1、2019 年陕西省榆林市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5 分）设集合 A1，2 ，3 ，B2，3，4 ，则 A RB（ ）A1 ，4 B2 ，3 C4 D12（5 分）已知复数满足 z（1i）（1+i ） 3，则复数 z（ ）A2 B2 C2i D2i3（5 分）已知 （1， ）， （2，0），则| 3 |（ ）A2 B2 C24 D284（5 分）已知 tan2，则 tan（+ ）（ ）A B C3 D35（5 分）在等差数列a n中，其前 n 项和为 Sn，且满足若 a3+S51
2、2，a 4+S724，则a5+S9（ ）A24 B32 C40 D726（5 分）已知函数 f（x ）是定义在 R 上的偶函数，在区间0，+）上递减，且 f（1）0，则不等式 f（log 2x） 0 的解集为（ ）A（， ）（2，+ ） B（ ，1 ）（1，2）C（ ，1）（2，+） D（0， ）（2，+）7（5 分）执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为 ln5，则在判断框内应填（ ）Ai5？ Bi 4？ Ci6？ Di5？8（5 分）已知 ， 表示两个互相垂直的平面，a，b 表示一对直线，则 ab 的一个充分条件是（ ）Aa，b Ba，b Ca， b Da，b9（5 分）如图，有四张形
3、状大小和质地完全相同的卡片，每张卡片的正面写有一个算式，将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张，则两张卡片上的算式都正确的概率是（ ）A B C D10（5 分）北京市为了缓解交通压力实行机动车辆限行政策，每辆机动车周一到周五都要限行一天，周末不限行某公司有 A、B、C 、D、E 五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶已知：E 车周四限行，B 车昨天限行，从今天算起，A、C 两车连续四天都能上路行驶，E 车明天可以上路由此可知，下列推测一定正确的是（ ）A今天是周六 B今天是周四CA 车周三限行 DC 车周五限行11（5 分）已知抛物线 y22px（p0）交
4、双曲线 1（a0，b0）的渐近线于 A，B 两点（异于坐标原点 O），若双曲线的离心率为 ，AOB 的面积为 32，则抛物线的焦点为（ ）A（2，0） B（4，0） C（6，0） D（8，0）12（5 分）已知函数 f（x ）|ln |1+x|，若存在互不相等的实数 x1，x 2，x 3，x 4，满足f（x 1）f（x 2）f（x 3） f（x 4），则 f（ ）（ ）A0 B1 C2 D4二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13（5 分）已知 x、y 满足约束条件 则 z xy 的最大值为 14（5 分）已知圆 C 的圆心在 y 轴上，且过点 A（4，4），B（4，0）
5、，则圆 C 的标准方程是 15（5 分）如图，ABCD 是边长为 2 的正方形，其对角线 AC 与 BD 交于点 O，将正方形ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 A 所对应点为 A， AOC 设三棱锥ABCD 的外接球的体积为 V，三棱锥 ABCD 的体积为 V，则 16（5 分）已知 Sn 是数列a n的前 n 项和，数列a n满足2n（nN *），则 S5 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 17 题-第 21 题为必考题，每个考题考生必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）选考题：共 60 分17（12 分）在ABC 中，内角 A，B，C
6、 所对的边分别为 a，b，c，且2acosBc cosBbcos C（1）求角 B 的大小：（2）若点 D 为的 BC 中点，且 ADb，求的值 的值18（12 分）如图，ABC 和BCD 所在平面互相垂直，且AB BCBD2，ABCDBC120，E、F、G 分别为 AC、DC、AD 的中点，连接 CG、EF、BG（1）求证：EF平面 BCG；（2）求三棱锥 DBCG 的体积19（12 分）已知某种细菌的适宜生长温度为 1025，为了研究该种细菌的繁殖数量y（单位：个）随温度 x（单位：）变化的规律，收集数据如下：温度 x/ 12 14 16 18 20 22 24繁殖数量y/个20 25 3
