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2019年高考数学艺术生百日冲刺专题11:直线与圆的方程测试题(含答案)

1、专题 11 直线和圆的方程测试题【高频考点】本知识涉及直线的倾斜角与斜率,两直线的位置关系,圆的方程,直线与圆的位置关系,弦长计算以及对称问题,直线过定点问题。【考情分析】本阶段是高考考查重点内容之一,涉及题型主要选择题与填空题,考察两直线的垂直平行关系,以及直线与圆的位置关系以及圆与圆锥曲线的综合交汇,注意利用平面几何的性质求解。【重点推荐】第 22 题,涉及证明定值问题以及最值问题,考察综合能力,第 8 题数学文化题,第 20 题考察三角函数恒等变换与 直线的交汇,命题角度新颖,考察综合解决问题的能力。一选择题1. 直线 x+y1=0 的倾斜角等于( )A45 B60 C120 D135【

2、答案】:D【解析】直线 x+y1=0 的斜率为1,设其倾斜角为 (0135) ,tan=1,则 =135故选:D2. (2018资阳模拟)已知直线 l1:ax+(a+2)y+2=0 与 l2:x+ay+1=0 平行,则实数 a 的值为( )A1 或 2 B0 或 2 C2 D1【答案】:D【解析】由 aa(a+2)=0,即 a2a2=0,解得 a=2 或1经过验证可得:a=2 时两条直线重合,舍去a=1故选:D3. (2018北京模拟)直线 l:3x+4y+5=0 被圆 M:(x2) 2+(y1) 2=16 截得的弦长为( )A B5 C D10【答案】:C【解析】圆(x2) 2+(y1) 2

3、=16,圆心(2,1) ,半径 r=4,圆心到直线的距离d= =3,直线 3x+4y+5=0 被圆(x2) 2+(y1) 2=16 截得的弦长 l=2 故选:C4.已知点(1,2)和( ,0) 在直线 l:axy+1=0(a0)的同侧,则直线 l 倾斜角的取值范围是( )A ( , ) B (0, )( ,) C ( , ) D ( , )【答案】D【解析】:点(1,2) , ( ,0)在直线 axy+1=0 的同侧,(a2+1) ( a+1)0,解不等式可得, a1,故选:D5(2018武汉模拟)已知圆 C1:,x 2+y2=r2,圆 C2:(xa) 2+(yb) 2=r2(r0)交于不同的

4、A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2)两点,给出下列结论:a(x 1x 2)+b(y 1y 2)=0;2ax 1+2by1=a2+b2;x 1+x2=a,y 1+y2=b其中正确结论的个数是( )A0 B1 C2 D3【答案】:D6. (2018丹东二模)圆心为(2,0)的圆 C 与圆 x2+y2+4x6y+4=0 相外切,则 C 的方程为( )Ax 2+y2+4x+2=0 Bx 2+y24x+2=0 Cx 2+y2+4x=0 Dx 2+y24x=0【答案】:D【解析】圆 x2+y2+4x6y+4=0 的圆心为 M(2,3) ,半径为 r=3,CM=5,圆 C 的半径为 53=2,圆 C

5、 的标准方程为:(x2) 2+y2=4,即 x2+y24x=0故选:D 7. (2018房山区一模)圆 x2+y2=4 被直线 y= 截得的劣弧所对的圆心角的大小为 120,则 b 的值( )A2 B C2 D【答案】A【解析】:根据题意,圆 x2+y2=4 的圆心为(0,0) ,半径 r=2,若圆 x2+y2=4 被直线 y= 截得的劣弧所对的圆心角的大小为 120,则圆心到直线的距离 d= =1,即 =1,解可得 b=2,故选:A8. 已知点 P 在直线 x+3y2=0 上,点 Q 在直线 x+3y+6=0 上,线段 PQ 的中点为 M(x 0,y 0) ,且 y0x 0+2,则 的取值范

6、围是( )A ,0) B ( ,0) C ( ,+) D (, )(0,+)【答案】:D【解析】点 P 在直线 x+3y2=0 上,点 Q 在直线 x+3y+6=0 上,线段 PQ 的中点为 M(x 0,y 0) ,化为x0+3y0+2=0又 y0x 0+2,设 =kOM,当点位于线段 AB(不包括端点)时,则 kOM0,当点位于射线BM(不包括端点 B)时,k OM 的取值范围是(, )(0,+) 故选:D 9. 一条光线从点(2,3)射出,经 x 轴反射后与圆(x3) 2+(y2) 2=1 相切,则反射光线所在直线的斜率为( )A 或 B 或 C 或 D 或【答案】:D【解析】由题意可知:

7、点(2,3)在反射光线上设反射光线所在的直线方程为:y+3=k(x+2 ) ,即kxy+2k3=0由相切的性质可得: =1,化为:12k 225k+12=0,解得 k= 或 故选:D10. (2018宜宾模拟)过点 P(2,3)并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为( )A2x3y=0 B3x2y=0 或 x+y5=0Cx+y5=0 D2x3y=0 或 x+y5=0【答案】:B【解析】当所求的直线与两坐标轴的截距不为 0 时,设该直线的方程为 x+y=a,把(2,3)代入所设的方程得:a=5,则所求直线的方程为 x+y=5 即 x+y5=0;当所求的直线与两坐标轴的截距为 0 时,设该直线的方程

