1、1.3.2 球的体积和表面积,第一章 1.3 空间几何体的表面积与体积,学习目标 1.掌握球的表面积和体积公式. 2.能解决与球有关的组合体的计算问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 球的表面积和体积公式,1.球的表面积公式 (R为球的半径)； 2.球的体积公式V R3.,S4R2,1.球的表面积等于它的大圆面积的2倍.( ) 2.两个球的半径之比为12，则其体积之比为14.( ) 3.球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面.( ),思考辨析 判断正误,题型探究,例1 (1)已知球的表面积为64，求它的体积；,类型一 球的体积和表面积,解答,解 设球的半径为R，则4R
2、264，解得R4，,所以球的表面积S4R2452100.,反思与感悟 (1)公式是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件. (2)两个结论：两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方.,跟踪训练1 (1)两个球的体积之比为827，那么这两个球的表面积之比为,解析,答案,(2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为_.,解析 由两球的体积之比为827， 可得半径之比为23， 故表面积之比是49.,解析 设大球的半径为R，由题意得,例2 一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是实心球
3、体的一部分，则这个几何体的表面积为_.,类型二 与球有关的三视图问题,解析,答案,4,解析 由已知可得，该几何体是四分之三个球，其表面积是四分之三个球的表面积和两个半径与球的半径相等的半圆的面积之和，因为R1，,反思与感悟 (1)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积与体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义，根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积.此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆. (2)计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠和交叉等.,跟踪训练2 已知某几何体的三视图如图所示，其中，正视图，侧视图均是由三
4、角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为,解析,答案,解析 由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得,命题角度1 球的截面问题 例3 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器的厚度，则球的体积为,类型三 球的截面及切接问题,解析,答案,解析 如图，作出球的一个截面，,设球的半径为R cm， 则R2OM2MB2(R2)242， R5.,反思与感悟 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆
5、的问题. (2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2d2r2.,跟踪训练3 用一平面去截球所得截面的面积为2，已知球心到该截面的距离为1，则该球的表面积为_.,解析,答案,12,解析 用一平面去截球所得截面的面积为2，,已知球心到该截面的距离为1，,命题角度2 与球有关的切、接问题 例4 (1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为,解析,答案,解析 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，,解析,答案,解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c，,
6、9,反思与感悟 (1)正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1 ，过在一个平面上的四个切点作截面如图. (2)球与正方体的各条棱相切 球与正方体的各条棱相切于各棱的 中点，过球心作正方体的对角面有 r2 a，如图.,(3)长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3，如图. (4)正方体的外接球 正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R a. (5)正四面体的外接球 正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为2
7、R a.,跟踪训练4 (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为,答案,解析,答案,解析,解析 如图所示，将正四面体补形成一个正方体. 设正四面体的棱长为a.,又球的直径是正方体的体对角线，设球的半径是R，,达标检测,1,2,3,4,1.若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于 A.3 B.2 C.1 D.,答案,5,解析,2.一个球的表面积是16，则它的体积是,答案,1,2,3,4,5,解析 设球的半径为R，则由题意可知4R216，故R2.,解析,3.如图，圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为 A.
8、4 cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm,解析 由题意可得，设球的半径为r， 依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的体积，,解析,答案,1,2,3,4,5,解得r3，故选B.,4.两个球的表面积之差为48，它们的大圆周长之和为12，则这两个球的半径之差为 A.1 B.2 C.3 D.4,解析,1,2,3,4,5,所以R1R22.,解析 设两球半径分别为R1，R2，且R1R2，,答案,5.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为_.,1,2,3,4,5,解析,答案,3,规律与方法,3.常见的几何体与球的切、接问题的解决策略： 解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算.,