7、3 27 51 112 194对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如表所示：（x i） 2（k i） 2（x i）（y i ）（x i）（k i ）18 66 3.8 112 4.3 1428 20.5其中 kilny i， ki（1）请绘出 y 关于 x 的散点图，并根据散点图判断 ybx +a 与 yc 1e 哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量 y 关于 x 的回归方程类型（结果精确到 0.1）；（2）当温度为 25时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？参考公式：对于一组数据（u i，v i）（i 1，2，3，n），其回归线 + 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ， 参考数据：e
8、 5.524520（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： l（ab0）的离心率为 ，直线 1 和椭圆 C 交于 A，B 两点，当直线 l 过椭圆 C 的焦点，且与 x 轴垂直时，|AB| （1）求椭圆 C 的方程；（2）是否存在与 x 轴不垂直的直线 l，使弦 AB 的垂直平分线过椭圆 C 的右焦点？若存在，求出直线 l 的方程，若不存在，请说明理由21（12 分）已知函数 f（x）e xx 21（1）若函数 g（x） ，x （0，+），求函数 g（x）的单调区间；（2）若不等式 f（x ）+ （3x 22x2k）0 有解，求 k 的取值范围（二)选考题：共 10 分请考生在
9、第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22（10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 cos22asin （a0），过点 P（1，2）的直线 l 的参数方程为 （t 为参数），l 与 C 交于 A，B 两点（1）求 C 的直角坐标方程和 l 的普通方程；（2）若|PA|，| AB|，|PB|成等比数列，求 a 的值选修 4-5：不等式选讲23已知定义在 R 上的函数 f|x|2xk |+2|x|kN *存在实数 x0 使 f（x 0）2 成立（）求实数 k 的值；（）若
10、 m ，n 且求证 f（m）+f（n）10，求证 + 2019 年陕西省榆林市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5 分）设集合 A1，2 ，3 ，B2，3，4 ，则 A RB（ ）A1 ，4 B2 ，3 C4 D1【分析】利用集合的交集和补集的定义求出【解答】解：设集合 A1， 2，3 ，B2，3，4 ，则 A RB1故选：D【点评】本题考查集合的交集、并集、补集的定义并用定义解决简单的集合运算2（5 分）已知复数满足 z（1i）（1+i ） 3，则复数 z（ ）A2
11、B2 C2i D2i【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由 z（1i）（ 1+i） 3，得 z 故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题3（5 分）已知 （1， ）， （2，0），则| 3 |（ ）A2 B2 C24 D28【分析】可根据条件求出 的坐标，从而可求出 【解答】解： ； 故选：A【点评】考查向量坐标的减法和数乘运算，根据向量坐标求向量长度的方法4（5 分）已知 tan2，则 tan（+ ）（ ）A B C3 D3【分析】直接利用正切函数的两角和与差的三角函数求解即可【解答】解：tan2，则 tan（+ ） 故选：A【点评】本题考
12、查两角和与差的三角函数，是基本知识的考查5（5 分）在等差数列a n中，其前 n 项和为 Sn，且满足若 a3+S512，a 4+S724，则a5+S9（ ）A24 B32 C40 D72【分析】由题意可得 ，解得 a10，d1，即可求出 a5+S9【解答】解：a 3+S512，a 4+S724， ，解得 a10，d1，a 5+S9a 1+4d+9a1+ d4+3640故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式和求和公式，考查了运算能力和转化能力，属于基础题6（5 分）已知函数 f（x ）是定义在 R 上的偶函数，在区间0，+）上递减，且 f（1）0，则不等式 f（log 2x） 0 的解集
13、为（ ）A（， ）（2，+ ） B（ ，1 ）（1，2）C（ ，1）（2，+） D（0， ）（2，+）【分析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得 f（log 2x）0 f（log 2x）f（1）f（|log 2x|）f（1 ） |log2x|1，即 log2x1 或 log2x1，解可得 x 的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，函数 f（x ）是定义在 R 上的偶函数，在区间0，+）上递减，且 f（1）0，则不等式 f（log 2x）0f（log 2x）f （1） f（|log 2x|） f（1）|log 2x|1，即 log2x1 或 log2x1，解可得：0x 或 x2，即不
