y2+2x3=0，配方得（x+1） 2+y2=4，则圆心 C 的坐标为（1，0） ，圆的半径长为 2；3 分（2）设直线 l 的方程为 y=kx，联立方程组，消去 y 得（1+k 2）x 2+2x3=0，5 分则有：；所以为定值；7 分（3）解法一：设直线 m 的方程为 y=kx+b，则圆心 C 到直线 m 的距离 ，所以，9 分当且仅当 ，即 时，CDE 的面积最大，从而，解之得 b=3 或 b=1，故所求 直线方程为 xy+3=0 或 xy1=0解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，所以2，当且仅当 CDCE 时，CDE 的面积最大，此时 ；设直线 m 的方程为 y=x+b，则圆心 C 到直线 m 的距离 ，由， 得 ，由，得 b=3 或 b=1，故所求直线方程为 xy+3=0 或 xy1=012 分