8、为 y=kx,把(2,3)代入所求的方程得:k= ,则所求直线的方程为 y= x 即 3x2y=0综上,所求直线的方程为:3x2y=0 或 x+y5=0故选:B11. (2018红河州二模)已知方程 kx+32k= 有两个不同的解,则实数 k 的取值范围是( ) A B C D【答案】:C12. (2018涪城区校级模拟)若圆 x2+y24x4y10=0 上至少有三个不同点到直线 l:ax+by=0 的距离为 2 ,则直线 l 的斜率的取值范围是( ) A2 ,1 B2 ,2+ C , D 0,+)【答案】:B【解析】圆 x2+y24x4y10=0 可化为(x2) 2+(y2) 2=18,则圆

9、心为(2,2) ,半径为 3 ;则由圆 x2+y24x4y10=0 上 至少有三个不同点到直线 l:ax+by=0 的距离为 2 可得,圆心到直线l:ax+by=0 的距离 d3 2 = ;即 ,则 a2+b2+4ab0,若 a=0,则 b=0,故不成立,故 a0,则上式可化为 1+( ) 2+4 0,由直线 l 的斜率 k= ,则上式可化为 1+k24k0,则2 ,2+ ,故选:B二 填空题13. 已知两点 A(0,1) ,B(4,3) ,则线段 AB 的垂直平分线方程是 【答案】:2x+y6=0 【解析】两点 A(0,1) ,B(4,3) ,中点坐标为:(2,2) ,直线 AB 的斜率为:

10、 = ,AB 垂线的斜率为:2,线段 AB 的垂直平分线方程是:y2=2(x2) ,即:2x+y6=0,故答案为 2x+y6=014. (2018顺 义区二模)圆(x2) 2+(y1) 2=1 的圆心到直线 y=2x+2 的距离为 【答案】:【解析】圆(x2) 2+(y1) 2=1 的圆心为 C(2,1) ,直线 y=2x+2 化为一般形式是 2xy+2=0,则圆心到直线的距离为 d= 故答案为: 15. (2018铜山区三模)已知圆 O:x 2+y2=r2(r0)及圆上的点 A(r,0) ,过点 A 的直线 l 交 y 轴于点 B(0,1) ,交圆于另一点 C,若 AB=2BC,则直线 l

11、的斜率为 【答案】: 或 【解析】由题意直线 l 的方程为 = ,即 xry+r=0,联立直线与圆的方程:,得 C( , ) ,AB=2BC, =2,解得 r= 或 r= ,直线 l 的斜率 k= = 或 k= = 故答案为: 或 16 设 mR,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的直线 mxym+3=0 交于点 P(x,y) ,则|PA|+|PB|的最大值是 【答案】:2 【解析】由题意可得动直线 x+my=0 过定点 A(0,0) ,直线 mxym+3=0 可化为(x1)m+3y=0,令可解得 ,即 B(1,3) ,又 1m+m(1)=0,故两直线垂直,|PA| 2+|PB

12、|2=|AB|2=10,由基本不等式可得 10=|PA|2+|PB|2=(|PA|+|PB|) 22|PA|PB|(|PA|+|PB|) 22( ) 2= (|PA|+|PB|) 2,(|PA|+|PB|) 220,解得|PA|+|PB|2 ,当且仅当|PA|=|PB|= 时取等号故答案为:2 三.解答题17. (本题 10 分)直线 l的倾斜角为 450,在 x 轴上的截距为2,直线 l和 x 轴,y 轴分别交于点 A,B,在线段 AB 为边在第二象限内作等边ABC,如果在第二象限内有一点 P(m, 1)使得ABP 和ABC 的面积相等,求 m 的值 (1)求圆的圆心 C 的坐标和半径长;(

13、2)直线 l 经过坐标原点且不与 y 轴重合,l 与圆 C 相交于 A(x 1,y 1) 、B(x 2,y 2)两点,求证:为定值;(3)斜率为 1 的直线 m 与圆 C 相交于 D、E 两点,求直线 m 的方程,使CDE 的面积最大【解析】:(1)圆 C:x 2+y2+2x3=0,配方得(x+1) 2+y2=4,则圆心 C 的坐标为(1,0) ,圆的半径长为 2;3 分(2)设直线 l 的方程为 y=kx,联立方程组,消去 y 得(1+k 2)x 2+2x3=0,5 分则有:;所以为定值;7 分(3)解法一:设直线 m 的方程为 y=kx+b,则圆心 C 到直线 m 的距离 ,所以,9 分当且仅当 ,即 时,CDE 的面积最大,从而,解之得 b=3 或 b=1,故所求 直线方程为 xy+3=0 或 xy1=0解法二:由(1)知|CD|=|CE|=R=2,所以2,当且仅当 CDCE 时,CDE 的面积最大,此时 ;设直线 m 的方程为 y=x+b,则圆心 C 到直线 m 的距离 ,由, 得 ,由,得 b=3 或 b=1,故所求直线方程为 xy+3=0 或 xy1=012 分