14、等式的解集为（0， ）（2，+）；故选：D【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是得到关于 x 的不等式，属于基础题7（5 分）执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为 ln5，则在判断框内应填（ ）Ai5？ Bi 4？ Ci6？ Di5？【分析】根据程序框图进行模拟运算即可【解答】解：ln（1+ ）ln ln（i+1）lni，i1 时，Sln2ln1ln2，i2 时，Sln2+ln3ln2ln 3，i3 时，Sln3+ln4ln3ln 4，i4，Sln4+ln5ln4ln 5，此时 i5 不满足条件，输出 Sln 5，即条件为 i4？，故选：B【点评】本题主要考查程序框图的识
15、别和判断，利用条件进行模拟运算是解决本题的关键8（5 分）已知 ， 表示两个互相垂直的平面，a，b 表示一对直线，则 ab 的一个充分条件是（ ）Aa，b Ba，b Ca， b Da，b【分析】由 A，B，C 三种情况得到的结论都是 a 与 b 相交、平行或异面，由 D 得到的结论是 ab，故求得答案【解答】解：a，ba 与 b 相交、平行或异面，故 A 不正确；a，b a 与 b 相交、平行或异面，故 B 不正确；a，b a 与 b 相交、平行或异面，故 C 不正确；a，b ab，故 D 正确故选：D【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断，解题时要熟练掌握空间直线和平面的位置关系
16、9（5 分）如图，有四张形状大小和质地完全相同的卡片，每张卡片的正面写有一个算式，将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张，则两张卡片上的算式都正确的概率是（ ）A B C D【分析】基本事件总数 n4312，两张卡片上的算式都正确包含的基本事件个数m212，由此能求出两张卡片上的算式都正确的概率【解答】解： 3 和 a5a2a 7 正确，a5a 2a 3 和 错误，将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张，基本事件总数 n4312，两张卡片上的算式都正确包含的基本事件个数 m212，两张卡片上的算式都正确的概率 p 故选：D【点
17、评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力能力，是基础题10（5 分）北京市为了缓解交通压力实行机动车辆限行政策，每辆机动车周一到周五都要限行一天，周末不限行某公司有 A、B、C 、D、E 五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶已知：E 车周四限行，B 车昨天限行，从今天算起，A、C 两车连续四天都能上路行驶，E 车明天可以上路由此可知，下列推测一定正确的是（ ）A今天是周六 B今天是周四CA 车周三限行 DC 车周五限行【分析】根据已知中 E 车限行情况可得今天不是周三，根据 B 车限行情况可得今天不是周一，不是周日，根据 AC 车的限行情况可知今天不是周五
18、，周二和周六【解答】解：保证每天至少有四辆车可以上路行驶，E 车明天可以上路且 E 车周四限行，可知：今天不是周三，B 车昨天限行，今天不是周一，不是周日，A、C 两车连续四天都能上路行驶，今天不是周五，周二和周六，由此推出今天是周四，故选：B【点评】本题考查的知识点是逻辑思维，本题也可以假设某个答案正确，然后逐一验证是否满足所有的条件11（5 分）已知抛物线 y22px（p0）交双曲线 1（a0，b0）的渐近线于 A，B 两点（异于坐标原点 O），若双曲线的离心率为 ，AOB 的面积为 32，则抛物线的焦点为（ ）A（2，0） B（4，0） C（6，0） D（8，0）【分析】利用双曲线的离心
19、率求出双曲线的渐近线方程，然后求解 A 的坐标，利用三角形的面积求出 p，即可求解抛物线的焦点坐标【解答】解：双曲线的离心率为 ，可得 ，可得 b2a，渐近线方程为：2xy0，抛物线 y22px 与 2xy0 可得 x ，yp，AOB 的面积为 32，所以，解得 p8，所以抛物线的焦点坐标为：（4，0）故选：B【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查发现问题解决问题的能力12（5 分）已知函数 f（x ）|ln |1+x|，若存在互不相等的实数 x1，x 2，x 3，x 4，满足f（x 1）f（x 2）f（x 3）f （x 4），则 f（ ）（ ）A0 B1 C2 D4【分析】由
20、数形结合的数学思想方法作出函数 yf （x）的图象，再结合函数图象的对称性可得解【解答】解：设函数 yf（x）的图象与直线 yk 相交，交点的横坐标从左到右分别为 x1，x 2，x 3，x 4，因为 yf（x）的图象关于直线 x1 对称，则 x1+x4x 2+x32，所以 2，所以 f（ ）f （2）0，故选：A【点评】本题考查了函数图象的作法及函数图象的对称性，主要考查了数形结合的数学思想方法，属中档题二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13（5 分）已知 x、y 满足约束条件 则 z xy 的最大值为 2 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，zxy
21、 表示直线在 y轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最小值即可【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，当直线 zxy 过点 A（2，0）时，z 最大是 2，故答案为：2【点评】本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题14（5 分）已知圆 C 的圆心在 y 轴上，且过点 A（4，4），B（4，0），则圆 C 的标准方程是 x 2+（y2） 220 【分析】根据题意，设圆 C 的圆心为（ 0，n），分析可得（04） 2+（4n）2（0+4） 2+（0n） 2，解可得 n 的值，即可得圆心的坐标，分析可得 r2（04）2+（42）
22、 220，由圆的标准方程的形式即可得答案【解答】解：根据题意，设圆 C 的圆心为（0，n），又由圆 C 过点 A（4，4），B（4，0），则有（04） 2+（4n） 2（0+4） 2+（0n） 2，变形可得：n2，即圆心的坐标为（0，2）则有 r2（04） 2+（42） 220，则圆 C 标准方程为 x2+（y 2） 220；故答案为：x 2+（y 2） 220【点评】本题考查圆的标准方程的计算，关键是掌握圆的标准方程的形式，属于基础题15（5 分）如图，ABCD 是边长为 2 的正方形，其对角线 AC 与 BD 交于点 O，将正方形ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 A 所对应点为 A，A
23、OC 设三棱锥ABCD 的外接球的体积为 V，三棱锥 ABCD 的体积为 V，则 8 【分析】由已知可得DA BDCB90，得到 O 为三棱锥 ABCD 的外接球的球心，求出外接球半径，可得外接球体积，再求出三棱锥 ABCD 的体积，作比得答案【解答】解：ABCD 是边长为 2 的正方形，DAB DCB90，则 O 为三棱锥 ABCD 的外接球的球心，且外接球的半径 rOC ，三棱锥 ABCD 的外接球的体积 V ；AOBD ，OCBD，AOC 为二面角 ABDC 的平面角，又AOC ，AO 平面 BCD，则三棱锥 ABCD 的体积为 V 8故答案为：8【点评】本题考查多面体体积的求法，考查空
24、间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题16（5 分）已知 Sn 是数列a n的前 n 项和，数列a n满足2n（nN *），则 S5 【分析】数列a n满足 2n（nN*），n2 时，+ 2（n1），相减可得：a n再利用求和公式即可得出【解答】解：数列a n满足 2n（nN*），n2 时， + 2（n 1）， 2，可得：a n n1 时，2，解得 a1 a n ，（nN*）则 S5 1 故答案为： 【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程
25、或演算步骤第 17 题-第 21 题为必考题，每个考题考生必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）选考题：共 60 分17（12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且2acosBc cosBbcos C（1）求角 B 的大小：（2）若点 D 为的 BC 中点，且 ADb，求的值 的值【分析】（1）利用正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简即可求角 B 的大小；（2）由余弦定理求出 AD2， b2，结合已知条件即可求出 的值，再由正弦定理即可得答案【解答】解：（1）在ABC 中，2acos Bc cosBbcosC，由正弦定理得 2sinAcosB
26、sin BcosC+sinCcosBsin（B+C）sinA，A（0，），sinA0，则 ，B（0，）， ；（2）在ABD 中，由余弦定理得 ，在ABC 中，由余弦定理得 b2a 2+c22accos Ba 2+c2 ac，ADb，a 2+c2ac ，整理得 ， ，由正弦定理得 【点评】本题考查解三角形的应用，考查正弦定理和余弦定理的应用，是中档题18（12 分）如图，ABC 和BCD 所在平面互相垂直，且AB BCBD2，ABCDBC120，E、F、G 分别为 AC、DC、AD 的中点，连接 CG、EF、BG（1）求证：EF平面 BCG；（2）求三棱锥 DBCG 的体积【分析】（1）证明 A
27、D平面 BGC，利用 EFAD ，可得 EF平面 BCG；（2）在平面 ABC 内，作 AOCB，交 CB 的延长线于 O，G 到平面 BCD 的距离 h 是AO 长度的一半，利用 VDBCG V GBCD SDCB h，即可求三棱锥 DBCG 的体积【解答】（1）证明：ABBCBD 2ABCDBC120，ABCDBC，则 ACDC，G 为 AD 的中点，CGAD，同理 BGAD，又CGBGG，AD平面 BGC，EFAD ，EF平面 BCG；（2）解：在平面 ABC 内，作 AOCB，交 CB 的延长线于 O，ABC 和BCD 所在平面互相垂直，AO 平面 BCD，G 为 AD 的中点，G 到
28、平面 BCD 的距离 h 是 AO 长度的一半在AOB 中，AO ABsin60 ，V DBCG V GBCD SDCB h BDBCsin120 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题19（12 分）已知某种细菌的适宜生长温度为 1025，为了研究该种细菌的繁殖数量y（单位：个）随温度 x（单位：）变化的规律，收集数据如下：温度 x/ 12 14 16 18 20 22 24繁殖数量y/个20 25 33 27 51 112 194对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如表所示：（x i） 2（k i） 2（x i）（
29、y i ）（x i）（k i ）18 66 3.8 112 4.3 1428 20.5其中 kilny i， ki（1）请绘出 y 关于 x 的散点图，并根据散点图判断 ybx +a 与 yc 1e 哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量 y 关于 x 的回归方程类型（结果精确到 0.1）；（2）当温度为 25时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？参考公式：对于一组数据（u i，v i）（i 1，2，3，n），其回归线 + 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ， 参考数据：e 5.5245【分析】（1）直接由表格中数据画出散点图，由散点图可知，yc 1e 更适合作为该种细菌的繁殖数量 y 关于 x
30、 的回归方程类型；（2）把 yc 1e 两边取自然对数，得 lnyc 2x+lnc1，即 kc 2x+lnc1，再由线性回归方程求解【解答】解：（1）散点图如图，由散点图可知，yc 1e 更适合作为该种细菌的繁殖数量 y 关于 x 的回归方程类型；（2）把 yc 1e 两边取自然对数，得 lnyc 2x+lnc1，即 kc 2x+lnc1，由 0.1830.2， 3.80.183180.5lny0.2x+0.5，则 ye 0.5e0.2x，取 x25，可得 ye 0.5e5e 5.5245当温度为 25时，该种细菌的繁殖数量的预报值为 245【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查数学转化思想
31、方法，考查计算能力，是中档题20（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： l（ab0）的离心率为 ，直线 1 和椭圆 C 交于 A，B 两点，当直线 l 过椭圆 C 的焦点，且与 x 轴垂直时，|AB| （1）求椭圆 C 的方程；（2）是否存在与 x 轴不垂直的直线 l，使弦 AB 的垂直平分线过椭圆 C 的右焦点？若存在，求出直线 l 的方程，若不存在，请说明理由【分析】（1）由已知列关于 a，b，c 的方程组，求解可得 a，b，c 的值，则椭圆方程可求；（2）假设存在直线 l，设方程为 ykx+ m，k0，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关
32、系求得 AB 中点坐标，写出 AB 的垂直平分线方程，把右焦点坐标代入，结合判别式大于 0 可得结论【解答】解：（1）由已知可得， ，解得 a3，b1，c 椭圆 C 的方程为 ；（2）假设存在直线 l，设方程为 ykx+ m，k0，设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），联立 ，消 y 可得（1+9k 2）x 2+18kmx+9（m 2 1）0，324k 2m236（1+9 k2）（m 21）0，即 9k2+1m 2，x 1+x2 ，设 AB 的中点坐标为 M（x 0，y 0），x 0 ，y 0kx 0+m ，M（ ， ），直线 AB 的垂直平分线的方程为 y （x+ ），弦 AB 的
33、垂直平分线过 E 的右焦点（ ，0）， （ ），1+9k 2 ，代入 9k2+1m 2，得 ，即 0，8k 20，不存在实数 k 使得关于 m 的不等式有解，不存在与 x 轴不垂直的直线 l，使弦 AB 的垂直平分线过椭圆 C 的右焦点【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题21（12 分）已知函数 f（x）e xx 21（1）若函数 g（x） ，x （0，+），求函数 g（x）的单调区间；（2）若不等式 f（x ）+ （3x 22x2k）0 有解，求 k 的取值范围【分析】（1）函数 g（x） ，x（0，+），g（x） ，由
34、x（0，+），可得exx 10即可得出单调性（2）不等式 f（x ）+ （3x 22x2k）0 有解 k令 h（x）e x+ x1，利用导数研究其单调性极值即可得出【解答】解：（1）函数 g（x） ，x（0，+），g（x） ，x（0，+），e xx 1e 0010可得：函数 g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增（2）不等式 f（x ）+ （3x 22x2k）0 有解 k令 h（x）e x+ x1，h（x）e x+x1 在 R 上单调递增，且 h（0）0函数 h（x）在（，0）上单调递减，在（0，+）单调递增x0 时，使得 h（x ）取得极小值即最小值h（x） minh（0）0
35、kh（x） min0k 的取值范围是0 ，+ ）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题（二)选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22（10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 cos22asin （a0），过点 P（1，2）的直线 l 的参数方程为 （t 为参数），l 与 C 交于 A，B 两点（1）求 C 的直角坐标方程和 l 的普通方程；（
36、2）若|PA|，| AB|，|PB|成等比数列，求 a 的值【分析】（1）由 cos22asin，得 2cos22asin ，由此能求出 C 的直角坐标方程；将直线 l 的参数方程消去参数 t，能求出直线 l 的普通方程（2）把 代入 x22ay，得 ，从而t1t28a+20，再由| PA|，|AB|，| PB|成等比数列，得 ，由此能求出a 的值【解答】解：（1）由 cos22asin，两边同乘 ，得 2cos22asinC 的直角坐标方程为 x22ay（a0）将 消去参数 t，得直线 l 的普通方程为 xy10（2）把 代入 x22ay，整理得 由8（1+a） 24（8a+2 ）0，得 a
37、2 或 a0a0，a2，t 1t28a+20|PA|， |AB|， |PB|成等比数列， |AB| 2| PA|PB|由 t 的几何意义得 ，即 ，即 4a212a10，解得 a又 a2，a 【点评】本题考查曲线的直角坐标方程、直角的普通方程的求法，考查实数值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题选修 4-5：不等式选讲23已知定义在 R 上的函数 f|x|2xk |+2|x|kN *存在实数 x0 使 f（x 0）2 成立（）求实数 k 的值；（）若 m ，n 且求证 f（m）+f（n）10，求证 + 【分析】（）求出
38、f（x ）的最小值，得到关于 k 的不等式，解出即可；（）分别求出 f（m），f（ n）的解析式，求出 m+n 的值，根据基本不等式的性质求出代数式的最小值，从而证明结论【解答】解：（）存在实数 x0 使 f（x 0）2 成立，f（x） min2，|2 xk|+2|x|2 xk |+|2x|2xk2x |k |，则 f（x） min |k|2，解得：2k2，k N*，k 1（5 分）（II）证明：由（1）知，f （x）|2 x1|+2| x|，m ，n ，f（m）|2m1|+2|m| 2m 1+2 m4m 1，同理，f（n）4n1，f（m）f（n）10，4m+4n210，即 m+n3， + （ + ）（m+n） （10+ + ） （ 10+2 ） ，当且仅当 ，又 m+n3，得 m ，n 时取等号（10 分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题